2019版九年级数学上学期第四次周考试题
2019-2020年九年级数学上册小专题四一元二次方程的实际应用测试题新版湘教版
2019-2020年九年级数学上册小专题四一元二次方程的实际应用测试题新版湘教版类型1 数字问题1．如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和等于多少？解：设一个偶数为x ，另一个偶数为x ＋2，根据题意，得x(x ＋2)＝288，解得x ＝16或x ＝－18(舍去)．∴两个偶数为16，18，和为34.答：这两个数的和等于34.2．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为(x ＋2)．根据题意，得3x(x ＋2)＝10x ＋(x ＋2)，整理得3x 2－5x －2＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13(不合题意，舍去)． ∴x＝2，x ＋2＝4.答：这个两位数是24.3．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为x －3.根据题意，得x 2＝10(x －3)＋x ，解得x ＝5或x ＝6.当x ＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x ＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．答：周瑜去世的年龄为36岁．类型2 传播问题4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：第三轮有448人被传染．5．陶铸中学初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．解：由题意，得1＋n＋n2＝421，解得n1＝－21(舍去)，n2＝20.答：n的值是20.类型3 握手问题6．小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此(每两人之间不重复握手)．小明发现所有人握手次数总和为36次，那么合唱队有多少人？解：设合唱队有x人，根据题意，得x（x－1）＝36，2解得，x1＝9，x2＝－8(舍去)．答：合唱队有9人．7．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？解：设应邀请x支球队参赛，根据题意，得1x(x－1)＝28.2整理，得x2－x＋56＝0.解得x1＝8，x2＝－7(舍去)．答：应邀请8支球队参赛．类型4 其他问题8．盐城春秋旅行社为吸引市民组团去盐渎风景区旅游，推出了如图所示收费标准．某单位组织员工去盐渎风景区旅游，共支付给盐城春秋旅行社旅游费用27 000元．请问该单位这次共有多少名员工去盐渎风景区旅游？解：设该单位这次共有x名员工去盐渎风景区旅游．∵1 000×25＝25 000＜27 000，∴员工人数一定超过25人．则根据题意，得[1 000－20(x－25)]x＝27 000.整理，得x2－75x＋1 350＝0，解得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1 000－20(x－25)＝600＜700，故舍去；当x2＝30时，1 000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去盐渎风景区旅游．9．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：(1)在第n 个图中，第一横行共(n ＋3)块瓷砖，第一竖列共有(n ＋2)块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为n 2＋5n ＋6(用含n 的代数式表示)；(2)上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；(3)黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需要花多少钱购买瓷砖？(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．解：(2)根据题意，得n 2＋5n ＋6＝506，解得n 1＝20，n 2＝－25(不符合题意，舍去)．∴n 的值为20.(3)观察图形可知，每－横行有白砖(n ＋1)块，每－竖列有白砖n 块，因而白砖总数是n(n ＋1)块，n ＝20时，白砖为20×21＝420(块)，黑砖数为506－420＝86(块)．故总钱数为420×3＋86×4＝1 260＋344＝1 604(元)．答：共花1 604元钱购买瓷砖．(4)根据题意，得n(n ＋1)＝n 2＋5n ＋6－n(n ＋1)，解得n ＝3±332(不符合题意，舍去)． ∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．-----如有帮助请下载使用，万分感谢。
吉林省长春市吉大附中2019-2020上学期九年级数学周考试卷(4)随机事件的概率(word版,无答案)
一、选择题（每小题4分，共24分）1.下列成语中表示不确定事件的是（）A.水中捞月B.守株待兔C.刻舟求剑D.竹篮打水2.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为等腰三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是（）A. B. C. D.3.如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于4的数的概率是（）A. B. C. D.（第3题）（第4题）（第5题）4.如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）A. B. C. D.5.如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等，现在同时自由转动甲、以两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数，用所指的两个数作乘法运动所得的积为奇数的概率是（）A. B. C. D.6.5月12日为母亲节，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨=百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）7.“随时打开电视机，正在播新闻”是事件.（填“必然”、“不可能”或“随机”）8.某班从三名男生（含小强）和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选名，若男生小强参加是必然事件，则＝ .9.如图，一个转盘的盘面被等分四个扇形区域，其分别标有数字，、0、1、2，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上，不记，重转），则记录的两个数的和＝0的概率为 .（第9题）（第10题）（第11题）（第12题）10.把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3，自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作，把第二次转动停止后指针指向的数字记作，则与的和为偶数的概率为 .11.如图，大圆半径我6，小圆半径为2，在如图所示的原型区域内，随机撒一把豆子，多次重复这个实验，若把“豆子落在小圆区域中”记作事件，估计事件的概率（）的值 .12.如图所示的点阵中，相邻的四个点均构成正方形，小球只在点阵中的小正方形内自由自由滚动时，则小球停留在阴影部分区域的概率为 .三、解答题（13、14、15、16每题10分，17题12分，共52分）13.在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据：（1）表中的值等于；（2）估算口袋中白球的个数为多少？14.在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率.15.（1）如图所示是一条线段，的长为10厘米，的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段上的概率为；（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20cm，小圆的直径为10cm，一只小鸟自由地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率.16.小华与爸爸用一个如图所示的五等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是奇数，爸爸获胜；如果是偶数，则小华获胜（指针直到线上则重转）（1）转完转盘后指针指向数字2的概率是多少？（2）这个游戏公平吗？请你说明理由.如果不公平，怎样修改比赛规则，可以使游戏公平.17.课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分进行力了为期半月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A—优秀；B—良好；C—一般；D—较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请你根据统计图，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名学生？（2）C类女生有名，D类男生有名，并将条形统计图补充完整；（3）若从被调查的A类和C类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表发或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率.。
北师大版2019-2020九年级数学第一学期期末复习综合练习题4(基础 含答案)
北师大版2019-2020九年级数学第一学期期末复习综合练习题4（基础 含答案） 1．若四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶4∶8，则∠D 的度数是( )A ．10°B ．30°C ．80°D ．100°2．下列几何体中三视图完全相同的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．134．若方程25x 2﹣（k ﹣1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k 的值为（ ） A ．﹣9或11 B ．﹣7或8 C ．﹣8或9 D ．﹣6或75．下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相平分6．如图，一次函数y 1=k 1x+2与反比例函数y 2 =2k x的图象交点A （m ，4）和B （﹣8，﹣2）两点，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ）A.﹣8＜x ＜4B.x ＜﹣8或0＜x ＜4C.x ＜﹣8或x ＞4D.x ＞4或﹣8＜x ＜0 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：BD=5：3，BC=16，则DE 的长为（ ）A.6B.8C.10D.128．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，两直线AC 和DF 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．下列各式中，不一定成立的是（ ）A.AB DE BC EF =B.AB DE AC DF =C.AD BE BE CF =D.EF BC FD CA= 9．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，连接AB 和OP ，OP 交O 于点I ，则I 是PAB 的（ ）A ．内心B ．外心C ．三条高的交点D ．三边上的中线的交点 10．如果函数()0k y k x=≠与()0y mx m =≠图象的交点坐标为()1,A b ，(),2B a -，则a b +=________．11．如图，G 为△ABC 的重心，DE 过点G ，且DE ∥BC ，交AB 、AC ，分别于D 、E 两点,若△ADE 的面积为5，则四边形BDEC 的面积为__________．12．二次函数()2y ax bx c a 0=++≠中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：则2ax bx c 0++=的解为________．13．把方程2x 2﹣1=x （x+3）化成一般形式是_________.14．如图，AB 是O 的直径，10AB =，C 是O 上一点，OD BC ⊥于点D ，4BD =，则AC 的长为________．15．如图所示，在四边形ABCD 中，AD //BC ，如果要使ABC DCA ∽，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）16．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ．若AD=2BD ，则CF BF的值等于_____17．下列说法：①弦是直径；②直径是弦；③过圆心的线段是直径；④一个圆的直径只有一条．其中正确的是________（填序号）．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为_____．19．关于x 的方程(m+1)x |m-1|+mx-1=0是一元二次方程，则m=__________．20．已知关于x 的方程()22130x m x m -++-=． ()1求证：无论m 取何值，此方程都有两个不相等的实数根．()2当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．21．关于x 的方程()23130kx k x +++=．()1求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；()2当二次函数()2313y kx k x =+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；()3若()1,P a y ，()22,Q y 是()2中抛物线上的两点，且12y y >，请你结合函数图象确定实数a 的取值范围．22．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°,点I 是△ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点D ，连接AD.（1）求证：DA=DI.（2）若AB=10，AC=6，求AD 、CD 的长.23．已知二次函数y=a （x ﹣h ）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？24．已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AC =3，点D 为AB 的中点，点E 为线段BC 上的点，连接DE ，把△BDE 沿着DE 翻折得△B 1DE ．（1）当A 、D 、B 1、C 构成的四边形为平行四边形，求DE 的长；（2）当DB 1⊥AC 时，求△DE B 1和△ABC 重叠部分的面积．25．请在所给网格中按下列要求操作：()1请在网格中建立平面直角坐标系，使A 点坐标为()0,2，B 点坐标为()2,0-； ()2在x 轴上画点C ，使ABC 为直角三角形，请画出所有符合条件的点C ，并直接写出相应的C 点坐标；()3在()2所求得的C 点中，标出使得ABC 的面积等于4的点C ，以点B 为位似中心，按比例尺1﹕2，把ABC 缩小，缩小后的三角形记作A ´BC ´（画出一个即可）． 26．解下列方程①()()3110x x x ---= ②22410x x --=③24(21)640x --= ④2241980x x --=．27．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：△AED ≌△CFD ；（2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度．参考答案1．D【解析】根据题意，可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，由∠A+∠C=180°，可求出∠A=20°、∠C=160°，进而求出∠B=60°和∠D=120°．故选：D．点睛：本题需仔细分析题意，利用圆内接四边形的性质和四边形的内角和即可解决问题．2．A【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；故选：A．【点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．A【解析】【分析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.【详解】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率21. 126 ==故选A ．【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比. 4．A【解析】根据题意知，﹣（k ﹣1）=±2×5×1， ∴k ﹣1=±10，即k ﹣1=10或k ﹣1=﹣10，得k=11或k=﹣9，故选A ．5．D【解析】分析：根据矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可．详解：A ．错误．菱形不具有的对角线相等这个性质．B ．错误．矩形不具有的对角线互相垂直这个性质．C ．错误．矩形不具有对角线平分一组对角这个性质．D ．正确．矩形、菱形、正方形的对角线相互平分．故选D ．点睛：本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，记住矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．6．D【解析】【分析】先把B 点坐标代入22k y x =求出k 2的值，则反比例函数解析式为216y x =，再把A （m ，4）代入216y x=求出m ，确定A 点坐标，然后观察图象得到当-8＜x ＜0或x ＞4，一次函数都在反比例函数的上方． 【详解】把B （﹣8，﹣2）代入22k y x =得k 2=﹣8×（﹣2）=16， 所以反比例函数解析式为216y x =， 把A （m ，4）代入216y x=得4m=16，解得m=4， 所以A 点坐标为（4，4），当y 1＞y 2时，x 的取值范围为﹣8＜x ＜0或x ＞4，故选D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．7．C【解析】分析：根据相似三角形△ADE∽△ABC的对应边成比例知AD DEAB BC=，由已知条件“AD：BD=5：3”可得AD：AB＝5：8，再由BC＝16可求得DE的长度．详解：∵AD：BD=5：3，∴AD：AB＝5：8，∵在△ABC中，DE∥BC，∴AD DE AB BC=，又∵BC＝16，∴DE＝10.故选C.点睛：考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．8．C【解析】解：如图．∵直线l1∥l2∥l3，∴AB DEBC EF=，AB DEAC DF=，EF BCFD CA=，∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立．故选C．点睛：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段．9．A【解析】【分析】利用切线长定理首先得出PI平分∠APB，进而得出AI是∠PAB的平分线，即可得出答案．【详解】如图，连接OA、AI∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴PI平分∠APB，PO⊥AB，∴AI BI，∵∠PAI=12AOI，∠BAI=12∠AOI，∴∠PAI=∠IAB，∴AI是∠PAB的平分线，∴I是两条角平分线的交点，∴I是△PAB的内心．故选A．【点睛】此题主要考查了切线长定理以及三角形内心的判定方法，根据已知得出∠PAI=∠IAB是解题关键．10．1【解析】【分析】将A（1，b），B（a，-2），分别代入y=kx与y=mx，得出关于a、b、k、m的关系式，化简即可得出答案．【详解】∵函数y＝kx(k≠0)与y=mx（m≠0）图象的交点坐标为A（1，b），B（a，-2），∴k=b①，-2a=k②，m=b③，am=-2④，①+②，得b=-2a⑤，将③代入④，得ab=-2⑥，⑤代入⑥得-2a2=-2，解得a=±1，当a=1时，b=-2，m=-2，k=-2；（此时A,B点重合舍）当a=-1时，b=2，m=2，k=2；∴a+b=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题.11．25 4【解析】分析：连接AG并延长交BC于H，根据重心的概念得到AG=2GH，根据平行线的性质、相似三角形的性质计算即可．详解：连接AG并延长交BC于H，∵G为△ABC的重心，∴AG=2GH，∵DE∥BC，∴23 AD AGAB AH==，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为23，∴△ADE与△ABC的面积之比为49，∵△ADE的面积为5，∴△ABC的面积为45 4∴四边形BDEC的面积=454-5=254.故答案为：254．点睛：本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．12．x2=-或1【解析】【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点．继而求得答案.【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），∴此抛物线的对称轴为：直线x=-12，∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0），∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1．故答案为：x=-2或1.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键.13．x2﹣3x﹣1=0【解析】2x2﹣1=x（x+3），2x2﹣1=x2+3x，则2x2﹣x2﹣3x﹣1=0，故x2﹣3x﹣1=0，故答案为：x2﹣3x﹣1=0．14．6【解析】【分析】根据垂径定理求出BC ，根据圆周角定理求出∠C=90°，根据勾股定理求出即可．【详解】∴BC=2BD=8，∵AB 是直径，∴∠C=90°，在Rt △ACB 中,AB=10,BC=8,由勾股定理得： =6， 故答案为：6.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键熟练的运用中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理的性质求解.15．B DCA ∠∠=或BAC D ∠∠=或AD AC AC BC= 【解析】【分析】本题主要根据平行推出角的等量关系，再根据对应边的关系，利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【详解】∵AD ∥BC∴∠DAC=∠ACB∴当∠B=∠DCA 或∠BAC=∠D 或AD ：AC=AC ：BC∴都可得相似．答案不唯一，如∠B=∠DCA 或∠BAC=∠D 或AD ：AC=AC ：BC ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．16．1 2【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵DE∥BC，AD=2BD，∴123 CE CE BDAC AE BD BD===+，∵EF∥AB，∴132 CF CE CE CEBF AE AC CE CE CE====--，故答案为：1 2 .【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．17．②【解析】【分析】根据弦与直径的定义对各命题进行判断.【详解】解：过圆心的弦是直径，所以①③错误；直径是弦，所以②正确；一个圆的直径有一条无数条，所以④错误．故答案为②．【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．18．