最优化设计基础

小型设计问题：一般含有2—10个设计变量； 中型设计问题：10—50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 视目标和约束函数的性质，目前已能解决200个设 计变量的大型非线性最优化设计问题。
19
h
2.约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设 计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设 计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。
局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往
比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这 种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。
37
h
用图解法求21)2}
O
x1
s.t. x1x250
f 1
解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线 是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使 等值线具有最小值的点。
优化设计包括： （1）形成数学模型； （2）选用适当的优化方法和程序运算求解。
6
h
例1：箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖
的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料 最省。
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
或曲面称为等值线或等值面。
如：
F(x)=(x1- a)2+ (x2－b)2
25
h
等值线
设计变量x1，x2所构成的关系曲面上的等值线，它是由许 多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。
在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的 中心。
26
h
如图函数 的等值线图。
F ( x 1 ,x 2 ) 6 0 1 0 x 1 4 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2
传统设计流程
3
优化设计数学模型
优
化
算
优选设计变量
法
程
序
是否满足要求
否
是 输出
优化设计流程
h
传统设计过程与优化设计过程
传统设计方法：经验方法慢，难以获得最优或次优解； 优化设计方法：有理论支持，寻优快速，可以获得全局 最优或次优解
4
h
优化设计应用成功案例
美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构 优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优 化设计，使成本降低约10%。
s.t.
gj(X)0
28 hk(X)0
h
XRn
j 1,2,3,m k1,2,3,n
17.3 建模实例
建模是优化设计的第一步，把实际问题抽 象成数学模型的一个过程。步骤：
1）恰当的表达目标函数 2）选取变量 3）确定约束条件
29
h
例1)人字架结构优化设计
由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载
B2 2)
)
p
L2 h 2 dhB
0
d max d d min
h max h h min
33
h
例2） 某房地产公司有水泥100t，木材16t和玻璃410t， 用以建造A型和B型住宅。建一栋A型住宅需水泥1t、木材 2t、玻璃2t、，每栋售价100万元。建一栋B型住宅需水泥 1t、木材1t、玻璃5t、，每栋售价150万元。应如何安排两 种住宅的建造数量，才能使总售价最高? 数学模型：
从等值线上，可以清除地看到函数值的变化
情况
27
h
4. 优化设计问题一般数学形式
求设计变量向量 X [x1,x2, ,xn]T 使目标函数 F(X) m in
满足约束条件
g j( X ) 0 ( j 1 ,2 ,,m )
h k ( X ) 0 ( k 1 , 2 ,, l )
minF(X)F(x1,x2,xn),
分析：
（1）利润的表达式；
（2）设计参数确定： A 产品xA， B 产品xB ； （3）设计约束条件：
（a）煤约束；
（b）电约束；
（b）劳动力约束；
9
h
数学模型
设计参数： 设计目标： 约束条件：
xA, xB
m a x P P A x A P B x B
aC xA bC xB C aE xA bE xB E aLxA bLxB L
第17讲 最优化设计 基础
1
h
主要内容
引言 优化问题实例 优化模型 优化建模 优化求解
2
h
产品设计是约束满足问题，是参数优化问题。
运用优化设计理论及方法，借助计算机程序，为实现预期目标, 考虑各种设计要求，自动寻找最优设计方案和最佳设计参数。
设计要求 方案设计 综合与分析
评价 输出图文技术资料
单目标函数
多目标函数
23
h
目标函数等值（线）面
目标函数是n维变量的函数，它的函数图像 只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设
计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目 标函数等值面的方法。
目标函数F(x)的等值面（线）数学表达式为：
F(x)c
24
h
目标函数等值（线）面
F(x)c
对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线
负载2p在每个杆上的分力为：
p p L2h2
p1cos h
h
B
2p
p1
p
2
hd
h
2p
2L
31
受力分析图
h
圆杆截面图
2L
桁杆示意图
杆截面的应力为：
1
p1 s
L2h2 dhB
此应力要求小于材料的屈服极限，即： p L2 h2 dhB
圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：
压杆稳定的临界应力为
X=[x1, x2]T
m F ( ix ) n ( 1x 0 1 1 0x 5 2 )0
-x1≤0
34
h
-x2≤0
17.4 优化问题的几何解释和基本 解法
一、几何解释
通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的 基本思例想1：。如下二维非线性规划问题
m in
F
(x)
x2 1
x2 2
4 x1
15
h
设计变量的全体实际上是一组变量，用一个列向 量表示。
x1
x
x2
[ x1,
x2 ,
, xn ]T
x
n
由n个设计变量x1,x2, ,xn 为坐标所组成的实空
间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一
点表示。
16
h
x1
x
x2
[ x1,
x2 ,
, xn ]T
x
n
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
7
h
数学模型：
设计参数： 设计目标：
x1, x2, x3
m i n S x 1 x 2 2 ( x 2 x 3 x 1 x 3 )
约束条件：
x1 5 x2 0 x3 0 x1x2x3 1 0 0
8
h
x2 x1
x3
例2：生产资源调度问题
2E d2 B2 8L2 h2
由此得稳定约束：
2Ed2B2
8L2h2
pL d2 hh2B0
32
h
另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：
min
2 dB L2 h 2
s .t .
