Banach不动点理论及其应用

不动点定理及其应用综述

摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和Volterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理

压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有,x y X ∈，有下式成立

(,)(,)d Tx Ty d x y α≤ （） 则称T 是压缩映射。

定理（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得

2

1021010,,

,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （）

则{}n x 为柯西点列。实际上，

111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤

21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （）

根据三点不等式，当n m >时，

1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤++

+

1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++

011(,)1n m

m

d x x ααα

--=- （）

由于1α<，故11n m α--<，得到

01(,)(,)()1m

m n d x x d x x n m αα

≤>- （）

所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。由于X 完备，x X ∃∈，使得()m x x m →→∞，又由三点不等式，有

1(,)(,)(,)(,)(,)m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+ （） 上面不等式右端在m →∞时趋于0，故(,)0d x Tx =，即x Tx =。 不动点的唯一性：假设同时存在x X '∈,有x Tx ''=成立，则

(,)(,)(,)d x x d Tx Tx d x x α'''=≤ （） 由于1α<，所以必有(,)0d x x '=，即x x '=。证毕。

定理中的映射T 是定义在整个X 上的，但实际上有些问题中遇到的映射T 只在X 的一个子集上有定义或压缩性质。为了适应这种情形的需要，定义X 上的闭子集的不动点定理如下。

定理 设(,)X ρ是完备的。T 是X X →的映射。若在X 的闭球0{:(,)}Y x x x r ρ=≤上T 是压缩的，并且满足条件

00(,)(1),(,)(,),,x Tx r Ty Tx y x x y Y ραραρ≤-≤∀∈ （） 此处α是满足01α≤<的常数，则T 在Y 内有唯一的不动点。

证明：Y 作为(,)X ρ内的闭集按X 的距离成一完备距离空间，倘能证明()T Y Y ⊂，那么T 就是Y Y →上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。实际上，任取x Y ∈，令y Tx =，则000000(,)(,)(,)(,)(1)(,)x y x Tx x Tx Tx Tx r x x r ρρρρααρ=≤+≤-+≤，可见y Y ∈，证毕。

应用压缩映射原理需要注意的几个方面

（1）根据证明可知，为了获取不动点*x ，可以从X 中的任意一点出发 （2）在T 满足

(,)(,),d Tx Ty d x y x y <≠ （）

的条件下，T 在X 上不一定存在不动点。 例：令arctan ,2

Tx x x x R π

=+

-∈，T 是从R 到R 的映射。设,x y R ∈，则

(arctan arctan )Tx Ty x y x y -=--- （）

根据微分中值定理，必定存在(,)x y ξ∈，使得2

2

()1Tx Ty x y ξξ-=-+，故

Tx Ty x y -<- （）

即(,)(,)d Tx Ty d x y <，但是当Tx x =时，方程arctan 2

x π

=无解，因此，映射T 没

有不动点。

倘若给满足（）的算子加上适当的限制，便能保证T 有不动点。

定理 设(,)X ρ完备，映射:T X X →满足条件（）。若()T X X Ω=⊂是列紧集，则T 有唯一的不动点。

证明：取Ω的闭包X Ω⊂。它是X 内的自列紧集（即紧致性），而且有()T Ω⊂Ω。在Ω上定义一个实值函数

()(,)x x x φρρ= （）

()x φ是Ω上的连续函数。它在Ω上达到最小值，即存在*x ∈Ω使

**

(,)min (,)x x Tx x Tx ρρ∈Ω

= （） 则**(,)0x Tx ρ=。假若不然，即**(,)0x Tx ρ>，考虑*Tx 和2*T x ，它们都属于Ω。而由（）得

*2***

(,)(,)min (,)x Tx T x x Tx x Tx ρρρ∈Ω

<= （） 得到矛盾，不动点的存在性证得。