2 3π【解析】【分析】先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴，∴S 扇形ABD=(23023603ππ⨯=，又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD ﹣S △ABC =S 扇形ABD =23π， 故答案为：23π． 【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S 阴影部分 =S 扇形ABD 是解题的关键. 19．3【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,【详解】因为关于x 的方程(m +1)x |m -1|+mx -1=0是一元二次方程, 所以12m -=,且 m +10≠,解得: 3m =或1m =-,且1m ≠-,所以3m =,故答案为:3.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义. 20．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)先计算出判别式的值，再进行配方得到21=4152m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则根据非负数的性质可判断△＞0恒成立，于是利用判别式的意义可得到结论；(2)根据根与系数的关系得到2(m ＋1)＝0，解得m ＝－1，然后把m ＝－1代入原方程得到240x -=，然后利用直接开平方法解方程即可.【详解】()1证明：()24(1)43m m =+--24416m m =++ 214()152m =++， ∵214()02m +≥， ∴214()1502m ++>，即0>， ∴无论m 取何值，此方程都有两个不相等的实数根；()2解：根据题意得()210m +=，解得1m =-，则方程化为240x -=，解得12x =，22x =-，即m 为1-时，方程的两根互为相反数，此时方程的解为12x =，22x =-，【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与△＝b 2－4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根，掌握根与系数的关系是解题关键..21．(1)详见解析；（2）详见解析；（3）42a -<<.【解析】【分析】（1）分类讨论：当k =0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k ≠0时，计算判别式得到△=(3k -1)2，由此得到△≥0，由此判断当k ≠0时，方程有两个实数根；（2）令y =0，解关于x 一元二次方程，求出二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为-3和1k-，然后根据整数的整除性可确定负整数k 值； (3)把x =2代入抛物线的解析式即可求出2y ，把x =a 代入抛物线的解析式即可用含a 的式子表示1y ，再利用12y y >即可求出a 的取值范围.【详解】解：()1证明：当0k =时，方程变形为30x +=，解得3x =-；当0k ≠时，22(31)43(31)k k k =+-⋅⋅=-，∵2(31)0k -≥，∴0≥，∴当0k ≠时，方程有实数根，∴无论k 取任何实数时，方程总有实数根；()2解：()()231300kx k x k +++=≠()()130kx x ++=， 解得：11x k=-，23x =-， 所以二次函数()2313y kx k x =+++的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为1k -和3-， 根据题意得1k-为整数，且k 为负整数 所以整数1k =-；二次函数为223y x x =--+；函数图象如下：()3解：把点()22,Q y 代入223y x x =--+得25y =-，则点Q 的对称点为()4,5--，由图象可知：当42a -<<时，12y y >．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ，二次函数的对称性，以及利用二次函数图像解决二次函数与不等式的关系.22．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接AI ，AD ，BD ，运用圆周角定理、内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可求得∠AID=∠DAI ，得出DA=DI ．（2）连接OD ，过点A 作AE CD ⊥，垂足为点E ，由 AB 是⊙O 的直径 ，可得90ACB ∠=°再证△AOD 是等腰直角三角形，在Rt △ACE 中和Rt △AED 中，由勾股定理得结果.【详解】解：（1）证明：连接AI∵点I 是△ABC 的内心∴ CAI IAB ∠=∠，ACD DCB ∠=∠∵ DAB DCB ∠=∠∴ ACD DAB ∠=∠∵ CAI ACD AID ∠+∠=∠， IAB DAB IAD ∠+∠=∠∴ AID IAD ∠=∠∴ DA DI =（2）连接OD ，过点A 作AE CD ⊥，垂足为点E∵ AB 是⊙O 的直径∴ 90ACB ∠=°∵ 1452ACD DCB ACB ∠=∠=∠=° ∴ 290AOD ACD ∠=∠=°∵在Rt △AOD 中 222O A O D A D+=∴ AD =∵ AE CD ⊥∴ 90AEC AED ∠=∠=°∵在Rt △ACE 中 90ACE CAE ∠+∠=°∴ 45ACE CAE ∠=∠=°∴ AE CE =∵在Rt△ACE中222+=AE CE AC∴AE CE==∵在Rt△AED中222+=AE DE AD∴DE=∴CD CE DE=+=图1 图2【点睛】本题考查三角形的内心及其性质的应用，圆周角定理的应用，23．（1）y=﹣（x﹣4）2；（2）当x＜4时，y随x的增大而增大．【解析】【分析】（1）由于当x=4时有最大值，则抛物线的顶点式为y=a（x﹣4）2，再把（1，﹣3）代入即可求出a，从而得到二次函数解析式；（2）根据抛物线的对称轴的位置，易得当x＜4时，y随x的增大而增大．【详解】（1）根据题意，得：y=a（x﹣4）2，把（1，﹣3）代入，得：﹣3=a（1﹣4）2，解得：a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）2；（2）∵抛物线的对称轴为直线x=4，抛物线开口向下，∴当x＜4时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．24．或3;(2)274 . 【解析】 分析：（1）如图1，由平行四边形的性质得DB 1∥AC ，且DB 1=AC =3，由折叠知BD =DB 1= 3，∠BDE =∠EDB 1==30°，过E 作EH ⊥DB 于H ，则DH =BH =32，在Rt △DEH 中，根据勾股定理得DE 2=（DE ）2+，解之可得DE 的值；如图2，由平行四边形的性质得B 1D ∥AC ，且B 1D =AC =3，又CD =12AB =3，∠CAB =60°，可证四边形ACDB 1为含60°角的菱形，从而∠E B 1D =∠C B 1D =30°，即E 与C 重合，DE 的长即是CD 的长.（2）设B 1D 、B 1E 分别与AC 交于P 、Q ，在Rt △ADP 中，求出AP 和DP 的长，在Rt △B 1PQ中，求出B 1P 和PQ 的长，然后根据△DE B 1和△ABC 重叠部分的面积=S △B 1DE - S △B 1PQ 计算即可.详解：（1）如图1，若四边形为ACB 1D 的平行四边形，则有DB 1∥AC ，且DB 1=AC =3，由题意，∠B =30°，∠BDE =∠EDB 1=30°，∴DE =BE ，在Rt △ABC 中，∠A =60°，AC =3，∴AB =6，BD =3，过E 作EH ⊥DB 于H ，则DH =BH =，在Rt △DEH 中，EH =DE ，DH =，∴DE 2=（DE ）2+，∴DE=；如图2，若四边形为ACDB1的平行四边形，则有，B1D∥AC，且B1D=AC=3，∵CD=AB=3，∠CAB=60°，∴四边形ACDB1为含60°角的菱形，∵∠E B1D=∠C B1D =30°，∴E与C重合，∴DE=CD=3；综上，DE=或3,（2）当DB1⊥AC时（如图3），设B1D、B1E分别与AC交于P、Q，则：Rt△ADP中，∠A=60°，AD=3，∴AP=，DP=，Rt△B1PQ中，∠B 1=∠B=30°，B 1P=3－，∴PQ =－，∴S △B 1PQ =×B 1P PQ = ×（3－）（－）=－，又S △B 1DE ==×DB 1 PC =×3×=，∴△DE B 1和△ABC 重叠部分的面积=－+=－.点睛：本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定与性质，割补法求图形的面积及分类讨论的数学思想，分两种情况求解是解（1）的关键，运用割补法是解（2）的关键. 25．见解析【解析】【分析】(1)直接利用已知点的坐标确定原点即可；(2)根据直角三角形的性质作图；(3)由位似图形的性质得出对应点的位置即可.【详解】()1如图所示：平面直角坐标系即为所求；()2如图所示：()2,0C ，()10,0C 即为所求；()3如图所示：A ´BC ´即为所求． 【点睛】本题主要考察了位似图形的性质.26．①11x =，213x =-；②11x =+，21x =；③152x =，232x =-；④111x =，29x =-．【解析】【分析】①方程先变形为-3x （x-1）-（x-1）=0，然后利用因式分解法求解；②利用配方法得到23(1)2x -=，然后利用直接开平方法解方程； ③先把方程变形为（2x-1）2=16，然后利用直接开平方法解方程；④先把方程整理为x 2-2x-99=0，然后利用因式分解法解方程．【详解】①()()3110x x x ----=，()()1310x x ---=，10x -=或310x --=，所以11x =，213x =-； ②2122x x -=， 212112x x -+=+， 23(1)2x -=，1x -=，所以112x =+，212x =-； ③2(21)16x -=，214x -=±， 所以152x =，232x =-； ④22990x x --=()()1190x x -+=，110x -=或90x +=，所以111x =，29x =-．【点睛】考查一元二次方程的解法，观察题目，选择合适的方法是解题的关键.27．（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由角平分线性质定理可得DE ＝DF ，由圆内接四边形性质可得∠A ＋∠BCD ＝180°，然后代换可得∠A ＝∠DCF ，又∠DEA ＝∠F ＝90°， 所以△AED ≌△CFD ；（2）由三角形全等可得AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，可得x ＝1；在Rt △BFD ，根据30°所对的直角边是斜边的一半，则BD ＝2DF ，利用勾股定理解得BD ＝【详解】（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠BCD ＝180°，又∵∠DCF ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠DCF∵BD 是∠ABC 的角平分线，又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF ，∠DEA ＝∠F ＝90°，∴△AED ≌△CFD.（2）∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，则BE ＝10－x ，BF ＝8＋x ，即10－x ＝8＋x ，解得x ＝1，在Rt △BFD ，∠DBC ＝30°，设DF ＝y ，则BD ＝2y ，∵BF 2＋DF 2＝BD 2，∴y 2＋92＝（2y ）2，y ＝，BD ＝【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，由条件灵活转移线段关系是解题关键.。
2018-2019学年青岛版九年级上学期数学教材专题4.3 用公式法解一元二次方程习题精选(一)(解析版)
............4.4用因式分解法解一元二次方程补充习题（一）一．基础测试：（每题3分，共18分）1.x2﹣5x因式分解结果为，2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）因式分解结果为．【答案】x（x﹣5），（x﹣3）（2x﹣5）【解析】试题分析：解答分解因式的问题要先分析是否可以提取公因式，再分析是否可以采用公式法.，.考点：分解因式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分解因式的方法，即可完成.2.因式分解结果为________，方程的根为________．【答案】(1). （x+24）(x-4)(2). x1=-24 ， x2=4【解析】运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解，x2+20x-96=（x+24）（x-4）．然后把x2+20x-96=0方程因式分解为（x+24）（x-4）=0然后根据ab=0式的方程的解法，可得x+24=0或x-4=0，解得x1=-24，x2=4．故答案为：（x+24）（x-4）；-24，4．点睛：本题考查的是二次三项式的因式分解和因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解并求出方程的两个根．3.一元二次方程x（x﹣1）=x的解是．【答案】x1=0，x2=2．【解析】试题分析：注意要把方程化为左边为两个一次因式相乘，右边为0的形式，才能运用因式分解法解方程．解：原方程变形得：x（x﹣1）﹣x=0x（x﹣2）=0∴x1=0，x2=2故本题的答案是x1=0，x2=2．考点：解一元二次方程-因式分解法．4.小华在解一元二次方程x2﹣4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的一个根x= ．【答案】0．【解析】试题分析：观察方程x2-4x=0可知，常数项为零，即两根之积为0，根据两根之积公式可求出被他漏掉的一个根．试题解析：设方程的另一根为x1，∵方程的常数项为0，又∵x=4，∴x1×4=0解得x1=0．考点：根与系数的关系．5.若关于x的方程x2－5x＋k＝0的一个根是0，则另一个根是．【答案】5【解析】试题分析：设方程x2–5x+k=0的另外一个根为x，则x+0=5解得：x=5．故答案是5．考点：1.根与系数的关系2.一元二次方程的解．6.经计算整式x+1与x-4的积为，则=0的所有根为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则方程x2-3x-4=0，即是（x+1）（x-4）=0，根据两个式子的积是0，则两个式子中至少有一个是0，即可得到x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4.故选：B点睛：利用因而分解法解一元二次方程的关键是正确分解因式，理解因式分解法的依据．二．能力测试：（7，8，9，10题每题3分，11题每个方程7分，共47分）7.三角形一边长为10，另两边长是方程x2-14x+48=0的两根，则这是一个三角形.【答案】直角【解析】解：解方程得∵∴这个三角形为直角三角形8.三角形的每条边长都是方程的根，则三角形的周长是__________.【答案】10【解析】此题考查一元二次方程的解法、三角形的边的关系及三角形周长的计算；方程可以化为，所以三角形的边有可能为2,2,4 和4,4,2，根据三角形的任意两边之和大于第三边的定理可知2,2,4不能构成三角形，所以周长是4+4+2=10；9.关于x的一元二次方程（m-1）x2＋x＋m2-1=0的一个根是0，则m的值为（）A. 1B. -1C. -1或1D.【答案】B【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+m2-1=0有一个根是0，∴m2-1=0，解得：m=±1，∵m-1≠0，∴m≠1，∴m=-1．故选B．考点：一元二次方程的解．10.将4个数排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成,定义,上述记号就叫做2阶行列式．若,则．【答案】【解析】试题分析：由题意可得：（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）=6,即：2x2=6即x2=3解得x=或．故答案是或．考点：解一元二次方程．11.用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用十字相乘法因式分解求出方程的根，（2）用平方差公式因式分解求出方程的根，（3）用提公因式法因式分解求出方程的根，（4）用平方差公式因式分解求出方程的根，（5）用十字相乘法因式分解求出方程的根.【详解】解：（1）（x-5）（x-7）=0∴x ₁=5，x ₂=7．（2）（3x-1+2）（3x-1-2）=0（3x+1）（3x-3）=0∴x ₁= -，x ₂=1．（3）（2x-3）[3（2x-3）-2]=0（2x-3）（6x-11）=0∴x ₁=，x ₂=．（4）[3（x+2）+4（2x-5）][3（x+2）-4（2x-5）]=0（3x+6+8x-20）（3x+6-8x+20）=0（11x-14）（-5x+26）=0∴x ₁=，x ₂=．（5）（x+3-2）（x+3-3）=0x（x+1）=0∴x ₁=0，x ₂=-1.【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解方程.三．拓展测试：（12，13，14每题5分，15，16每题10分，共35分）12.若，则_________．【答案】4【解析】【分析】把a2+b2看成是一个整体，用十字相乘法因式分解，解关于a2+b2的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去．【详解】解：(a ²+b ²) ²−3(a ²+b ²)−4=0，(a ²+b ²−4)(a ²+b ²+1)=0，∴a ²+b ²+1>0，∴a ²+b ²=4.故答案是：4.【点睛】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．13.关于的一元二次方程的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 无数个【答案】D【解析】求得和为-5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．然后由-5+0=-5；-4+（-1）=-5；-3+（-2）=-5；1+（-6）=-5；2+（-7）=-5；3+（-8）=-5；4+（-9）=-5…可得p=-5×0=0或-4×（-1）=4或-3×（-2）=6或1×（-6）=-6或2×（-7）=-14；或3×（-8）=-24；或4×（-9）=-36…．故选：D．点睛：本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项．14.若关于x的多项式x2-px-6含有因式x－3，则实数p的值为（）A. －5B. 5C. －1D. 1【答案】D【解析】试题解析：(x−3)(x+2)=x2−x−6，所以p的数值是1.故选D.15.如果方程与方程有一个公共根是3，求a、b的值，并分别求出两个方程的另一个根．【答案】a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5．【解析】试题分析：把x=3代入题中两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a、b 的值，再解方程即可求得．试题解析：将代入两个方程得，解得：,∴；将代入方程得，∴，∴，∴该方程的另一个根为－2；将代入方程得，∴，∴，∴该方程的另一个根为－5．16.如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的小正方形．（1）用、、表示纸片剩余部分的面积；（2）当，，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据题意可知纸片剩余部分的面积=矩形的面积-四个小正方形的面积；（2）根据剪去部分的面积等于剩余部分的面积列方程，然后解方程即可.试题解析：（1）.（2）依题意.即：∵x取正数答：正方形的边长是.点睛：本题主要考查用字母表示数或式子的能力. 解题的关健在于要把握好题中的数量关系：纸片剩余部分的面积＝矩形纸片面积－4小正方形的面积，即可得出第（1）的结果，在第（2）问中，利用“剪去部分的面积＝剩余部分的面积”列方程，并用平方根的定义进行求解，同时注意答案要符合题意.。
人教版九年级上册数学《圆》单元测试带答案
人教版数学九年级上学期《圆》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题(共10小题)1.下列说法:(1)长度相等的弧是等弧，(2)相等的圆心角所对的弧相等，(3)劣弧一定比优弧短，(4)直径是圆中最长的弦.其中正确的有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，为圆的直径，弦，垂足为，，半径为25，则弦的长为( )A. 24B. 14C. 10D. 73.如图，AB，CD是⊙O的直径，弧AE=弧BD，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是( )A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°4.如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD=弧CB，∠A=40°，则∠CEB的度数为( )A. 50°B. 80°C. 70°D. 90°5.如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q6.如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为()A. B. C. D. 27.已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是( )A. 1B.C. 2D.8.如图，A、B．C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB=45°，那么弧AB的长为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π9.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为( )A. 16B. 14C. 12D. 1010.如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD=弧CD，如果∠CAB=40°，那么∠CAD的度数为( )A. 25°B. 50°C. 40°D. 80°二、填空题(共8小题)11.如图，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB与∠COD的关系是_____．12.如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB=30°，则∠D=_____度．13.如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为_____．14.如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．(结果保留π)15.王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为_____m．16.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB=_____°．17.如图，边长为6的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴．将正六边形绕原点逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2019时，顶点A的坐标为_____．18.如图，在△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝2，则扇形BDE的面积为_____．三、解答题(共7小题)19.已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AC上一点，AE、DC的延长线相交于点F，求证:∠AED=∠CEF20.如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．21.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．(1)求证:BM=CM;(2)当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．22.