p L2 h 2 0 dhB
2E (d 8(L2
2
h
1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X（0）， 从 X（0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨 出一步达到X（1）点；
2）得到新点X（1）后再选择一个新的使函数值迅速下 降的方向及适当的步长，从X（1）点出发再跨出一步，达到X
（2）点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算 ，最终达39 到目标函数的最优点。h
一个可行设计必须满足某些设计限制条件， 这些限制条件称作约束条件，简称约束。
20
h
约束条件
约束又可按其数学表达形式分成等式约 束和不等式约束两种类型：
(1)等式约束 (2)不等式约束
h(x) 0 g(x)0
21
h
可行域
可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的 设计点所构成的空间 。
例：满足两项约束条件
设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变
量，则称为n维设计问题。由n的大小，将优化问题分成
高维、中维、低维优化问题。
按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量 （例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。
17
h
设计空间
二维设计
三维设计
设计变量所组成的设计空间
18
h
设计空间的维数
迭代法新点的目标函数应满足函数值下降的要求：
使传统设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能； 使传统设计中，性能指标的校核可以不再进行； 使设计的部分评价，由定性改定量成为可能； 使零缺陷（废品）设计成为可能； 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量。
5
h
17.2 优化设计问题实例
优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算 机技术，求取工程问题的最优设计方案。
由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何
的方法得该切点为 X* 3,2T， 对应的最优值为
f X 2 (见图）
38
h
二、数值法求解步骤
数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻
求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精 度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：
12
h
数学模型
设计参数： 设计目标： 约束条件：
13
m, z1,b m inW 4b[(m z1)2(m iz1)2]
F 1 [ ] F 1 0 F 2 [ ]F 2 0 H [ ]H 1 0 b 1 .2 m z1 0 1 7 z1 0
h
17.3 优化设计的数学模型
g1（X）=x12＋x22—16 ≤ O
g2（X）＝2—X2≤0
二维设计问题的可行域D。
22
h
3.目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量
的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以
F(X)表示。
F (x)F (x 1 ， x2 ， ， xn)
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改 善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的 X值。
为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆
的比重为ρ，弹性模量为E，屈服强度为σ 。求在桁架不
被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均
h
直径d。
B
2p
p1
p
2
hd
h
2p
2L
受力30分析图
圆杆截h 面图
2L
桁杆示意图
桁杆的截面积为 ： SdB
桁杆的总重量为： W2dBL2h2
x2 g3(x)=0
g1(x)=0
g2(x)=0
2
1
D A x*=[0.58, 1.34]T
-1 0
1
2
3
4
g4(x)=0 x1
f(x )= 3 .8
36
h
求解优化问题的基本解法
图解法 解析法 数值解法
解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根 据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最 优解析解的求解方法 。 约束问题：Langrage函数法（等式约束）
任何一个实际优化问题，其具体要求和约 束条件各不相同，其共同点：将实际问题转化 为数学模型（一个难点）——用数学公式来 表示使既要优化的问题。
数学模型： 设计变量、目标函数、约束条件
14
h
优化问题的数学模型
1.设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来 表示。
设计变量——在优化设计中，可以进行调 整和优选的独立参数
某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位利润为PA 万元， B 产品 单位利润为PB 万元。每生产一个A 产品需消耗煤aC 吨，电aE 度， 人工aL 个人日；每生产一个B 产品需消耗煤bC 吨，电bE 度，人工 bL 个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人日， 欲找出其最优分配方案，使利润最大。
4
s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0
g2(x)
x2 1
x2
1
0
g 3 ( x ) x1 0
g4( x) x2 0
35
h
目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：
x* (2,0)
F(x*) 0
约束方程所围成的可行域是D。
10
h
例3：直齿圆柱齿轮副的优化设计
已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮
的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。
11
h
直齿圆柱齿轮副的优化设计
分析： （1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数m，齿宽b，齿数z1； （3）设计约束条件：
（a）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （d） 齿宽系数要求； （e） 最小齿数要求。
在中间过程中每一步的迭代形式为：
xk1xk kSk
F(xk1)F(xk) k=0,1,2,
ｘk——第k步迭代计算所得到的点，称第k步迭代点，
亦为第k步设计方案；
αk——第k步迭代计算的步长；
S k——第k步迭代计算的探索方向。
用迭代法逐步逼近最优点 的探索过程如图所示。
40
h
图 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图