晶面和晶向(课件)
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第四章 晶向、晶面等概念
1
4.1 原子坐标
在空间三维坐标系中， 一个点A用一组坐标(x,y,z)表示， 一条直线用直线方程 ax+by+cz=0来表示。
原子在晶胞中的位置可用 原子坐标 表示。
2
什么是原子坐标？
原子坐标是以单位晶格长度为坐标，以数字表 示某一原子中心处在晶格中的位置的一种表示方 法，原点一般选在晶胞顶点上。
个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向
指数；用 [μνω ] 表示
13
1,1,1 ⎯1⎯2→[463]→[μνω ]
324
14
由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。 它们构成一个晶向族，用<uvw>来表示这一系列的晶向。 例如：对于立方晶系
<100> 包含 [100],[010],[100],[010],[001],[001] 共六个晶向；
17
六方晶系中的晶面与晶向
18
(110)(110)(110)(110) 晶面
19
[113][131][311]⎡⎣113⎤⎦ 晶向
(113)(131)(311)(113) 晶面
20
4.4 倒易点阵
研究倒易点阵的目的： (1)更清楚地了解x射线在晶体衍射中的几何概念； (2)更清楚、更容易理解晶面的存在及其坡度、晶面
<110>包含 [110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011] 共十二个晶向
<111>包含 [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111] 共八个晶向
在立方晶系中，由于 (a,b,c,α,β ,γ ) 晶轴参数的特殊
(0,0,0)表示处于顶点上的原子 ( 1 , 1 , 1 ) 表示处于体心上的原子
222
简单立方格子的原子坐标 (0,0,0)
3
体心立方格子：(0,0,0)
(1 , 1 ,：(0,0,0)( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
关系，某一晶面(hkl)与指数相同的晶向[hkl]恰好垂直。在 其他晶系中，这一关系不一定存在。
15
在六方晶系中，为了能充分体现六方晶系的六 重轴对称性，常常用四个坐标指数表示晶面，被称 为密勒布喇菲指数(hkil)。此时所选取的是由四个 晶轴a1、a2、a3、c 所组成的坐标系统。h、k、i、 l 四个指数中，只有三个是独立的，其中h＋k＝－ i；h＋k＋i＝0。
6
4.2 晶面及晶面指数
什么是晶面？连结同一层质点的平面 什么是晶面间距？相邻两层平行晶面之间的距离 什么是面密度？晶面上质点的密度 在同一晶体的格子结构中，沿不同方向可以构成 许多组这样相互平行的晶面，不同晶面间彼此相差一 定角度，并且他们的晶面间距、面密度及质点种类、 价键密度也不同，这将导致这些晶面的物理、化学性 质有所不同。为区分这些晶面，结晶学上人们用晶面 指数来标志(密勒指数)。
11
立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶 面、八个等同的{111}晶面。
(第四次实习内容)
12
4.3 晶向及晶向指数
什么是晶向？ 在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。
确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原
点； 2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三
在六方晶系中，晶向最好用 a1、a2、c三个晶 轴坐标系统表示，即[uvw]， 但也有用a1、a2、a3， c四个晶轴坐标系统表示的即[uvtw],四个坐标指数 满足u+v+t=0的关系。
16
在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶 向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴 相对应的晶向指数，则由 u＋v＋t＝0 来确定。
2 2 22
22
5
金刚石的晶胞：(0,0,0)
(1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) ( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
(1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) 2 2 2 2
22
也可以将原子的位置投影到结构晶胞的底面上，以数字 标明它所在位置的高度。
(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011)
{111} 包含 (111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111) 共八个晶面
110 表示一个晶面； (110)表示一组平行晶面； {110}表示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。
2，2，3→ 1，1，1 → 3，3，2 →（332） 223 666
8
9
两种特殊情况：
1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与晶轴在 无 穷 远 处 相 交 ， 截 距 ∞ ， 1/∞=0 ， 因 此 晶 面 在 这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平 行 的 晶 面 ， (100) 表 示 平 行 于 YZ 平 面 的 晶 面 ， (001)表示平行于XY平面的晶面。
7
密勒指数 是经过约简的该晶面在三个晶轴上的截距的倒数之比
确定密勒指数的三个步骤： 1) 该晶面与x, y, z 轴相交的长度r, s, t(表示相交长度分别 为a、b、c 的r、s、t 倍)，分别取其倒数1/r, 1/s, 1/t； 2) 对这三个分数进行通分，用分母的最小公倍数做分母； 3) 通分后三个分数的分子就是晶面指数(h k l)
2)如果晶面与某一晶轴的负方向相交,则相应的指
数上加以负号，如（110）、（121） ，{h k l } 表示一个
晶面族，晶面族内的各个晶面彼此等同，这是由 于晶体结构上对称性决定的。
10
{100} 包含 (100),(010),(100),(010),(001),(001)共六个晶面
{110} 包含共十二个晶面
间距等问题； (3)倒易点阵是固体物理学中讨论能带理论的重要方
法； 倒易点阵的实质： 倒易点阵本身是一种几何构图，
是一种数学抽象，是一种数学变换。
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4.1 原子坐标
在空间三维坐标系中， 一个点A用一组坐标(x,y,z)表示， 一条直线用直线方程 ax+by+cz=0来表示。
原子在晶胞中的位置可用 原子坐标 表示。
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什么是原子坐标？
原子坐标是以单位晶格长度为坐标，以数字表 示某一原子中心处在晶格中的位置的一种表示方 法，原点一般选在晶胞顶点上。
个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向
指数；用 [μνω ] 表示
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1,1,1 ⎯1⎯2→[463]→[μνω ]
