材料力学-第十一章组合变形(讲稿)

第十一章组合变形
一、教学目标
1、掌握组合变形的概念。

2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。

3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。

4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。

二、教学内容
1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。

2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。

3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。

4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。

5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。

6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、
强度计算。

7、简单介绍截面核心的概念和计算。

三、重点难点
重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。

难点：
1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：
斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；
弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；
拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；
偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。

2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：
⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；
⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。

四、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

五、计划学时
5学时
六、讲课提纲
(一)斜弯曲
引言：
*何谓平面弯曲？
梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）
**平面弯曲与斜弯曲的比较
(a) (b) (c)
项目平面弯曲斜弯曲
受力特点p F 平面与过y轴(形心主
惯性轴)的纵平面重合
p
F平面过形心(这里也是弯心)但不与过y轴的纵平面重合。

中性轴特点中性轴与
p
F平面垂直中性轴与p F平面不垂直
变形特点挠曲平面与中性轴垂直，
且在
p
F平面内。

挠曲平面与中性轴垂直，但偏离
p
F平面内。

***斜弯曲的定义
图11-1
梁的弯曲平面不与外力作用平面相重合的这种弯曲称为斜弯曲（或者说，梁的挠曲线不在外力作用平面内，通常把这种弯曲称为斜弯曲）。

1、外力分析
p
F通过截面的形心O，（两对称轴的交点，该点既是形心，又是弯心），垂直杆轴x，但并不作用在形心主轴平面内，而与形心主轴有一个夹角 。

为了利用基本变形的应力计算公式，必须将此外力p F 向两个形心主惯性平面分解，即
⎩⎨⎧⋅=⋅=平面内产生平面弯曲在—平面内产生平面弯曲
在—xoz F F xoy F F F p pz
p py p ϕϕsin cos
2、内力分析
将p F 力分解后，任意截面（l -x 面）上的内力（不考虑Q F ）：
)(x l F M Py Z -= )(x l F M PZ y -=
3、应力分析
任意截面（l -x 面）上任意点（C 点）的正应力c σ
Z
Z MZ c I y
M =
'σ——（压应力） y
y My c I z M =
''σ——（压应力）
=c σMZ c 'σ=
+My c ''σ+Z Z I y M y
y I z
M ——（压应力） ⑴ 正应力正、负号根据弯矩矢量引起的变形情况确定 4、中性轴位置 ⑴中性轴方程
上述⑴式尚不能计算σ的值，因为中性轴的位置尚未确定 ∵中性轴上的应力=0， ∴⑴式可以写成
+Z Z I y M 0=y
y I z M ⑵ ⑵中性轴是一条通过截面形心的直线
要使⑵式满足，必须y,z 同时=0，可见中性轴是一条通过形心的直线。

⑶中性轴位置的确定
过形心可作无数垂直线，那么中性轴位置如何确定？令中性轴上任一点的坐标为o y 、o z 。

（见图2），中性轴与Z 轴的夹角为α，根据⑵式写成下式：
Z
y
y z o o M M I I z y tg ⋅
==α ⑶
图11-2
从⑶式可以讨论以下几点；即中性轴取决于： ①载荷p F 作用的位置，即α随ϕ变化
由任意截面（l -x 面）上的弯矩矢量可见（见图3）
ϕsin ⋅=M M y
ϕcos ⋅=M M Z
则⑶式为
ϕϕϕαtg I I M M I I tg y
z
y z ⋅=⋅=
cos sin
图11-3
（l -x 截面）
②截面的形状和尺寸
若 y z I I =（过形心的轴都是主轴），则ϕα=，中性轴与p F 平面垂直，即为平面弯曲。