如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC=BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．(1)求∠ABC的度数;(2)若AB=2，求阴影部分的面积．23.如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，．(1)求证:CD=CE．(2)若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．24.如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．(1)求BC的长;(2)求证:PB是⊙O的切线．25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC=∠BAC．(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．参考答案一、选择题(共10小题)1.下列说法:(1)长度相等的弧是等弧，(2)相等的圆心角所对的弧相等，(3)劣弧一定比优弧短，(4)直径是圆中最长的弦.其中正确的有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断．【详解】(1)长度相等的弧是等弧，错误;(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，错误;(3)在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，错误;(4)直径是圆中最长的弦，正确;故选:A.【点睛】考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，解答此类问题注意前提条件是在同圆或等圆中.2.如图，为圆的直径，弦，垂足为，，半径为25，则弦的长为( )A. 24B. 14C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理得到AE=EB，根据勾股定理求出AE，得到答案．【详解】连接OA，∵CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，∴AE=EB，由题意得，OE=OC-CE=24，在Rt△AOE中，AE==7，∴AB=2AE=14，故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3.如图，AB，CD是⊙O的直径，弧AE=弧BD，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是( )A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°【答案】D【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由弧AE=弧BD得到∠AOE=∠BOD=32°，然后利用对顶角相等得∠BOD=∠A OC=32°，易得∠COE=64°．【详解】∵弧AE=弧BD，∴∠AOE=∠BOD=32°．∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°．故选D．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4.如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD=弧CB，∠A=40°，则∠CEB的度数为( )A. 50°B. 80°C. 70°D. 90°【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠A=∠C=40°，由三角形外角的性质即可得到结论．【详解】∵弧AD=弧CB，∴∠A=∠C．∵∠A=40°，∴∠CEB=∠A+∠C=80°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．5.如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q【答案】C【解析】试题分析:连接OM，ON，OQ，OP，由线段垂直平分线的性质可得出OM=ON=OQ，据此可得出结论．解:连接OM，ON，OQ，OP，∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，∴OM=ON=OQ，∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，∴点P不一定在圆上．故选C．考点:点与圆的位置关系;线段垂直平分线的性质．6.如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为()A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．【详解】解:连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，∴△OAP≌△OBP，∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，∴AP=,∴AB=2．故选:A．【点睛】本题主要考查了切线、勾股定理的应用，本题综合性较强;掌握其定理、性质，才能熟练解答．7.已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是( )A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】如图，连接OA，作OM⊥AB．∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AM AB2=1，∴正六边形的边心距是OM．故选B．【点睛】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算．8.如图，A、B．C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB=45°，那么弧AB的长为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB=90°，再根据弧长公式计算即可．【详解】如图，连接OA、OB．∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°．∵OA=4，∴弧AB的长=2π．故选B．【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式l．9.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为( )A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，根据BC=5，于是得到△ABC的周长．【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF．∵BE+CE=BC=5，∴BD+CF=BC=5，∴△ABC的周长=2+2+5+5=14．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD=弧CD，如果∠CAB=40°，那么∠CAD的度数为( )A. 25°B. 50°C. 40°D. 80°【答案】A【解析】【分析】先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】如图，连接BC，BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°．∵弧AD=弧CD，∴∠ABD=∠CBD∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线．二、填空题(共8小题)11.如图，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB与∠COD的关系是_____．【答案】∠AOB=∠COD【解析】【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系求解．【详解】∵弧AB=弧CD，∴∠AOB=∠COD．故答案为:∠AOB=∠COD．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．12.如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB=30°，则∠D=_____度．【答案】30【解析】【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD=60°，然后利用互余计算∠D的度数．【详解】连接OC，如图，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAB=30°，∴∠COD=∠ACO+∠CAB=60°，∴∠D=90°﹣∠COD=90°﹣60°=30°．故答案为:30．【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．13.如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为_____．【答案】4【解析】【分析】连接OA，OB，证出△BOA是等边三角形，【详解】解:如图所示，连接OA、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4故答案为4【点睛】本题考查正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握正六边形的性质．14.如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．(结果保留π)【答案】5π【解析】【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式计算即可求解．【详解】∵△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积5π．故答案为:5π．【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解:阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题的关键．15.王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为_____m．【答案】5【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD．在Rt△AOD中，根据勾股定理列式计算即可．【详解】连接OA．∵OD⊥AB，∴AD AB=3．在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即OC2=(9﹣OC)2+32，解得:OC=5．故答案为:5．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．16.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB=_____°．【答案】70【解析】【分析】连接OA、OB，如图，根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【详解】连接OA、OB，如图，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣40°=140°，∴∠ACB∠AOB140°=70°．故答案为:70．【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．17.如图，边长为6的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴．将正六边形绕原点逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2019时，顶点A的坐标为_____．【答案】(3，)【解析】【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转2019次时，点A所在的位置就是原D点所在的位置．【详解】2019×60°÷360°=336…3，即与正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转3次时点A的坐标是一样的．当点A按逆时针旋转180°时，与原D点重合．连接OD，过点D作DH⊥x轴，垂足为H;由已知ED=6，∠DOE=60°(正六边形的性质)，∴△OED是等边三角形，∴OD=DE=OE=6．∵DH⊥OE，∴∠ODH=30°，OH=HE=3，HD=．∵D在第四象限，∴D(3，﹣3)，即旋转2019后点A的坐标是(3，﹣3)．故答案为:(3，﹣3)．【点睛】本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．18.如图，在△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝2，则扇形BDE的面积为_____．【答案】．【解析】【分析】解答时根据扇形面积公式带入数值进行计算即可得到答案【详解】扇形面积:S=在△ABC中，D为BC的中点BD=DCBD长为半径画一弧交AC于E点BD=DE∠A＝60°，∠B＝100°∠C＝20°=∠DEC∠BDE=∠C+∠DEC=40°=aBC＝2 r=1S=故答案为:【点睛】此题重点考察学生对扇形面积公式的理解，正确选择面积公式是解题的关键三、解答题(共7小题)19.已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AC上一点，AE、DC的延长线相交于点F，求证:∠AED=∠CEF【答案】见解析【解析】【分析】连结AD，如图，根据垂径定理由CD⊥AB得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理得∠ADC=∠AED，然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF=∠ADC，于是利用等量代换即可得到结论．【详解】证明:连结AD，如图，∵CD⊥AB，∴弧AC=弧AD，∴∠ADC=∠AED，∵∠CEF=∠ADC，∴∠AED=∠CEF．【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．20.如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC=∠CAO，即AC平分∠BAE．【详解】如图:连接OC．∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE．又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE．【点睛】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．(1)求证:BM=CM;(2)当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．【答案】(1)答案见解析;(2)135°．【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论;(2)连接OA、OB、OM，根据正方形的性质求出∠AOB和∠AOM，计算即可．【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴．∵M为的中点，∴，∴，∴BM=CM;(2)连接OA、OB、OM．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90°．∵M为弧AD的中点，∴∠AOM=45°，∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°．【点睛】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．22.如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC=BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．(1)求∠ABC的度数;(2)若AB=2，求阴影部分的面积．【答案】(1)45°;(2)．【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论;(2)根据阴影部分的面积=S△ABC－S扇形DBC即可得到结论．【详解】(1)∵AB为半圆⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AC=BC，∴∠ABC=45°;(2)∵AC=BC，∴∠ABC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵AB=2，∴BC=AB=，∴阴影部分的面积=S△ABC－S扇形DBC=．【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．23.如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，．(1)求证:CD=CE．(2)若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．【答案】(1)证明见解析;(2)y=x2．【解析】【分析】(1)连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明;(2)连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】(1)证明:连接OC，∵，∴∠COA=∠COB，∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，∴OD=OE，在△COD和△COE中，，∴△COD≌△COE(SAS)∴CD=CE;(2)连接AC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵点D是OA的中点，∴CD⊥OA，OD=OA=x，在Rt△COD中，CD=OD•tan∠COD=，∴四边形ODCE的面积为y=×OD×CD×2=x2．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．24.如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．(1)求BC的长;(2)求证:PB是⊙O的切线．【答案】(1)4;(2)详见解析【解析】【分析】(1)首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长;(2)由OC＝CP＝4，△OBC是等边三角形，可求得BC＝CP，即可得∠P＝∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC＝60°，∠CBP ＝30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．【详解】(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴弧BC与弧AC的度数为:60°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OC＝4;(2)证明:∵OC＝CP，BC＝OC，∴BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP+∠OBC＝90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．【点睛】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC=∠BAC．(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析;(2)．【解析】【分析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论;(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD，证明△CDE∽△DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即:BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即:BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线;(2)∵∠BAF=∠BDE=90°，∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠ADB=∠ACB，∴∠F=∠FDE，∴DE=EF=3．∵CE=2，∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，∴CD．∵∠BDE=90°，CD⊥BE，∴∠DCE=∠BDE=90°．∵∠DEC=∠BED，∴△CDE∽△DBE，∴，∴BD，∴⊙O的半径．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE=EF是解答本题的关键．。
数学九年级上册《旋转》单元测试题附答案