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由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。 它们构成一个晶向族，用<uvw>来表示这一系列的晶向。 例如：对于立方晶系
<100> 包含 [100],[010],[100],[010],[001],[001] 共六个晶向；
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六方晶系中的晶面与晶向
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(110)(110)(110)(110) 晶面
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[113][131][311]⎡⎣113⎤⎦ 晶向
(113)(131)(311)(113) 晶面
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4.4 倒易点阵
研究倒易点阵的目的： (1)更清楚地了解x射线在晶体衍射中的几何概念； (2)更清楚、更容易理解晶面的存在及其坡度、晶面
<110>包含 [110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011] 共十二个晶向
<111>包含 [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111] 共八个晶向
在立方晶系中，由于 (a,b,c,α,β ,γ ) 晶轴参数的特殊
(0,0,0)表示处于顶点上的原子 ( 1 , 1 , 1 ) 表示处于体心上的原子
222
简单立方格子的原子坐标 (0,0,0)
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体心立方格子：(0,0,0)
(1 , 1 ,：(0,0,0)( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
关系，某一晶面(hkl)与指数相同的晶向[hkl]恰好垂直。在 其他晶系中，这一关系不一定存在。
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在六方晶系中，为了能充分体现六方晶系的六 重轴对称性，常常用四个坐标指数表示晶面，被称 为密勒布喇菲指数(hkil)。此时所选取的是由四个 晶轴a1、a2、a3、c 所组成的坐标系统。h、k、i、 l 四个指数中，只有三个是独立的，其中h＋k＝－ i；h＋k＋i＝0。
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4.2 晶面及晶面指数
什么是晶面？连结同一层质点的平面 什么是晶面间距？相邻两层平行晶面之间的距离 什么是面密度？晶面上质点的密度 在同一晶体的格子结构中，沿不同方向可以构成 许多组这样相互平行的晶面，不同晶面间彼此相差一 定角度，并且他们的晶面间距、面密度及质点种类、 价键密度也不同，这将导致这些晶面的物理、化学性 质有所不同。为区分这些晶面，结晶学上人们用晶面 指数来标志(密勒指数)。
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立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶 面、八个等同的{111}晶面。
(第四次实习内容)
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4.3 晶向及晶向指数
什么是晶向？ 在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。
确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原
点； 2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三
在六方晶系中，晶向最好用 a1、a2、c三个晶 轴坐标系统表示，即[uvw]， 但也有用a1、a2、a3， c四个晶轴坐标系统表示的即[uvtw],四个坐标指数 满足u+v+t=0的关系。
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在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶 向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴 相对应的晶向指数，则由 u＋v＋t＝0 来确定。
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金刚石的晶胞：(0,0,0)
(1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) ( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
(1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) 2 2 2 2
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也可以将原子的位置投影到结构晶胞的底面上，以数字 标明它所在位置的高度。
(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011)
{111} 包含 (111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111) 共八个晶面
110 表示一个晶面； (110)表示一组平行晶面； {110}表示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。
2，2，3→ 1，1，1 → 3，3，2 →（332） 223 666
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两种特殊情况：
1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与晶轴在 无 穷 远 处 相 交 ， 截 距 ∞ ， 1/∞=0 ， 因 此 晶 面 在 这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平 行 的 晶 面 ， (100) 表 示 平 行 于 YZ 平 面 的 晶 面 ， (001)表示平行于XY平面的晶面。
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密勒指数 是经过约简的该晶面在三个晶轴上的截距的倒数之比
确定密勒指数的三个步骤： 1) 该晶面与x, y, z 轴相交的长度r, s, t(表示相交长度分别 为a、b、c 的r、s、t 倍)，分别取其倒数1/r, 1/s, 1/t； 2) 对这三个分数进行通分，用分母的最小公倍数做分母； 3) 通分后三个分数的分子就是晶面指数(h k l)
2)如果晶面与某一晶轴的负方向相交,则相应的指
数上加以负号，如（110）、（121） ，{h k l } 表示一个
晶面族，晶面族内的各个晶面彼此等同，这是由 于晶体结构上对称性决定的。
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{100} 包含 (100),(010),(100),(010),(001),(001)共六个晶面
{110} 包含共十二个晶面
间距等问题； (3)倒易点阵是固体物理学中讨论能带理论的重要方
法； 倒易点阵的实质： 倒易点阵本身是一种几何构图，
是一种数学抽象，是一种数学变换。