若 y z I I ≠，则ϕα≠，中性轴不与p F 平面垂直，即为斜弯曲。

5、任意截面（l -x 面）上的最大正应力（见图1）
y
y z z a I Z M I y M max
max +
=
σ——（拉应力） y
y z z b I Z M I y M max
max +
=σ——（压应力） 6、危险截面上危险点的正应力计算（见图1）
⑴正应力：)(
max
max max max max
min y
y z z A B I Z M I y M +±==σσ )(max
max y
y z z W M W M +±=
⑵应力状态
图11-4
⑶强度条件：
[]σσ
≤
+=y
y z z W M W M max max max min
⑷ 或)sin cos (max max max max
min
Z I y I M y
z ϕ
ϕσ+= )sin cos (
max y
z W W M ϕ
ϕ+= ][)sin (cos max σϕϕ≤+=
y
z z W W
W M ()'4
副题：斜弯曲梁的变形计算
仍以矩形截面的悬臂梁为例：
图11-5(a) (b) 1、解题思路及计算公式
将p F 力分解为两个在形心主惯性平面的分力py F 和pz F 后（见图11-5，b ），分别计算梁在平面弯曲下自由端处的挠度y ω和z ω：
z
p z
py y EI l F EI l F 3cos 33
3ϕω=
=
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoy 平面内的挠度
y
p y
pz z EI l F EI l F 3sin 33
3ϕω=
=
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoz 平面内的挠度
2、总挠度及其方位
自由端B 点的总挠度ω是上述两个挠度的几何和，即 ⑴总挠度值计算：22z y ωωω+=
⑵总挠度方位计算，即总挠度与y 轴的夹角β的计算。

将z 轴方向的挠度除以y 轴方向的挠度，即可得：
ϕϕϕϕϕωωβtg I I I I EI l F EI l F tg y
z
y z z
p y p y z ⋅====
cos sin 3cos 3sin 33
(a) ⑶确定总挠度方位：
∵ϕcos M M z = ϕsin M M y = 代入⑶式，即
ϕϕϕαtg I I M M I I z y tg y
z
y z o o ⋅=⋅==
cos sin (b) 比较(a)、(b)两式，可见：
中性轴与z 轴的夹角α=总挠度与y 轴的夹角β。

即：斜弯曲时，总挠度ω发生垂直于中性轴的平面内。

在前面已经分析过，在一般情况下，梁的两个形心主惯性矩并不相等，即y z I I ≠则ϕβ≠，说明斜弯曲梁的变形（挠曲平面）不发生在外力作用平面内。

如果y z I I =，则ϕβ=，即为平面弯曲，例如正方形、圆形等截面。

3、刚度条件
l
l ω
ω
≤
例题11-1 跨度为l =3m 的矩形截面木桁条，受均布荷载q=800N/m 作用，木桁条的容许应力[σ]=12MPa.容许挠度
l ω=200
1
，材料的弹性模量
E =MPa 1093⨯,试选择木桁条的截面尺寸，并作刚度校核。

图11-6
解：⑴先将q 分解为
m
N q q m N q q z y /2.355'3426sin 800sin /8.716'3426cos 800cos =⨯===⨯==
ϕϕ
⑵求
m
N l q M m
N l q M z y y z ⋅=⨯==⋅=⨯==
6.3998/32.3558
4.8068/38.716822
max 22
max ⑶设截面的高宽比为5.1=b
h。

则根据强度条件
622max max max 10126
/6.3996/4.806⨯≤+=+=hb bh W M W M y y z z σ
解得
,101275.372366
3⨯≤b 36
10
1275.37236b ≤⨯⨯ ⎩⎨⎧⨯=⨯⨯=⨯=---m
h m
b 2
221016.81044.55.11044.5 取b=60mm ，h=90mm ⑷校核刚度
483
3105.36412
09.006.012m bh I z -⨯=⨯==
483
31016212
06.009.012m bh I y -⨯=⨯==
mm m y 23023.0105.36410938438.71658
94
==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ω
mm m z 26026.01016210938432.35558
94
==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ω
梁跨中的总挠度mm z y 7.3426232222=+=+=ωωω
200
1
2004.21002.130007.34
===
l ω
刚度条件不满足，必须增大截面尺寸，然后再校核刚度。