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·南通市启秀中学初三月考）国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合?（ ）A.36︒B.60︒C.45︒D.72︒2．（2019·北京初三）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）A. B. C. D.3．（2019·河北初三）下列图形与所描述的一致的是（ ）A.等边三角形是中心对称图形B.所有直角三角形都是轴对称图形C.所有平行四边形都是中心对称图形D.正五边形是中心对称图形4．（2019·抚顺市第十五中学初三）如图，直线3y x =经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 顺时针旋转60°得到△CBD ，若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A.（3，12）B.（52，12）C.（33D.（523 5．（2019·厦门市松柏中学初二期中）已知点A 与点()4,5B --关于原点对称，则A 点坐标是（ ）A.()45-，B.()45-，C.()4,5--D.()4,56．（2019·黑龙江初三）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB′C′，若B′落到BC 边上，∠B ＝50°，则∠CB′C′的度数为（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°7．（2019·辽宁初三）如图，在矩形ABCD 中，5AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE EF =，则AB 的长为( )A.52B.53C.8D.108．（2019·山西初三）自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形(即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系)的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.9．（2019·山东初三）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点都在方格线的格点上，将ABC ∆绕点P 顺时针方向旋转90，得到'''A B C ∆，则点P 的坐标为( )A.()0,4B.()1,1C.()1,2D.()2,110．（2019·长沙麓山国际实验学校初三月考）如图，△AOB 绕点O 逆时针旋转65°得到△COD ，若∠AOB ＝30°，∠BOC 的度数是（ ）A.30°B.35°C.45°D.60°二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2019·广东初三）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣2，3）、B （﹣1，0）、C （0，1），将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1，点A 、B 、C 的对应点分别为A 1、B 1、C 1，则点A 1的坐标为_____．12．（2017·上海初三）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ．设BE ＝a ，DC ＝b ，那么AB ＝_____．（用含a 、b 的式子表示AB ）13．（2019·浙江初三月考）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度至△AB'C'处，使得点C 恰好在线B'C'上，若∠ACB=75°，则∠BCB'的度数为_______．14．（2019·浙江初三月考）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，1），AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是____.15．（2019·福建省建瓯市芝华中学初三月考）如图，方格中的四叶风车，其中一个叶轮至少旋转________度才能与相邻的叶轮重合?16．（2019·湖北初三期中）如图①，在△AOB 中，∠AOB ＝90º，OA ＝3，OB ＝4．将△AOB 沿 x 轴依次以点 A 、B 、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为____.三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·厦门市第五中学初三期中）已知，如图ABC △与111A B C △关于点O 对称，画出点O 和111A B C △18．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC，求∠A的度数．∆绕B点顺时针旋转90，A与C重合，F与19．如图，已知正方形ABCD中，F为BC上一点，把ABF⊥.AB延长线上的E点重合，延长AF交CE于G点，求证AG CE四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·辽宁初三）如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．21．（2019·浙江初三月考）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A′B′C′．（2）求点B 绕点O 旋转到点B′的路径长（结果保留π）．22．在平面直角坐标系中，ABC ∆的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕着点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后得到的222A B C ∆，并直接写出点2B ，2C 的坐标.五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·张家界市民族中学初二期中）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．24．（2019·山东初三期中）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且BF ＝DE，连接AE，AF，EF.（1）判断△ABF与△ADE有怎样的关系，并说明理由；（2）求∠EAF的度数,写出△ABF可以由△ADE经过怎样的图形变换得到；（3）若BC＝6，DE＝2，求△AEF的面积．25．（2019·南通市崇川学校初二月考）如图点P 是等边△ABC 内一点,将△APC 绕点C 顺时针旋转60°得到△BDC，连接PD.(1)求证：△DPC 是等边三角形；(2)当∠APC=150°时，试判断△DPB 的形状，并说明理由；(3)当∠APB=100°且△DPB 是等腰三角形，求∠APC 的度数。
鲁教版2019学年度九年级数学第一学期期末模拟测试题4(附答案详解)
鲁教版2019学年度九年级数学第一学期期末模拟测试题4（附答案详解）一、单选题1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为( )A．50°B．130°C．100°D．80°2．设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y＝的图像上的两个点，当x1<x2<0时，y1<y2，则一次函数y＝－2x＋k的图像不经过的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）cm．A．B．C．D．4．如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB=10，则CD长为（）A．12．5 B．13 C．25 D．265．一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60°，则OP=（）A．50cm B．3cm C．33cm D．3cm6．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A．215-B．253-C．215-或253-D．以上都不对7．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（）A．y=x（40﹣x）B．y=x（18﹣x）C．y=x（40﹣2x）D．y=2x（40﹣2x）8．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图为（）A．B．C．D．9．如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧、是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（）A．4π+2B．C．D．4π10．如图：点P（x，y）为平面直角坐标系内一点，PB⊥x 轴，垂足为B， A为（0，2），若PA=PB，则以下结论正确的是（）．A．点P在直线114y x=+上 B．点P在抛物线2114y x=-上C．点P在抛物线2114y x=+上 D．点P在抛物线2122y x=+上11．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A B C'',已知AC=6,BC=4,则线段AB 扫过的图形的面积为（）A ．23π B ． 83π C ． 6π D ． 103π 12．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象如下图所示，其中正确的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为________．14．已知直线y 1=2x-4与双曲线y 2=kx(k>0)在第一象限内交于点P （6,8），则当120y y <<时，自变量x 的取值范围是_____________.15．如图，线段OA =4，点C 是OA 的中点，以线段CA 为对角线作正方形ABCD .将线段OA 绕点O 向逆时针方向旋转60°，得到线段OA ′和正方形A ′B ′C ′D ′. 在旋转过程中，正方形ABCD 扫过的面积是_______________________.（结果保留）16．如图，点A 是反比例函数xy 4=图象上一点，AB ⊥y 轴于点B ，那么△AOB 的面积是O xyA B17．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15，sinC=35，则AB= ．18．P为反比例函数3yx的图象上一点，它的横坐标与纵坐标之差为2，则点P的坐标为_______.19．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A 在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则的值为_________.20．如图，AB是⊙0的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm ,那么A、B两点到直线CD 的距离之和为 .三、解答题21．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x 成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范为；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？22．如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，点D为抛物线的顶点．求抛物线解析式和顶点D的坐标；求抛物线与x轴的两交点A、B的坐标；你可以直接写出不等式的解集吗？23．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．24．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标．25．如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ，过点D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H 。
2019年九年级上册期末复习《第四章等可能条件下的概率》单元试卷含解析-(苏科版数学)
期末复习：苏科版九年级数学上册第四章等可能条件下的概率一、单选题（共10题；共30分）1.在一个不透明的笔袋中装有两支黑色笔和一支红色笔，除颜色不同外其他都相同，随机从其中摸出一支黑色笔的概率是A. B. C. D. 12.某学生书包中有三枝红铅笔，两枝黑铅笔，一支白铅笔，它们的形状、大小一样，从中任意摸出一枝，那么摸到白铅笔的机会是（）A. B. C. D.3.一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( )个A. 45B. 48C. 50D. 554.已知一次函数y=+b，从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为（）A. B. C. D.5.袋子中装有4个黑球2个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子种随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是（）A. B. C. D.6.一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A. 摸到红球是必然事件B. 摸到黄球是不可能事件C. 摸到白球与摸到黄球的可能性相等D. 摸到红球比摸到黄球的可能性小7.甲乙丙三个同学随机排成一排照相，则甲排在中间的概率是（）A. B. C. D.8.标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（）A.12个黑球和4个白球B.10个黑球和10个白球C.4个黑球和2个白球D.10个黑球和5个白球9.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（）A. B. C. D.10.在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）,A. B. C. D. 1二、填空题（共10题；共30分）11.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是6的概率是________．12.布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是________．13.一个袋中装有6个红球，4个黄球，1个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到________球的可能性最大14.不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．15.在一个不透明的布袋中有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则n= ________．16.布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是________．17.小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是________．18.从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是________。
湘教版九年级数学上册 第4章 单元检测题
第4章 单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)1．计算：sin 60°·tan 30°＝( B )A ．1B ．12C ．32D ．2 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝4，BC ＝3，那么∠A 的正切值为( A )A ．34B ．43C ．35D ．453．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，cos A ＝23，那么AB 的长是( B ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．94．如图，为测量河两岸相对两电线杆A ，B 间的距离，在距A 点16 m 的C 处(AC ⊥AB)，测得∠ACB ＝52°，则A ，B 之间的距离应为( C )A ．16sin 52° mB ．16cos 52° mC ．16tan 52° mD ．16tan 52°m 第4题图 第5题图 第6题图第7题图5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝45，则sin B ＝( A ) A ．45 B ．54 C ．53 D ．356．如图所示，△ABC 在正方形网格中的位置如图示(A ，B ，C 均在格点上)，AD ⊥BC 于点D.下列四个选项中正确的是( C )A ．sin α＝cos αB ．sin α＝tan αC ．sin β＝cos βD ．sin β＝tan β7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m 长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( A )A ．2ndF sin 0 · 2 5 ＝B ．sin 2ndF 0 · 2 5 ＝C ．sin 0 · 2 5 ＝D ．2ndF cos 0 · 2 5 ＝8．若锐角三角函数tan 55°＝a ，则a 的范围是( B )A ．0＜a ＜1B ．1＜a ＜2C ．2＜a ＜3D ．3＜a ＜49．如果sin 2α＋cos 230°＝1，那么锐角α的度数是(A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．(2019·杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB ＝a ，AD ＝b ，∠BCO ＝x ，则点A 到OC 的距离等于( D )A ．a sin x ＋b sin xB ．a cos x ＋b cos xC ．a sin x ＋b cos xD ．a cos x ＋b sin x第10题图 第11题图 第12题图11．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的垂直平分线与CD 交于点E ，与BC 交于点F.若CF ＝x ，tan A ＝y ，则x 与y 之间满足( A )A ．4y 2 ＋4＝x 2B ．4y 2 －4＝x 2C ．8y 2 －8＝x 2D ．8y 2 ＋8＝x 2 12．(2019·长沙)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD ＋55BD 的最小值是( B ) A ．25 B ．45 C ．53 D ．10二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．计算：4cos 60°＝__2__．14．(2019·怀化)已知∠α为锐角，且sin α＝12，则∠α＝__30°__． 15．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是5__． 第15题图 第16题图 第17题图第18题图16．(2019·醴陵期末)如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡AB 的坡度为1∶2，则此斜坡AB 长为_m __．17．如图，△ABC 中，cos B ＝22 ，sin C ＝35 ，BC ＝7，则△ABC 的面积是__212__． 18．如图，在△ABC 中，AD 平分∠CAB 交BC 于点E.若∠BDA ＝90°，E 是AD 中点，DE ＝2，AB ＝5，则AC 的长为__53 __． 三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)19．计算：2cos 60°＋4sin 60°·tan 30°－6cos 245°.解：原式＝2×12 ＋4×32 ×33 －6×(22)2＝1＋2－3＝020．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝ 5 ，b ＝15 ，解这个直角三角形．解：在Rt △ABC 中，∵a 2＋b 2＝c 2，a ＝ 5 ，b ＝15 ，∴c ＝（5）2＋（15）2 ＝2 5 ，∵tan A ＝a b ＝515＝33 ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°21．在一个Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A ＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12 ，是一个固定值；当∠A ＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值，这就引发我们产生这样一个疑问；当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′＝a ，那么BC AB 与B′C′A′B′有什么关系，你能解释一下吗？解：BC AB ＝B′C′A′B′，理由：∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′＝a ，∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∴BC AB ＝B′C′A′B′22．(2019·西藏)由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B 处时，测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行20海里到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，小岛A 周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意可知∠ABC ＝30°，∠ACD ＝60°，∵∠ACD ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠BAC ＝30°＝∠ABC ，∴CB ＝CA ＝20，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠ACD ＝60°，sin ∠ACD ＝AD AC ，∴sin 60°＝AD 20 ，∴AD ＝20×sin 60°＝20×32＝10 3 ＞10，∴航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险23．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，BC ＝1，AC ＝ 5 .(1)求sin A 的值．(2)你能通过sin A 的值求sin ∠CBD 的值吗？若能，请求出sin ∠CBD 的值，若不能，请说明理由．解：(1)在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AC ＝15＝55 (2)能．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°，∵∠CBD ＋∠C ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°，∴∠A ＝∠CBD ，∴sin ∠CBD ＝sin A ＝5524．(2019·天水)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处(PB 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3 .(参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1∶ 3 ，∴tan α＝13＝33 ，∴α＝30° (2)该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米，∵新坡面的坡度为1∶ 3 ，∴tan ∠CAD ＝CD AD ＝6AD ＝13 ，解得AD ＝6 3 米，∵坡面BC 的坡度为1∶1，CD ＝6米，∴BD ＝6米，∴AB ＝AD －BD ＝(6 3 －6)米，又∵PB ＝8米，∴PA ＝PB －AB ＝8－(6 3 －6)＝14－6 3 ≈14－6×1.732＝3.6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除25．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12. (1)如图1，分别过A ，C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M ，N ，若点B 恰好是线段MN 的中点，求tan ∠BAM 的值；(2)如图2，P 是边BC 延长线上一点，∠APB ＝∠BAC ，求tan ∠PAC 的值．解：(1)∵AM ⊥MN ，CN ⊥MN ，∴∠M ＝∠N ＝90°，∴∠MAB ＋∠ABM ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠NBC ＋∠ABM ＝90°，∴∠MAB ＝∠NBC ，∴△AMB ∽△BNC ，∴BN AM＝BC AB ＝tan ∠BAC ＝12.∵点B 是线段MN 的中点，∴BM ＝BN ，∴在Rt △AMB 中，tan ∠BAM ＝BM AM ＝12(2)如图2，过点C 作CD ⊥AC 交AP 于点D ，过点D 作DE ⊥BP 于点E.∵tan ∠BAC ＝12 ，∠APB ＝∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝BC AB ＝12 ，tan ∠APB ＝AB BP ＝12.设BC ＝x ，则AB ＝2x ，BP ＝4x ，则CP ＝BP －BC ＝4x －x ＝3x.同理(1)中，可得∠BAC ＝∠ECD ，∴∠APB＝∠ECD.∵DE ⊥BP ，∴CE ＝EP ＝12 CP ＝32 x.同理(1)中，可得△ABC ∽△CED ，∴CD AC＝CE AB ＝32x 2x ＝34 ，∴在Rt △ACD 中，tan ∠PAC ＝CD AC ＝3426．(2019·江西)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B －A －O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量：AO ＝6.8 cm ，CD ＝8 cm ，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm .(结果精确到0.1)(1)如图2，∠ABC ＝70°，BC ∥OE.①填空：∠BAO ＝________°；②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离；(2)如图3，将(1)中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6 cm 时，求∠ABC 的大小．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)解：(1)①过点A 作AG ∥BC ，如图1，则∠BAG ＝∠ABC ＝70°，∵BC ∥OE ，∴AG∥OE ，∴∠GAO ＝∠AOE ＝90°，∴∠BAO ＝90°＋70°＝160°，故答案为：160②过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图2，则AF ＝AB·sin ∠ABF ＝30sin 70°≈28.2(cm )，∴投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为：AF ＋OA －CD ＝28.2＋6.8－8＝27(cm )(2)过点D 作DH ⊥OE 于点H ，过点B 作BM ⊥CD ，与DC 延长线相交于点M ，过A 作AF ⊥BM 于点F ，如图3，则∠MBA ＝70°，AF ＝28.2 cm ，DH ＝6 cm ，BC ＝35 cm ，CD＝8 cm ，∴CM ＝AF ＋AO －DH －CD ＝28.2＋6.8－6－8＝21(cm )，∴sin ∠MBC ＝CM BC ＝2135＝0.6，∴∠MBC ＝36.8°，∴∠ABC ＝∠ABM －∠MBC ＝33.2°。
数学九年级上册《一元二次方程》单元检测(附答案)
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·临邑县实验中学初三期中）方程()223x x =-化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）A ．1、2、-3B ．1、2、-6C ．1、-2、6D ．1、2、62．（2019·南山第二外国语学校集团海德学校初三期中）若关于 x 的一元二次方程中 20ax bx c ++= 有一个根是-1，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b c ++=B ．0a b c -+=C ．0a b c ++=D ．1a b c -+=-3．（2019·厦门市第五中学初三期中）方程：x 2﹣25=0的解是（ ）A ．x=5B ．x=﹣5C ．x 1=﹣5，x 2=5D ．x=±254．（2019·湖北初三期中）方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A.m ＝±2B.m ＝2C.m ＝﹣2D.m ≠±2 5．（2017全国初三课时练习）方程 229(1)4(1)0x x +--= 正确解法是（ ）A ．直接开方得 3(1)2(1)x x +=-B ．化为一般形式 21350x +=C ．分解因式得 [][]3(1)2(1)3(1)2(1)0x x x x ++-+--=D ．直接得 x+1=0或 x-1=06．（2019·山东初三期中）已知关于的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为 （ ）A.52m ＜B.52m ＞C.52m ＜且2m ≠D.52m ＞且2m ≠ 7．（2019·广东初三期中）已知α、β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α、β为根的一元二次方程（ ） A ．x 2＋5x ＋6＝0 B ．x 2－5x ＋6＝0C ．x 2－5x －6＝0D ．x 2＋5x －6＝08．（2019·江苏东绛实验学校初三期中）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（ ） A.()113802x x -= B.x （x ﹣1）=380C.2x （x ﹣1）=380D.x （x +1）=380 9．（2019·湖南初三期中）如图，在宽度为20 m ，长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m 2 ， 求道路的宽．如果设小路宽为x m ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A.（20+x ）（32+x ）=540B.（20﹣x ）（32﹣x ）=100C.（20﹣x ）（32﹣x ）=540D.（20-2x ）（32﹣2x ）=54010．（2019·黑龙江省哈尔滨市第一五六中学初三期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A.50（1+x ）²=182B.50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182C.50（1+2x ）=182D.50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=182二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2018全国初三期末）把方程3x （x ﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是_______； 12．（2019·江苏初三期中）已知(m −3)x 2 −3x + 1 = 0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是______． 13．（2019·湖北初三期中）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．14．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）已知a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，则a 3+14b+50=_______． 15．（2019·上海市市八初级中学初二月考）已知方程220x kx +-=的一个根是1，则另一个根是_________. 16．（2019·江苏初三期中）方程（x -1）（x +2）=0的两根分别为________．三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·青浦区华新中学初二月考）解方程：3x 2﹣6x+1=0(用配方法)18．（2019·河南省实验中学初三月考）已知关于x 的一元二次方程22(1)(2)0x m x m m ---+=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求方程的另一个根.19．已知关于x 的方程2(1)2(1)0k x k x k +--+=有两个实数根1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）若12122x x x x +=+，求k 的值.四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：32111m m m m +⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中m 满足方程260m m --=． 21．（2019·上海初二期中）解方程：（1）（x-1）（x+3）=5（2）x 2+x-3=0（公式法）22．（2019·农安县前岗乡初级中学初三月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．(1)若每件衬衫降价4元，商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·河南初三月考）已知：如图所示．在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2c m/s 的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2?（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ?（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由．24．（2019·上海民办浦东交中初级中学初二月考）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大?最大面积是多少?25．（2019·江苏初三期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，a2有最小值0．（应用）：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=___1；（2）代数式m2+3的最小值是____3；（探究）：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n+4+5=（n+2）2+5∴当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值．（拓展）：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值．（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．参考答案一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·临邑县实验中学初三期中）方程()223x x =-化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）A ．1、2、-3B ．1、2、-6C ．1、-2、6D ．1、2、6【答案】C【解析】首先将方程()223x x =-化为一般形式: 2260x x -+=,然后根据此一般形式,即可求得答案. 【详解】解:方程()223x x =-化成一般形式是2260x x -+=, ∴二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为6.所以C 选项是正确的.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式.注意一元二次方程的一般形式是:ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0),其中a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.2．（2019·南山第二外国语学校集团海德学校初三期中）若关于 x 的一元二次方程中 20ax bx c ++= 有一个根是-1，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b c ++=B ．0a b c -+=C ．0a b c ++=D ．1a b c -+=-【答案】B【解析】把x=-1代入已知方程可以求得a-b+c=0．【详解】依题意，得x=-1满足关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，则a-b+c=0．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．3．（2019·厦门市第五中学初三期中）方程：x 2﹣25=0的解是（ ）A ．x=5B ．x=﹣5C ．x 1=﹣5，x 2=5D ．x=±25【答案】C【解析】利用直接开平方法解方程即可．【详解】移项得：x 2=25，∴x 1=﹣5，x 2=5．故选C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．（2019·湖北初三期中）方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A.m ＝±2B.m ＝2C.m ＝﹣2D.m ≠±2【答案】C【解析】根据一元二次方程的定义即可得．【详解】解：∵方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，∴|m |＝2，且m ﹣2≠0．解得：m ＝﹣2．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．5．（2017·全国初三课时练习）方程 229(1)4(1)0x x +--= 正确解法是（ ） A ．直接开方得 3(1)2(1)x x +=-B ．化为一般形式 21350x +=C ．分解因式得 [][]3(1)2(1)3(1)2(1)0x x x x ++-+--=D ．直接得 x+1=0或 x-1=0【答案】C【解析】A ：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x-1）和3（x+1）=-2（x-1），所以A 不正确； B ：化成一般形式应是：5x 2+26x+5=0；所以B 不正确；C ：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x-1）][3（x+1）-2（x-1）]=0，所以C 正确．D ：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D 不对．故选：C ．点睛：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的结构特点，用平方差公式因式分解．6．（2019·山东初三期中）已知关于的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为 （ ）A.52m ＜B.52m ＞C.52m ＜且2m ≠D.52m ＞且2m ≠ 【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根， ∴220{12(2)0m m -≠∆=--＞ 解得：52m <且2m ≠ 故选C.7．（2019·广东初三期中）已知α、β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α、β为根的一元二次方程（ ） A ．x 2＋5x ＋6＝0 B ．x 2－5x ＋6＝0C ．x 2－5x －6＝0D ．x 2＋5x －6＝0【答案】B【解析】分析： α 、β为一元二次方程的两根，且α、β满足α+ β=5、αβ=6．所以这个方程的系数应满足两根之和是b a - =5，两根之积是c a=6 ，当二次项系数为”1”时，可直接确定一次项系数、常数项． 本题解析：∵所求一元二次方程的两根是α、β，且α、β满足α+ β=5、αβ=6. ∴这个方程的系数应满足两根之和是b a -=5，两根之积是c a =6. 当二次项系数a=1时，一次项系数b=−5，常数项c=6.故选B8．（2019·江苏东绛实验学校初三期中）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（ ）A.()113802x x -=B.x （x ﹣1）=380C.2x （x ﹣1）=380D.x （x +1）=380 【答案】B【解析】设该班级共有同学x 名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．【详解】设全班有x 名同学，由题意得：x（x-1）=380，故选：B．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．9．（2019·湖南初三期中）如图，在宽度为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是（）A.（20+x）（32+x）=540B.（20﹣x）（32﹣x）=100C.（20﹣x）（32﹣x）=540D.（20-2x）（32﹣2x）=540【答案】C【解析】把白色部分经过平移合并成长为32-x，宽为20-x的小长方形，再根据小长方形的面积等于草坪的面积建立等式.【详解】白色部分经过平移合并成长为32-x，宽为20-x的小长方形则小长方形的面积为（20﹣x）（32﹣x）由小长方形的面积等于草坪的面积可得：（20﹣x）（32﹣x）=540故答案为：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键在于把白色部分的图形平行合并成一个小长方形. 10．（2019·黑龙江省哈尔滨市第一五六中学初三期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A.50（1+x）²=182B.50+50（1+x）+50（1+x）²=182C.50（1+2x）=182D.50+50（1+x）+50（1+2x）²=182【答案】B【解析】设二、三月份平均每月的增长率为x，根据某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产182万个，可列出方程．【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件50（1+x）个，三月份生产零件50（1+x）2个，则得：50+50（1+x）+50（1+x）2=182．故选：B．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出增长率，表示出每个月的生产量，以一季度的产量做为等量关系列出方程．二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2018·全国初三期末）把方程3x（x﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是_______；【答案】3x2-10x-4=0．【解析】先把一元二次方程3x（x﹣2）=4（x+1）的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．解：∵一元二次方程3x（x﹣2）=4（x+1）可化为3x2-6x-4x--4=0，∴化为一元二次方程的一般形式为3x2-10x-4=0．12．（2019·江苏初三期中）已知(m−3)x2−3x + 1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______．【答案】m≠3【解析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】由题意，得m-3≠0．解得m≠3，故答案为：m≠3．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．（2019·湖北初三期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】k＜1．【解析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为：k 1<.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知”在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0->“是解答本题的关键.14．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）已知a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，则a 3+14b+50=_______．【答案】2【解析】试题解析：∵a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，∴a+b=-4，a•b=2，a 2+4a+2=0，∴a 2=-4a-2，∴a 3+14b+50=a （-4a-2）+14b+50=-4a 2-2a+14b+50=-4（a 2+4a+2）+14a+14b+50+8=14（a+b ）+58=14×（-4）+58=2．15．（2019·上海市市八初级中学初二月考）已知方程220x kx +-=的一个根是1，则另一个根是_________.【答案】2-【解析】直接利用根与系数的关系求出另外一根即可，【详解】解：设方程的另一根为2x ，根据根与系数的关系得：212x ⋅=-，∴22x =-，故答案为2-.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系是解题的关键. 16．（2019·江苏初三期中）方程（x -1）（x +2）=0的两根分别为________．【答案】121,2x x ==-【解析】根据A·B=0，则A 、B 中至少有一个为0，化为一元一次方程即可解出方程. 【详解】解：（x -1）（x +2）=0x -1=0或x +2=0解得：121,2x x ==-【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，根据A·B=0，则A 、B 中至少一个为0，掌握将一元二次方程化为一元一次方程的方法是解决此题的关键.三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·青浦区华新中学初二月考）解方程：3x 2﹣6x+1=0(用配方法)【答案】x 1，x 2=1 【解析】试题分析：先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x 即可.试题解析：3x 2－6x ＋1=0,移项，得3x 2－6x =－1，二次项系数化为1，得x 2－2x =－13， 配方，得x 2－2x +12=－13+12，即（x －1）2=23， 解得，x －1=±3，即x 1，x 2=1. 点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.18．（2019·河南省实验中学初三月考）已知关于x 的一元二次方程22(1)(2)0x m x m m ---+=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求方程的另一个根.【答案】（1）证明见解析；（2）方程的另一个根为0或4．【解析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）先把x=-2代入方程，然后解关于m 的一元二次方程，即可求出m 的值．【详解】（1）证明：()()222141284m m m m ∆=---⨯⨯-+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 20m ≥2840m ∴+>，即>0∆，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）当2x =-时，原方程为()()44120m m m +--+=，即2 20m m -=，解得：10m =，22m =.设方程的另一根为1x ，当0m =时，有120x -=，解得：10x =；当2m =时，有128x -=，解得：14x =（将m 代入方程，解方程得到亦可）综上所述：当=-2x 是此方程的一个根时，方程的另一个根为0或4．【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于利用方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．已知关于x 的方程2(1)2(1)0k x k x k +--+=有两个实数根1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）若12122x x x x +=+，求k 的值.【答案】（1）13k ≤且k 1≠-；（2）4-. 【解析】（1）方程有两个实数根，则0k+10≥≠△，，解出即可；（2）根据根与系数的关系，求出1212x x x x +，的值，解出即可.【详解】解：（1）方程有两个实数根，则0k+10≥≠△，，即[]2=2(1)4(1)0k+10k k k ---+≥≠△，，解得：13k ≤且k 1≠-； （2）()()12211k b x x a k -+=-=+，121c k x x a k ==+，则()()21211k k k k -=+++，解得：4k =-，143-＜， 则k 的值为4-.【点睛】本题是对一元二次方程的综合考查，熟练掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键.四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：32111m m m m +⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中m 满足方程260m m --=． 【答案】1【解析】根据分式的运算法则先化简分式．再解一元二次方程求出m ，代入化简后的式子，注意代入时原分式要有意义，m 不等于-1和-2. 【详解】原式213112m m m m --+=⋅++ (2)(2)112m m m m m +-+=⋅++ 2m =-解方程260m m --=得：3m =或2m =-20m +≠2m ∴≠-当3m =时，原式321=-=【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，注意代入分式中字母的值必须使分式必须有意义.21．（2019·上海初二期中）解方程：（1）（x-1）（x+3）=5（2）x 2+x-3=0（公式法）【答案】（1）x 1=-4，x 2=2；（2）x 1x 2． 【解析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）利用求根公式解方程．【详解】（1）x 2+2x-8=0，（x+4）（x-2）=0，所以x 1=-4，x 2=2；（2）△=12-4×1×（-3）=13，，所以x 1x 2． 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.22．