若b=80mm ，h=120mm
483
1011521212.008.0m I z -⨯=⨯=
483
105121208.012.0m I y -⨯=⨯=
mm y 29.710115210938438.71658
94
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ω mm z 13.81051210938432.35558
94
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-ω
mm 9.1013.829.722=+=ω
200
1
20072.010036.030007.34≤
===
l ω
满足刚度条件，截面尺寸应取b=80mm ，h=120mm
例题11-2 简支梁由mm mm mm 20200200⨯⨯的等边角钢制成，其截面几何性质为361006.322m W zo -⨯=，361055.146m W yo -⨯=（对于c 点），481055.4554m I zo -⨯=，
481004.1180m I yo -⨯=，试绘最大弯矩截面上的正应力分布图。

图 11-7
解：m KN M ⋅=⨯=
254
4
25max m KN M M Zo yo ⋅=⨯==7.1745cos 25max max
MPa
I M W M yo
yo Zo
Zo A 5.
146105.91105510611004.1180107.1710
06.322107.171061663
8
3633
max
max -=⨯-⨯-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-=⨯⨯-
-
=----σ MPa
I M W M yo
yo Zo
Zo B 5.36105.9110551061663
max
max -=⨯-⨯=⨯⨯-
-
=-σ
MPa W M yo
yo C 8.12010
55.146107.1763max =⨯⨯==
-σ 中性轴位置：
8597.37
.177.171004.11801055.455488=⨯⨯⨯=⋅=--Zo yo yo zo M M I I tg α
47.75=α
(二)拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 结构受力情况如图所示：
图11-8
梁AB 上除作用横向力外，还有轴向拉（压）力，则杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。

1、内力分析
图11-9
2、应力分析：杆件内有轴力F N 、弯矩M 产生正应力
图11-10
3、强度条件][max
max σσ≤+=
Z
N W M A F
4、纵横弯曲的概念
图11-11
⑴何谓纵横弯曲？
p F 、1p F 共同作用，1p F 在p F 作用下产生的ω上引起的梁的附加弯矩
=1M ω1p F ，这个附加弯矩1M 又反过来增大梁的挠度，这时的杆件变形已不是
荷载的线性函数。

像这类变形通常称为纵横弯曲。

⑵分两种情况讨论：
EI 较大，ω与截面尺寸比较显得很小，可不考虑附加弯矩的影响，用叠
加法计算横截面上的应力。

EI 较小,ω较大，附加弯矩的影响不可能不考虑，内力与荷载不是线性函
数关系。

(三)偏心压缩 1、偏心压缩的概念
轴向压缩单向偏心压缩双向偏心压缩
图11-12
2、外力的简化与分解
图11-13
3、内力
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⋅
=
=
⋅
=
=
=
z
p
y
y
y
p
z
z
p
N
e
F
m
M
e
F
m
M
F
F
∴偏心压缩=轴向压缩+弯曲（F Q=0）
4、应力计算
⑴单向偏心压缩时的应力计算
图11-14
结论：距荷载F p较近的边缘总是压应力。

⑵双向偏心压缩时的应力计算
图11-15
任意点（E）处的应力计算
)
1(
z
y
y
z
p
z
y
p
y
z
p
p
z
y
y
y
N
I
y
e
A
I
z
e
A
A
F
y
I
e
F
z
I
e
F
A
F
y
I
M
z
I
M
A
F
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
-
=
⋅
⋅
-
⋅
⋅
-
-
=
⋅
-
⋅
-
-
=
σ
∵
A
I
i y
y
= ,
A
I
i z
z
=
∴上式可写成
)
1(
2
2
z
y
y
z
p
i
y
e
i
z
e
A
F⋅
+
⋅
+
-
=
σ──────任意点（E）处的应力计算式
5、中性轴 ⑴中性轴方程 由 0)1(2
2
=⋅+
⋅+
-=z
y y
z p i y e i z e A
F σ
得中性轴方程
012
2
=⋅+
⋅+
z
o y y
o z i y e i z e （直线方程）
式中：o z ，o y 代表中性轴上任一点的坐标。

z e ，y e 代表偏心力F p 的作用点位置（坐标）。

注意；形心
0==o o z y 不能满足中性轴方程，即中性轴不通过形心。

由此可见，中性轴的特征之一：中性轴是一条不通过形心的直线。

⑵中性轴位置的确定
方法是通过计算中性轴在坐标轴上的截距z a ，y a 来确定；
根据中性轴方程：
当y
z
o y o z
y
o z o e i y a o z e i z a y 22
0-
===-
===时，时，
图11-16
由此得到中性轴截距计算式 y
z y z y
z e i a e i a 2
2
-
=-
=
注意：截距y
z
a a 与偏心距恒相反。