（2019·农安县前岗乡初级中学初三月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．(1)若每件衬衫降价4元，商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?【答案】（1）1008；（2）20【解析】（1）降价4元时，根据题意分别求出单件利润和销量，再根据销售利润问题的等量关系：单件利润×销量=总利润，可求出总利润；（2）设降价x 元，然后根据题意找出单件利润和销量的表达式，再根据销售利润问题的等量关系：单件利润×销量=总利润，列出方程求解，最后根据题意舍去不符合题意的解.【详解】（1）降价4元时，每件盈利为40-4=36元，销量为10204=285+⨯件， ∴总盈利36×28=1008元.（2）设降价x 元，由题意得()104020=12005x x ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭化简得2302000x x -+=，解得1=10x ，2=20x ，要尽量减少库存，则取=20x ，所以平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用：销售利润问题，根据等量关系建立方程是解题的关键.五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·河南初三月考）已知：如图所示．在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2c m/s 的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2?（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ?（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由．【答案】（1）1；（2）2；（3）不能．【解析】（1）设P 、Q 分别从A 、B 两点出发，x 秒后，AP=xcm ，PB=（5-x ）cm ，BQ=2xcm 则△PBQ 的面积等于12×2x （5-x ），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2x （5-x ）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【详解】设t 秒后，则：AP =tcm ，BP =（5﹣t ）cm ；BQ =2tcm ．（1）S △PBQ =BP ×BQ ，即1(5)242x x -⨯=，解得：t =1或4．（t =4秒不合题意，舍去） 故：1秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2．（2）PQ =5，则PQ 2=25=BP 2+BQ 2，即25=（5﹣t ）2+（2t ）2，t =0（舍）或2．故2秒后，PQ 的长度为5cm ．（3）令S △PQB =7，即：BP ×2BQ =7，1(5)272x x -=，整理得：t 2﹣5t +7=0． 由于b 2﹣4ac =25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．所以，在（1）中，△PQB 的面积不等于7cm 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．24．（2019·上海民办浦东交中初级中学初二月考）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大?最大面积是多少?【答案】（1）-3，小，4；（2）1，大，5；（3）当边长为4米时，花园面积最大为32m2．【解析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x=-3时，代数式的最小值为4；（2）将代数式前两项提取-2，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；（3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16-2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．【详解】（1）∵（x+3）2≥0，∴当x=-3时，（x+3）2的最小值为0，则当x=-3时，代数式3（x+3）2+4的最小值为4；（2）代数式-2x2+4x+3=-2（x-1）2+5，则当x=1时，代数式-2x2+4x+3的最大值为5；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16-2x）m，∴花园的面积为x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x2-8x+16）+32=-2（x-4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．（2019·江苏初三期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，a2有最小值0．（应用）：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=___1；（2）代数式m2+3的最小值是____3；（探究）：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n+4+5=（n+2）2+5∴当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值．（拓展）：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值．（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．【答案】（1）1；（2）3；（3）3；（4）y≤15.【解析】（1）由（x-1）2≥0可得x=1时，取得最小值0；（2）由m2≥0知m2+3≥3可得答案；（3）将方程变形为（m-4）2+（n+1）2=0，由非负数性质求得m、n的值即可得；（4）由y=-4t2+12t+6=-4（t-32）2+15知-4（t-32）2+15≤15，从而得出答案．【详解】（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=1，故答案为：1；（2）代数式m2+3的最小值是在m=0时，最小值为3，故答案为：3．（3）∵m2+n2-8m+2n+17=0，∴（m-4）2+（n+1）2=0，则m=4、n=-1，∴m+n=3；（4）y=-4t2+12t+6=-4（t2-3t）+6=-4（t2-3t+94-94）+6=-4（t-32）2+15，∵（t-32）2≥0，∴-4（t-32）2≤0，则-4（t-32）2+15≤15，即y≤15．【点睛】此题考查配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．。
山东省青岛市2019-2020学年四区联考九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题1．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 2．下列说法中，错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的菱形是正方形3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE ＝15°，则∠AOE的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°6．根据表格中的数据，估计一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c为常数，a≠0）一个解x 的范围为（）x0.5 1 1.5 2 3ax2+bx+c28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜37．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF 分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H．则下列结论正确的有（）①△ADF∽△ECF；②△AEH为等腰直角三角形；③点F是CD的中点；④FH＝A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题）9．已知，则＝．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个红球和若干个白球，再往该口袋中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则口袋中原来有个白球．11．某校去年对实验器材的投资为20万元，预计今明两年的投资总额为75万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则根据题意可列方程为．12．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C 作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为．14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1的一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•﹣i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．解方程（1）2x2﹣4x+1＝0（配方法）（2）3（x﹣1）2＝x2﹣117．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．18．小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．19．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？20．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F （1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，BC＝8，求EF的长．21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H．（1）求证：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？23．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有种不同的放置方法．24．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝10cm，BC＝12cm，动点P从点A出发以1cm/s 的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．过点P作PE∥BC交AC于点E，以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）设四边形BPFQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴一元二次方程x2＝2x的根x1＝0，x2＝2．故选：C．2．下列说法中，错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的菱形是正方形解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项不符合题意；D、有一组邻边线段的菱形不是正方形，故D选项符合题意；故选：D．3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，所以可配成紫色的概率＝＝．故选：A．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE ＝15°，则∠AOE的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形中OA＝OB，∴△ABO是等边三角形，∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE，＝60°+75°，＝135°．故选：B．6．根据表格中的数据，估计一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c为常数，a≠0）一个解x 的范围为（）x0.5 1 1.5 2 3 ax2+bx+c28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3解：由表格可知：当x＝2时，ax2+bx+c＝4，当x＝3时，ax2+bx+c＝﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是2＜x＜3，故选：D．7．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵DG∥AB，∴＝，故本选项不符合题意；B、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝≠，故本选项不符合题意；C、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝，∵DG∥AB，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；D、∵DF∥CE，∴＝，∵DG∥AB，∴△DGE∽△ABE，∴＝，∴≠，故本选项不符合题意；故选：C．8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF 分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H．则下列结论正确的有（）①△ADF∽△ECF；②△AEH为等腰直角三角形；③点F是CD的中点；④FH＝A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3，∵将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，∴AB＝AG＝AD，BE＝EG＝1，DF＝GF，∠BAE＝∠GAE，∠DAF＝∠GAF，∵∠BAE+∠GAE+∠DAF+∠GAF＝90°，∴∠EAG+∠GAF＝45°，即∠EAF＝45°，∵EH⊥AE，∴∠EAH＝∠H＝45°，∴AE＝EH，且EH⊥AE，∴△AEH是等腰直角三角形，故②符合题意，设DF＝FG＝x，在Rt△EFC中，∵EF＝1+x，EC＝3﹣1＝2，FC＝3﹣x，∴（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得x＝，∴DF＝，∴DF＝CF＝DC，∴点F是CD中点，故③符合题意，由勾股定理可得：AF＝＝＝，AE＝＝＝，∴EH＝AE＝，∴AH＝＝＝2，∴FH＝AH﹣AF＝，故④符合题意，∵＝2，，∴∴△ADF与△ECF不相似，故①不合题意，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．已知，则＝．解：∵，∴y＝x，∴＝＝＝，故答案为：．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个红球和若干个白球，再往该口袋中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则口袋中原来有10个白球．解：设盒子中原有的白球的个数为x个，根据题意得：，解得：x＝10，经检验：x＝10是原分式方程的解；∴盒子中原有的白球的个数为10个．故答案为：10；11．某校去年对实验器材的投资为20万元，预计今明两年的投资总额为75万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则根据题意可列方程为20（1+x）+20（1+x）2＝75．解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，依题意，得：20（1+x）+20（1+x）2＝75．故答案为：20（1+x）+20（1+x）2＝75．12．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用8张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．解：如图所示：根据图形的相似拼一个与它形状相同但比它大的长方形，相似比为1：2，所以至少要用8张正方形纸片．故答案为8．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C 作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°．OB＝OD，AO＝CO，∵AB＝2，∴OB＝1，AO＝OC＝，∴DB＝2，∵CE∥DB，∴四边形DBEC是平行四边形．∴CE＝DB＝2，∠ACE＝90°，∴OE＝＝＝，故答案为：．14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1的一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•﹣i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值为0．解：∵i4n+1＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n+4＝1，∴i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020＝i+（﹣1）+（﹣i）+1+i+（﹣1）+（﹣i）+1+…+i+（﹣1）+（﹣i）+1＝0．故答案为0．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．解：如图，四边形ABCD为所作．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．解方程（1）2x2﹣4x+1＝0（配方法）（2）3（x﹣1）2＝x2﹣1解：（1），则，∴．（2）3（x﹣1）2﹣（x2﹣1）＝0，3（x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+1）＝0，（x﹣1）（3x﹣3﹣x﹣1）＝0，（x﹣1）（2x﹣4）＝0，∴x1＝1，x2＝2．17．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．解：四边形AECD是菱形，理由：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝BC＝EC，∴平行四边形AECD是菱形．18．小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．解：不公平，列表如下：4 5 64 8 9 105 9 10 116 10 11 12由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为，由≠知这个游戏不公平；19．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？解：设仓库的边AB为x米，由题意得：x（32﹣2x+2）＝140，整理，得x2﹣17x+70＝0，解，得x1＝10，x2＝7，当x＝10时，BC＝14＜18；当x＝7 时，BC＝20＞18，∴x＝7不合题意，应舍去．答：仓库的边AB为10米，BC为14米．20．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交CD于点F （1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，BC＝8，求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵E是BC的中点，BC＝8，∴BE＝EC＝BC＝4，∵∠B═90°，AB＝3，∴AE＝＝＝5，∵△ABE∽△ECF，∴，即∴EF＝．21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H．（1）求证：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝90°∴∠GAB＝∠B＝∠BCH，∵AD∥BC，EF∥AC，∴四边形AGEC是平行四边形，∴AG＝EC，∵AB∥CD，EF∥AC∴四边形AFHC是平行四边形，∴AF＝CH，∴△AFG≌△CHE（SAS）．（2）四边形ABCD是正方形理由：∵EF∥AC，∴∠G＝∠CAD，∵∠G＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD是正方形．22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？解：设该设备的销售单价为x万元．由题意列方程，得，整理，得x2﹣115x+3250＝0解这个方程，得x1＝50，x2＝65，∵获利不高于30%∴∴x≤52∴x＝65不合题意，舍去．∴x＝50答：该设备的销售单价为50万元．23．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有4种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有m﹣1种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m ﹣n+1）种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有6种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有11种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有35种不同的放置方法．解：探究1：当m＝5，n＝2时，由图可知有4种不同的选择方法，根据根据规律可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有（m﹣1）种不同的选择方法；故答案为：4、m﹣1．探究2：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；故从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有100﹣2＝98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有100﹣3＝97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100﹣7＝93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：98、97、93、100﹣n+1．【问题解决】由规律可知：从m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：（m﹣n+1）．【实际应用】（1）从连续7天选择连续2天，则m＝7，n＝2，总共有（7﹣2+1）＝6种选择；（2）3号到15号总共13张电影票，选择3连号，则m＝13，n＝3，总共有（13﹣3+1）＝11种不同的选择；故答案为：6、11．【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作，6选2，可得5种放置方法，故总共7×5＝35种放置方法．故答案为：35．24．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝10cm，BC＝12cm，动点P从点A出发以1cm/s 的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．过点P作PE∥BC交AC于点E，以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）设四边形BPFQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示：则∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝BC＝6，若△BPQ为直角三角形，根据题意只能∠BPQ＝90°，则∠ADB＝90°＝∠BPQ，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△QBP，∴，即，解得，答：当t为s时，△BPQ为直角三角形．（2）在Rt△ABD中，，过点P作PM⊥BC于点M，如图2所示：∴∠PMB＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠PMB＝∠ADB，∵∠C＝∠C，∴△ABD∽△BPM，∴，即，∴，∵PE∥BC，∴∠C＝∠AEP，∠B＝∠APE，∴△ABC∽△APE，∴，即，∴，∵四边形CQFE是平行四边形，∴EF＝t，∴y＝S梯形BPFQ＝，＝＝答：y与t的函数关系式是y＝．（3）存在，理由如下：若S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6，则y＝S△ABC∵S△ABC＝∴＝解得t1＝5，答：t的值为5s或s时，S四边形BPFQ：S△ABC＝7：6；（4）存在，理由如下：连接BF，如图3所示：若点F在∠ABC的平分线上，∴BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBQ，∵PF∥BC，∴∠PFB＝∠FBQ，∴∠ABF＝∠PFB，∴PB＝PF，即：，∴，答：当s时，点F在∠ABC的平分线上．。
2019-2020学年浙江省杭州市余杭区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）. 1．（3分）cos60︒的值等于( ) A ．12B ．22C ．32D ．332．（3分）若23a b =，则下列比列式正确的是( ) A ．23a b= B ．23a b= C ．23b a = D ．23a b= 3．（3分）下列图形中，是相似形的是( ) A ．所有平行四边形 B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形4．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，则ABD ∠的度数为( )A ．60︒B ．72︒C ．78︒D ．144︒5．（3分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数4288141176445724901若出售1500件衬衣，则其中的次品最接近( )件． A ．100B ．150C ．200D ．2406．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，40BAC ∠=︒，则D ∠的度数是( )A ．140︒B ．135︒C ．130︒D ．125︒7．（3分）已知点(3,)A m -，(3,)B m ，2(1,1)C m n -++在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )A．2y x=+B．2yx=-C．22y x=+D．22y x=--8．（3分）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且////AC EF DB．若5BE=，3BF=，AE BC=，则DECE的值为()A．23B．12C．35D．259．（3分）二位同学在研究函数2(3)()(y a x x aa=+-为实数，且0)a≠时，甲发现当01a<<时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程2(3)()50a x xa+-+=必有两个不相等的实数根．则()A．甲、乙的结论都错误B．甲的结论正确，乙的结论错误C．甲、乙的结论都正确D．甲的结论错误，乙的结论正确10．（3分）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，5AB=，4BC=．点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD 的取值范围是()A．369378AD<B．1575837AD<C．575337AD<D．51538AD二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是．12．（4分）如图，点A，B，C都在O上130AOC∠=︒，40ACB∠=︒，AOB∠=，弧BC=．13．（4分）已知二次函数2246y x x =-++，用配方法化为2()y a x m k =-+的形式为 ，这个二次函数图象的顶点坐标为 ．14．（4分）在Rt ABC ∆中，:1:2AC BC =，则sin B = ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CDE B ∠=∠，将CDE ∆沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若2AC BC =，则DECF的值为 ．16．（4分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点F 在圆上，且DF CD =，2BE =，8CD =，CF 交AB 于点G ，则弦CF 的长为 ，AG 的长为 ．三、解答题；本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A 测得河北岸的树C 在点A 的北偏东60︒方向，然后向东走10米到达B 点，测得树C 在点B 的北偏东30︒方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽．18．（8分）如图，某科技馆展大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率．（2）求小购选择从入口A进入，从出口E离开的概率，（请用列表或画树状图求解）19．（8分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？20．（10分）如图，在ABC=，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC∆中，AB AC于点E．（1）求证：BD CD=．（2）若弧50∠的度数．DE=︒，求C（3）过点D作DF AB⊥于点F，若8=，求弧BD的长．AF BFBC=，321．（10分）如图，在ABC=，连结∆中，点D，E分别在边AC，AB上且AE AB AD ACDE，BD．（1）求证：ADE ABC∽．∆∆（2）若点E为AB中点，:6:5∆的面积．AD AE=，ABC∆的面积为50，求BCD22．（12分）已知二次函数24(y ax bx a =+-，b 是常数，且0)a ≠的图象过点(3,1)-． （1）试判断点(2,22)a -是否也在该函数的图象上，并说明理由． （2）若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数的表达式． （3）已知二次函数的图象过1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，且当1223xx 时，始终都有12y y >，求a 的取值范围．23．（12分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，BD 交于点F ．（1）若点E 为CD 中点，25AB =，求AF 的长． （2）若tan 2AFB ∠=，求DFBF的值． （3）若点G 在线段BF 上，且2GF BG =，连结AG ，CG ，DEx DC=，四边形AGCE 的面积为1S ，ABG ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值．参考答案一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中．只有一个选项是符合题目要求的． 1．（3分）cos60︒的值等于( ) A ．12B ．22C ．32D ．33解：1cos602︒=． 故选：A ．2．（3分）若23a b =，则下列比列式正确的是( ) A ．23a b= B ．23a b= C ．23b a = D ．23a b= 解：23a b =， ∴23b a =， 故选：C ．3．（3分）下列图形中，是相似形的是( ) A ．所有平行四边形 B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形解：A 、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； B 、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； C 、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D 、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．故选：D ．4．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，则ABD ∠的度数为( )A ．60︒B ．72︒C ．78︒D ．144︒解：五边形ABCDE 为正五边形， (52)1801085ABC C -⨯︒∴∠=∠==︒，CD CB =，180108362CBD ︒-︒∴∠==︒， 72ABD ABC CBD ∴∠=∠-∠=︒，故选：B ．5．（3分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数4288141176445724901若出售1500件衬衣，则其中的次品最接近( )件． A ．100 B ．150C ．200D ．240解：42881411764457249011500(1)151.6501001502005008001000++++++⨯-=++++++件故选：B ．6．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，40BAC ∠=︒，则D ∠的度数是( )A ．140︒B ．135︒C ．130︒D ．125︒解：AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90904050B BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 180B D ∠+∠=︒， 18050130D ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．7．（3分）已知点(3,)A m -，(3,)B m ，2(1,1)C m n -++在同一个函数的图象上，这个函数可能是( ) A ．2y x =+ B ．2y x=-C ．22y x =+D ．22y x =--解：(3,)A m -，(3,)B m ，∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x =+不关于y 轴对称，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误； 20n >， 21m n m ∴++>；由(3,)A m -，2(1,1)C m n -++可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， D ∴选项正确故选：D ．8．（3分）如图，AB 与CD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，且////AC EF DB ．若5BE =，3BF =，AE BC =，则DECE的值为( )A ．23B ．12 C ．35D ．25解：设CF x =， //EF AC ， ∴BF BECF AE =， ∴353x x =+， 解得92x =， 92CF ∴=， //EF DB ，32932DE BF CE CF ===． 故选：A ．9．（3分）二位同学在研究函数2(3)()(y a x x a a=+-为实数，且0)a ≠时，甲发现当01a <<时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程2(3)()50a x x a+-+=必有两个不相等的实数根．则( )A ．甲、乙的结论都错误B ．甲的结论正确，乙的结论错误C ．甲、乙的结论都正确D ．甲的结论错误，乙的结论正确解：由函数2(3)()y a x x a =+-可知，函数与x 轴的两个交点的横坐标分别是3-和2a，∴函数顶点的横坐标为232a -+，01a <<，∴23122a -+>-， ∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误；2(3)()50a x x a +-+=可以化为2(32)10ax a x +--=，△222420(32)49849()099a a a a a =-+=-+=-+>，2(3)()50a x x a∴+-+=必有两个不相等的实数根，故乙的结论正确； 故选：D ．10．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =．点D 为边AC 上的动点，作菱形DEFG ，使点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上．若这样的菱形能作出2个，则AD 的取值范围是( )A ．369378AD< B ．1575837AD <C ．575337AD <D ．51538AD解：如图1中，当四边形DEFG 是正方形时，设正方形的边长为x ．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，2222543AC AB BC ∴=-=-=，则35CD x =，54AD x =， AD CD AC +=， ∴35354x x +=， 6037x ∴=， 336537CD x ∴==， 观察图象可知：36037CD <时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG 是菱形时，设菱形的边长为m ．//DG AB ， ∴CD DGAC AB =， ∴335m m-=， 解得158m =， 159388CD ∴=-=，如图3中，当四边形DEBG 是菱形时，设菱形的边长为n ．//DG AB ， ∴CG DG CB AB =， ∴445n n -=， 209n ∴=， 2016499CG ∴=-=， 2220164()()993CD ∴=-=， 观察图象可知：当36037CD <或433CD <时，菱形的个数为0，当3637CD =或9483CD <时，菱形的个数为1，当369378CD <时，菱形的个数为2．此时1575837AD < 故选：B ． 二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 5． 解：在一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除了颜色外其余都相同， ∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：215325=++． 故答案为：15． 12．（4分）如图，点A ，B ，C 都在O 上130AOC ∠=︒，40ACB ∠=︒，AOB ∠= 80︒ ，弧BC = ．解：224080AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，1308050BOC AOC AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴BC 的度数为50︒．故答案为80︒，50︒．13．（4分）已知二次函数2246y x x =-++，用配方法化为2()y a x m k =-+的形式为 22(1)8y x =--+ ，这个二次函数图象的顶点坐标为 ．解：2222462(2)62(1)8y x x x x x =-++=--+=--+，∴顶点(1,8)．故答案为：22(1)8y x =--+，(1,8)．14．（4分）在Rt ABC ∆中，:1:2AC BC =，则sin B 55或12． 解：①当90C ∠=︒时，设AC x =，2BC x =，由勾股定理，得22(2)5AB x x =+=．由三角函数的正弦等于对边比斜边，得5sin 5AC B AB x=== ②当90A ∠=︒时，1sin 2AC B BC ==． 综上所述，sin B 5或12． 512． 15．（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CDE B ∠=∠，将CDE ∆沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若2AC BC =，则DE CF 的值为 4．解：如图，设DE 交CF 于O ．设OD a =．由翻折可知：DC DF =，EC EF =，DE ∴垂直平分线段CF ，90DOC ∴∠=︒，OC OF =，CDE B ∠=∠，tan tan CDO B ∴∠=∠， ∴2OC AC OD BC ==， 2OC OF a ∴==，4CF a =，90ECO DCO ∠+∠=︒，90DCO CDO ∠+∠=︒，ECO CDO ∴∠=∠，tan 2OE ECO OC∴∠==， 4OE a ∴=，5DE a =，∴5544DE a CF a ==， 故答案为54． 16．（4分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点F 在圆上，且DF CD =，2BE =，8CD =，CF 交AB 于点G ，则弦CF 的长为 485，AG 的长为 ．解：连结BC ，DF ，OC ，连结DO 并延长交CF 于点H ，弦CD AB ⊥于点E ，8CD =，142CE CD ∴==， 设OC x =，则2OE x =-，222OE CE OC +=，222(2)4x x ∴-+=，解得5x =，5OC ∴=，523OE ∴=-=，DF CD =，DF CD ∴=，CFD COB ∠=∠，DH CF ⊥，90FHD OEC ∴∠=∠=︒，DHF CEO ∴∆∆∽， ∴DF DH FH OC CE OE ==， ∴8543DH FH ==， 245FH ∴=，325DH =， 4825CF FH ∴==， 327555OH DH OD =-=-=， CFD COB BOD ∠=∠=∠，BOD GOH ∠=∠，GOH DFH ∴∠=∠，90GHO OEC ∠=∠=︒，GHO CEO ∴∆∆∽，∴OG OH OC OE =， ∴7553OG =， 73OG ∴=， 78533AG OA OG ∴=-=-=． 故答案为：485，83． 三、解答题；本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A 测得河北岸的树C 在点A 的北偏东60︒方向，然后向东走10米到达B 点，测得树C 在点B 的北偏东30︒方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽．解：由题意得，30CAB ∠=︒，60CBD ∠=︒，30ACB CBD CAB ∴∠=∠-∠=︒，CAB ACB ∴∠=∠，10BC AB ∴==，CD BD ⊥，353CD BC ∴== 答：河宽为5318．（8分）如图，某科技馆展大厅有A ，B 两个入口，C ，D ，E 三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C 离开的概率．（2）求小购选择从入口A 进入，从出口E 离开的概率，（请用列表或画树状图求解）解：（1）他选择从出口C 离开的概率为13；（2）画树形图如图得：由树形图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A 进入，从出口E 离开的只有1种结果，∴选择从入口A 进入，从出口E 离开的概率为16． 19．（8分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m 时，桥洞顶部离水面4m ． （1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．（2）若水面上升1m ，水面宽度将减少多少？解：以C 为坐标原点建立坐标系，则(6,4)A --，(6B ，4)(0C -，0) 设2y ax =，把(6,4)B -代入上式，3640a +=，解得：19a =-， 219y x ∴=-；令3y =-得：2139x -=-， 解得：33x =±，∴若水面上升1m ，水面宽度将减少1263-．20．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：BD CD =．（2）若弧50DE =︒，求C ∠的度数．（3）过点D 作DF AB ⊥于点F ，若8BC =，3AF BF =，求弧BD 的长．【解答】（1）证明：如图，连接AD ．AB 是圆O 的直径，AD BD ∴⊥．又AB AC =，BD CD ∴=．（2）解：弧50DE =︒，50EOD ∴∠=︒．1252DAE DOE ∴∠=∠=︒． 由（1）知，AD BD ⊥，则90ADB ∠=︒，902565ABD ∴∠=︒-︒=︒．AB AC =，65C ABD ∴∠=∠=︒．（3）8BC =，BD CD =，4BD ∴=．设半径OD x =．则2AB x =．由3AF BF =可得3342AF AB x ==，1142BF AB x ==， AD BD ⊥，DF AB ⊥，2BD BF AB ∴=，即21422x x =． 解得4x =．4OB OD BD ∴===，OBD ∴∆是等边三角形，60BOD ∴∠=︒．∴弧BD 的长是：60441803ππ⨯=．21．（10分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上且AE AB AD AC =，连结DE ，BD ．（1）求证：ADE ABC ∆∆∽．（2）若点E 为AB 中点，:6:5AD AE =，ABC ∆的面积为50，求BCD ∆的面积．【解答】（1）证明：AE AB AD AC =，::AE AC AD AB ∴=，A A ∠=∠，ADE ABC ∴∆∆∽．（2）解：点E 为AB 中点，AE BE ∴=，:6:5AD AE =，∴设6AD x =，则5AE x =，10AB x =，AE AB AD AC =， 5102563AE AB x x AC x AD x ∴===， 73CD AC AD x ∴=-=， ∴725CD AC =， ABC ∆的面积为50，BCD ∴∆的面积7501425=⨯=． 22．（12分）已知二次函数24(y ax bx a =+-，b 是常数，且0)a ≠的图象过点(3,1)-．（1）试判断点(2,22)a -是否也在该函数的图象上，并说明理由．（2）若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数的表达式．（3）已知二次函数的图象过1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，且当1223x x 时，始终都有12y y >，求a 的取值范围．解：（1）将点(3,1)-代入解析式，得31a b +=， 2(13)4y ax a x ∴=+--，将点(2,22)a -代入24y ax bx =+-，得42(13)42222a a a a +--=--≠-， ∴点(2,22)a -不在抛物线图象上；（2）二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴△2(13)160a a =-+=，1a ∴=-或19a =-， 244y x x ∴=-+-或214493y x x =-+-； （3）抛物线对称轴312a x a -=， 当0a >，31223a a -时，35a ； 当0a <，31223a a -时，35a （舍去）； ∴当35a 满足所求； 23．（12分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，BD 交于点F ．（1）若点E 为CD 中点，25AB =，求AF 的长． （2）若tan 2AFB ∠=，求DF BF的值． （3）若点G 在线段BF 上，且2GF BG =，连结AG ，CG ，DE x DC =，四边形AGCE 的面积为1S ，ABG ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值．解：（1）点E 为CD 中点，25AB AD CD ===， 5DE ∴=，222055AE AD DE ∴=+=+=， //AB CD ，ABF EDF ∴∆∆∽，∴12DE EF AB AF ==， 2AF EF ∴=，且5AF EF +=， 103AF ∴=； （2）如图1，连接AC ，四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，2BD =，AO BD ⊥，AO BO CO DO ===，22AO DO BO AB ∴===， tan 2AO AFB OF∠==， 1224OF AO AB ∴==， 24DF OD OF AB ∴=-=，324BF OB OF AB =+=， ∴13DF BF =； （3）如图2，设AB CD AD a ===，则2BD a =，DE x DC=， DE xa ∴=，21122ADE S AD DE xa ∆∴=⨯⨯=， ABF EDF ∆∆∽， ∴DE DF x AB BF==， DF x BF ∴=，21112ABF S a x ∆∴=+， 2GF BG =，22136(1)ABG ABF a S S S x ∆∆∴===+， AB CB =，ABG CBG ∠=∠，BG BG =， ()ABG CBG SAS ∴∆≅∆ABG CBG S S ∆∆∴=，1S ∴=四边形AGCE 的面积2221226(1)a a xa x =--⨯+∴22121193343()24S x x x S =-++=--+ ∴当12x =时，12S S 的最大值为194．。