根据此计算式可见，中性轴的特征之二：中性轴与偏心压力F p 的作用
点(e y , e z )分别居于截面形心（坐标原点）的两侧。

中性轴的特征之三：中性轴的位置随偏心压力Fp 的作用点位置(ey , ez )
的改变而变化
①当e y =0,即F p 作用在Z 轴上时，则y a =∞, ∴中性轴与y 轴平行（见图11-17(a)）
图11-17(a)
当e z =0,即F p 在作用在y 轴上时，则z a =∞
则中性轴与Z 轴平行（见图11-17(b)）
图11-17(b)
②偏心矩y z e e 越小，则中性轴截距y
z
a a 越大，即中性轴距形心越远（见图
11-18）。

图
11-18
显然，当中性轴与截面的周界相切或截到截面以外时，整个截面上只有压应力而不出现拉应力。

③一条中性轴（y a ，z a ）对应一个偏心压力的作用点。

因此，若已知（y a ，z a ）,则偏心压力作用点坐标就可以确定：
z
y
z y
z
y a i e a i e 22
-
=-=────────────偏心压力作用点位置计算式
图11-19
中性轴的特征之四:当中性轴绕一定点K （y o ,z o ）转动时，偏心压力的
作用点在一条直线上移动。

（这一特征很重要，是绘制截面核心的主要根据！）
因为：012
2
=⋅+
⋅+
z
o y y
o z i y e i z e
当y o ,z o 为定值时，该方程就是y e 和z e 的直线方程，即为偏心压力作用点
坐标的直线方程
图11-20
应用中性轴的这一性质即可绘制截面形心。

5、截面核心
⑴问题的提出
对于砖、石、混凝土等一类建筑材料，其抗压能力较强，而抗拉能力很差。

当这类构件承受偏心压力时，为避免截面上出现拉应力，该偏心压力的作用位置必须受到限制。

⑵截面核心的概念
当偏心压力作用在截面的某个范围内时，中性轴才将在截面之外或与截面周边相切，截面上只是产生压应力，通常把偏心压力在截面上的这个作用范围称为截面核心。

由截面核心的定义可知：
①偏心压力作用在截面核心内时，中性轴不与截面相割。

----截面内不出现拉应力。

图11-21
②偏心压力作用在截面核心外时，中性轴与截面相割。

----截面内分为受拉和受压两个区域。

图11-22
③偏心压力作用在截面核心的周界上，中性轴与截面的周边相切。

----截面内不出现拉应力。

图11-23
当偏心压力的作用点在截面核心的周界上移动时，相应的中性轴也随之改变，但总是与截面的周边相切。

──利用中性轴与截面周边相切的这种特定位置反过来求偏心压力作用点的位置，从而确定截面核心的周界。

⑶截面核心的绘制 ①绘制截面核心的步骤
a.首先应该选择截面的形心主轴oy,oz 为坐标轴；
b.选择一组中性轴与截面的周边相切，并分别求出每一根中性轴在两个坐标轴上的截矩zi yi a a ,;
c.将zi yi a a ,分别代入偏心压力作用点位置计算式，求出与之对应的偏心压力作用点坐标；
d.连接这一组偏心压力作用点就得到在截面形心附近的一个闭合区域——截面核心。

②绘制截面核心的注意要点:
a.中性轴与偏心压力作用点分别居与截面形心的两侧；
b.中性轴与y 轴平行，偏心压力作用点在z 轴上
中性轴与z 轴平行，偏心压力作用点在y 轴上
c.中性轴绕一定点转动，偏心压力作用点在一条直线上够动。

图11-24
e.截面的周边有一部分或全部为曲线，则截面核心的周界亦有一部分或全部为曲线。

f.如截面的周边有“凹入”部分，则中性轴应滑过周边的“凹入”部分，即中性轴不能与截面相割。

图11-25
⑷几种常见截面的截面核心
(四)弯曲与扭转的组合变形
图示受力构件的应力和强度如何计算？
图11-26 BC杆问题简单，容易解决。

1、受力特点
图11-27
经简化：
弯扭组合平面内发生扭转）作用在横截面内（在平面内发生平面弯曲）垂直杆轴（在⎭
⎬⎫
yoz m xoy F p
2、内力分析 作AB 杆的内力图
任一截面m-m 上的内力
图11-28
3、应力状态
⑴任一横截面上的应力情况：
图13-29 ⑵危险截面上应力情况
图11-30
4、强度条件
对于弯扭联合作用下的机轴，一般用塑性材料制成，通常用第三、四强度理论，即
][4223στσσ≤+=n M r ─────────────────────⑴ ][3224στσσ≤+=n M r ─────────────────────⑵
∵W
M
M =
σ,n n n W M =τ
又∵圆截面的抗扭截面系是抗弯截面系数的二倍，W n =2W
][2
23σσ≤+=
W
M M n
r ─────────────────────⑶
][75.02
24σσ≤+=
W
M M n
r ───────────────────⑷
运用上述两个公式时请注意:
⑴对于⑶、⑷式，只是用与弯扭组合变形圆轴，其它截面只能用⑴、⑵。

⑵若杆件受拉伸+弯曲+扭转，只能用⑴、⑵式
⑶实际问题中，圆截面杆往往在互相垂直的两个平面内同时存在弯矩
Z M ,y M 。

则2
2
y z M M M += ，代入⑶、⑷式即可
例题11-3 一钢制圆轴上装有两胶带轮A 、B,两轮的直径m D D B A 1==,两轮自重KN P 5=，胶带的张力大小和方向如图所示。

设圆轴材料的[σ]=80MPa.试按第三强度理论求轴所需要的直径d=？
图11-31
解：1、作轴的计算简图（受力图）
2、扭矩图
3、弯矩图
（水平平面内） （xoz 平面）
（垂直平面内） （xoy 平面内）
图11-32
4、计算B 、C 截面处的合成弯矩；
()()()()m KN M M M y z B ⋅=+=+=49.225.205.12222
()()m KN M C ⋅=+=
58.25.11.22
2
5、确定截面max M
B C M M ，C M M =max
6、确定d=? 按第三强度理论：()()][2
2σ≤+W
M M n C
代入相应的数据：
()()
63
2
32
310801.0105.11058.2⨯≤⨯+⨯d
由此得所需的直径为d=72mm 。

(五)组合变形的一般情况
对于一些受到复杂外力（空间力系）作用的杆件，其危险截面上最多可能出现六个内力分量
图11-33
F Q 影响较小，一般略去
因此，只要计算出内力N F 、n M 、M M M z y ⎭
⎬⎫就可进行强度计算。

例题11-4 已知钢圆杆241080m A -⨯=，3610100m W -⨯=，3610200m W n -⨯=，
MPa 134][=σ，试校核此杆强度
图11-34 解：1、固端截面上有哪些内力？
图11-35
2、危险截面在何处？（作内力图分析）、该处有哪些内力？ 危险截面在距固端1m 处，该处的内力有：KN F N 20=，m KN M n ⋅=4， N M M M m
KN M m KN M z y y y 8.1210822=+=⇒⋅=⋅=
图11-36
3、危险点位置及应力单元体
图11-37
MPa W M A F N M N x 5.130********.210
100108.1210801020666343=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=+=--σσσ MPa W M n
n x 201020010463
=⨯⨯==-τ
4、强度校核： MPa MPa x x r 134][5.1362045.1304222
2
3==⨯+≤+=στσσ
][1352035.1303222
2
4στσσ MPa x x r =⨯+≤+=
够不够？
%5%87.1%100134134
5.136 =⨯- 仍然认为强度满足要求。