2018-2019学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2018—2019学年度上学期期末教学质量监测试题九年级数学温馨提示：1．本试题共4页，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题，请用0.5毫米的黑色签字笔笔直接答在答题卡上．试卷上作答无效．3．请将名字与考号填写在本卷相应位置上．一、选择题(共12小题，下列各题的四个选项中只有一个正确)1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；D.既不轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的定义. 轴对称图形的关键是找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合，中心对称图形是要找对称中心，旋转180°后两部分能够完全重合.2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A. x2＋3x＝0 B. y2－2x＋1＝0C. x2－5x＝2D. x2－2＝(x＋1)2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,即可进行判定,【详解】A选项,x2＋3x＝0,因为未知数出现在分母上,是分式方程,不符合题意,B选项,y2－2x＋1＝0,因为方程中含有2个未知数,不是一元二次方程,不符合题意,C选项,x2－5x＝2,符合一元二次方程的定义,符合题意,D选项,将方程x2－2＝(x＋1)2整理后可得:-2x-3=0,是一元一次方程,不符合题意,故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.3. “明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（）A. 明天降水的可能性较小B. 明天将有30%的时间降水C. 明天将有30%的地区降水D. 明天肯定不降水【答案】A【解析】【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依此分析选项可得答案．【详解】解：A. 明天降水概率是30%，降水的可能性较小，故选项正确；B. 明天降水概率是30%，并不是有30%的时间降水，故选项错误；C. 明天降水概率是30%，并不是有30%的地区降水，故选项错误；D. 明天降水概率是30%，明天有可能降水，故选项错误．故选：A．【点睛】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A. 30°B. 45°C. 90°D. 135°【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，=，=，AC=4，∵OC 2+AO 2=22+=16， AC 2=42=16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C ．【点睛】考点：勾股定理逆定理.5. 圆外一点P 到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（ ） A. 4 B. 5C. 2或5D. 2【答案】C 【解析】【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和． 【详解】解：∵点P 到⊙O 的最近距离为3，最远距离为7，则： 当点在圆外时，则⊙O 的直径为7-3=4，半径是2； 当点在圆内时，则⊙O 直径是7+3=10，半径为5， 故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．6. 关于x 的方程kx 2+2x -1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. k ＞-1且k≠0 B. k≥-1且k≠0C. k ＞-1D. k ≥-1【答案】D 【解析】【分析】由于k 的取值范围不能确定，故应分0k =和0k ≠两种情况进行解答． 【详解】解：(1)当0k =时，原方程为：210x -=，此时12x =有解，符合题意； (2)当0k ≠时，此时方程式一元二次方程∵关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， ∴()2242410b ac k =-=--≥即44k ≥- 解得1k ≥-综合上述两种情况可知k 的取值范围是1k ≥- 故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分0k =和0k ≠两种情况进行分类讨论解答． 7. 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB=8，则CD 的长是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【详解】试题分析：已知AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，由垂径定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO 中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A. 考点：垂径定理；勾股定理.8. 用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A. （x ﹣6）2=﹣4+36 B. （x ﹣6）2=4+36C. （x ﹣3）2=﹣4+9D. （x ﹣3）2=4+9【答案】D 【解析】【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x 2﹣6x ﹣4=0， x 2﹣6x=4， x 2﹣6x+9=4+9，（x ﹣3）2=4+9， 故选D.9. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A. 23(1)2y x =++ B. 23(1)2y x =+- C. 23(1)2=--y x D. 23(1)2y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象平移判断即可；【详解】23y x =向右平移1个单位得到()231y x =-，再向下平移2个单位得到()2312x y =--； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像平移，准确分析判断是解题的根据．10. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球实验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在26%和44%，则口袋中白色球的个数可能是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解．【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1-0.26-0.44=0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50=15． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11.（）A. 2B. 1C. 3D.3 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【详解】因为圆内接正三角形的面积为3， 所以圆的半径为23， 所以该圆的内接正六边形的边心距23×sin60°＝23×3＝1， 故选B ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．12. 如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（共6小题）13. 在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于原点对称点的坐标为________． 【答案】(2，-3) 【解析】【分析】直接利用点关于原点对称点的性质，平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），从而可得出答案．得出答案．【详解】解：点P （-2，3），关于原点对称点坐标是：（2，-3）． 故答案为：（2，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 14. 如图，在⊙O 中，点C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于_____度．【答案】40． 【解析】【分析】由于点C 是弧AB 的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC 是∠BOA 的一半；在等腰△AOB 中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA 的度数，由此得解． 【详解】△OAB 中，OA ＝OB ， ∴∠BOA ＝180°﹣2∠A ＝80°， ∵点C 是弧AB 的中点， ∴AC BC =， ∴∠BOC ＝12∠BOA ＝40°， 故答案为40．【点睛】本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键. 15. 方程的()()121x x x +-=+解是______.【答案】11x =-，23x = 【解析】【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【详解】解：()()121x x x +-=+，()()12(1)0x x x +--+=， ()()1210x x +--=，即10x +=或210x --=，解得121,3x x =-=， 故填：121,3x x =-=.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解决本题时需注意：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根. 需通过移项，将方程右边化为0.16. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 【答案】3π 【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm 2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．17. 分别写有-1，0，-3，2.5，4的五张卡片，除数字不同，其它均相同，从中任抽一张，则抽出负数的概率是___ 【答案】25【解析】【分析】根据概率的计算公式直接得到答案．【详解】解：-1，0，-3，2.5，4五张卡片中是负数的有：-1，-3， ∴P （抽出负数）=25，故答案为：25． 【点睛】此题考查概率的计算公式，负数的定义，熟记概率的计算公式是解题的关键． 18. 正方形边长3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为______． 【答案】y=x 2+6x 【解析】【详解】解：22(3)3y x =+-=26x x +，故答案为26y x x =+．三、解答题（共7小题）19. 解方程：x 2－4x －7＝0.【答案】12211211x x ，=+=- 【解析】【详解】x²－4x －7＝0, ∵a=1,b=-4,c=-7, ∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0, ∴x=--4444211211±±==±（） , ∴12211,211x x =+=-.20. 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P =50º，求∠BAC 的度数．【答案】25° 【解析】【分析】由PA ，PB 分别为圆O 的切线，根据切线长定理得到PA=PB ，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角∠P 的度数，求出底角∠PAB 的度数，又AC 为圆O 的直径，根据切线的性质得到PA 与AC 垂直，可得出∠PAC 为直角，用∠PAC-∠PAB 即可求出∠BAC 的度数． 【详解】解：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 点，AC 是⊙O 的直径， ∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB ， 又∵∠P ＝50°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝180502︒︒-＝65°，∴∠BAC ＝∠P AC ﹣∠P AB ＝90°﹣65°＝25°．【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21. 某种商品每件的进价为30元，在某段时向内若以每件x 元出售，可卖出(100-x )件，应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？【答案】当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元 【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设最大利润为y 元， y=(100－x)(x －30)=－(x －65)2+1225 ∵-1＜0，0＜x ＜100，∴当x=65时，y 有最大值，最大值是1225∴当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22. 一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字． （1）从袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率；（2）从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，求两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率． 【答案】（1）12；（2）13． 【解析】【详解】试题分析：（1）用奇数的个数除以总数即可求出小球上所标数字为奇数的概率；（2）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数即可求出其概率．试题解析：（1）∵质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字，∴袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率=24=12；（2）列表得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数为4，∴两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率=412=13．考点：列表法与树状图法；概率公式．23. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BE＝CF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以22BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∴BD=BE﹣1．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．24. 有一条长40m的篱笆如何围成一个面积为275m的矩形场地？能围成一个面积为2101m的矩形场地吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【答案】能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由见解析【解析】【分析】设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，根据矩形场地的面积为75m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；不能围成一个面积为101m2的矩形场地，设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，根据矩形长度的面积为101m2，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△=-4＜0，可得出不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【详解】解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，依题意得：x（20-x）=75，整理得：x2-20x+75=0，解得：x1=5，x2=15，当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，依题意得：y（20-y）=101，整理得：y2-20y+101=0，∵△=（-20）2-4×1×101=-4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=5，CD=4，求BE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【详解】分析：（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；（2）过O作OM垂直于BE，可得出四边形ODCM为矩形，在直角三角形OBM中，利用勾股定理求出BM的长，由垂径定理可得BE=2BM．详解：（1）连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD．∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC．∵∠C=90º，∴∠ODC=90º，∴OD⊥AC．∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．（2）过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O的弦，且OM⊥BE，∴BM=EM，∵∠ODC=∠C=∠OMC= 90°，∴四边形ODCM为矩形，则OM=DC=4．∵OB=5，∴BM =22-=3=EM，54∴BE=BM+EM=6．点睛：本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键．26. 已知，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过A(-2，0)和B(0，4)．（1）求二次函数解析式；（2）求AOB S；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+4x+4；（2）4；（3）x=-2；（4）存在，(﹣2，4)或(﹣2，﹣4)【解析】【分析】（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，即可求出答案；（2）由题意，求出OA=2，OB=4，即可求出答案；（3）由2bxa=-，即可求出答案； （4）由题意，可分为两种情况进行讨论：①当点P 在点A 的上方时；②当点P 在点A 的下方时；分别求出点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）∵y=x 2+bx+c 的图象经过A （－2，0）和B （0，4）∴42b 04c c +=⎧⎨=⎩－ 解得：b 44c =⎧⎨=⎩；∴二次函数解析式为：y=x 2+4x+4； （2）∵A （﹣2，0），B （0，4）， ∴OA=2，OB=4， ∴S △AOB =12OA•OB=12×2×4=4； （3）对称轴方程为直线为：4221x =-=-⨯； （4）∵以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AP=OB=4，当点P 在点A 的上方时，点P 的坐标为（﹣2，4）， 当点P 在点A 的下方时，点P 的坐标为（﹣2，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。
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2019版九年级数学上学期第四次周考试题
一、选择题（每题5分，共45分）
1.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）
A． B． C． D．
（第1题）（第2题）（第4题）（第5题）
2.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（）
A．7cm B．1cm C．7cm或4cm D．7cm或1cm
4.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）A．B．C． D．
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）
A．CM=DM B． = C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
6.如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为
（）
A．3 B．4 C．3 D．4
（第6题）（第7题）（第8题）（第9题）
7.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）
A．8 B．10 C．16 D．20
8.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9. 如图已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离是3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有
（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题5分，共40分）
10.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC=______．
11.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是____度．
12.如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为______．
13.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______．
（第10题）（第11题）（第12题）（第13题）
14.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为______．
（第14题）（第15题）（第16题）（第17题）
15.如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的取值范围是____
16.如图，将半径为2c m的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm．
17.如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长
为．
三、解答题（18题7分，19题8分；共15分）
18.如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
19.某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
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