求解非线性薛定谔方程的一类数值解法
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程，即非线性常微分方程，是用于描述物理系统的状
态变化的重要方程，可用于描述各种物理系统的动力学和稳定性问题。
Runge-Kutta方法是一种常用的数值解决非线性薛定谔方程的方法。
Runge-Kutta方法可以求解一阶非线性薛定谔方程，也可以求解多阶非线性薛定谔方程，不需要求解方程的精确解，而是对方程的近似解。
它的基本思想是：将时间区间[t0,t1]划分为若干小的时间步长，将每
次步长的解看作是一个函数，再用多项式拟合这个函数，从而得到方
程的近似解。
Runge-Kutta方法的特点是求解精度高，计算量少，但它也有一定的局限性，即要求解的方程必须是可以求导的，对于非线性或不可导的方程，Runge-Kutta方法就不能使用了。
另外，Runge-Kutta方法只能求
解单变量的非线性薛定谔方程，而多变量的非线性薛定谔方程则无能
为力。
总之，Runge-Kutta方法是一种有效的解决非线性薛定谔方程的方法，它的优点是求解精度高，计算量少，但也有一定的限制，不能解决某
些复杂的问题。
基于matlab的非线性薛定谔方程的数值算法研究
（48）
同Step1的方法，解方程（48），得到： ~ ~ U ( z , ) U (0, ) exp[P0 i | U (0, T ) | 2 z ] （49） ~ ~ 式中 U (0, ) 是初值 U (0, T ) 的傅立叶变换，将U ( z , ) 进行反傅立叶变换就得到了 U ( z , T ) 。方程(49)的求解公式为: ~ U ( z , T ) F{exp[ P0i | U (0, T ) | 2 z ] F [U (0, T )]} （410）
1. 引 言
非线性薛定谔方程是研究光脉冲在光纤中传输的基本方程， 大多数文献都是直接引用 非 线性薛定谔方程，采用分步傅里叶法数值求解非线性薛定谔方程。本文从通过MATLAB编 程来求解非线性薛定谔方程，并给出了分步傅里叶法数值求解算法程序。 MATLAB是美国MathWorks公司自20世纪80年代中期推出的数学软件， 优秀的数值计算 能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。 随着版本的不断升级， 它 在 数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。到目前为止，MATLAB已经发展成为多学 科、多种工作平台的功能强大的大型软件。
ˆ 的方程如下： 线性算符 D
U z
i 2U 2 T 2 U 2
（44）
用傅立叶变换方法，得到一个常微分方程（45）：
~ U ~ i (i ) 2 ~ U U z 2 4
解方程(45)得:
（45）
i 2 2 ~ ~ （46） U ( z , ) U (0, ) exp[ z] 4 ~ ~ 式中 U (0, ) 是初值 U (0, T ) 的傅立叶变换，将U ( z , ) 进行反傅立叶变换就得到了 U ( z , T ) 。方程(46)的求解公式为:
非线性薛定谔方程的一种新解
将 ＮＬＳ 方程（１．１）的精确解写成 Ψ（ｘ，ｔ）＝Ｒ（ｘ）ｅｘｐ
［ｉθ（ｘ）－ｉμｔ］，其中 Ｒ（ｘ），θ（ｘ）都是实函数，μ 为实常数．将
指数形式代入方程（１．１），并将实部和虚部分离，可得
Ｒｘｘ＝
Ｊ２ Ｒ３
＋２ｇＲ３＋２［Ｖ（ｘ）－μ］Ｒ
（２．１）
θｘｘ＋
２θｘＲｘ Ｒ
＝０
（２．２）
这里 Ｊ＝θｘ（ｘ）Ｒ２（ｘ）． 当外势 Ｖ（ｘ）不存在时，方程（２．１）可以写成
[M].Cambridge: Cambridge University Press,
2004.
〔5〕Wang Mingliang, Exact solutions for a
compound KdV -Burgers equation [J].Physics
LettersA,1996,213(5):279-287.
暗示了方程（２．１）的精确解 Ｒ（ｘ）和外势 Ｖ（ｘ）有如下关
系
Ｖ（ｘ）＝αＲ－４（ｘ）＋β
（２．５）
这里 α 和 β 都是待定常数．将（２．５）代入（２．１）得
Ｒｘｘ＝
Ｊ２＋２α Ｒ３
＋２ｇＲ３－２（μ－β）Ｒ
（很相似．这两式的差别
仅在于其中的 Ｊ 和 μ 分 别 用 ＪＥ＝ 姨Ｊ２＋２α 和 μＥ＝ μ－β 取代．因此，方程（２．６）也能给出类似于（２．３）的精 确解
μ＝－０．５σ２＋１．５ησ２－Ｖ０／（η－１）２
（２．１１）
考 虑 到 参 数 关 系 ＪＥ２＝－２ｇＢ＇３＋２μＥＢ＇２，Ａ＇＝－３Ｂ＇
＋２μＥ／ｇ 和 ＪＥ２＝Ｊ２＋２α，可得 Ｊ 的表达式为
Ｊ＝
σ２ ｇ
姨η３σ２－η２σ２－２｜Ｖ０｜
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
+
βu
u2
+
v2
=0
空间离散偏微分方程组（36）得：
（33） （34）
（1） （35） （36）
6
∂ui ∂t
=
−α
vi+1
− 2vi + vi−1 ∆x2
+ β vi (ui2
+ vi2 )
∂vi ∂t
=α
ui+1
− 2ui ∆x2
+
ui−1
−
β ui
(ui2
+
vi2 )
（37）
其中 ui (t) = u(xi ,t), vi (t) = v(xi ,t), xi = i∆x,i = 1, 2,..., m −1.
υ ''(ξ ) = 3a1 prF 2 − 3a1 pqF + b1rpFG
（14） （15） （16）
将（14），（15），（16）式代入（13）式，并注意到（2），（3）可得到
−Za13F 3 + (3a1 prX − 3Za0a12 − 6Za1b12r )F 2 + (−3a1 pqX p
标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
母应坤
(2006061102)
（黔南民族师范学院 物理与电子科学系，贵州 都匀 558000）
摘 要 ：本文分别介绍了非线性薛定谔方程的两种求解方法即解析法与数值法，并对其
解析解和数值解进行了简单的分析和讨论。
关键词 ：非线性薛定谔方程 ；精细积分；Riccati 方程求解法 ；Weierstrass 椭圆函数解
− 3Za02b1
+
Zb13q p
一类耦合非线性薛定谔方程组的求解
第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０５Ｇ１５基金项目:国家自然科学基金项目(１１７６１０４４)作者简介:仁世杰(１９９５Ｇ),男,甘肃庄浪人,助教,硕士,研究方向为孤立子理论及其应用．E Ｇm a i l :４８７４５０３９５＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ００３９Ｇ０５一类耦合非线性薛定谔方程组的求解仁世杰１,李永军２,张㊀娟３(１．兰州城市学院信息工程学院,甘肃兰州７３００７０;２．兰州城市学院电子工程学院,甘肃兰州７３００７０;３．宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)摘要:在可积条件c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï下,利用特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 方法,得到了双芯光纤变系数线性耦合薛定谔方程组i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïï的精确解．其中:C i (i ＝１,２)是常数;γi (t )(i ＝１,２)是第i 个纤芯的非线性参数;c (t )是两个纤芯之间的线性耦合参数．关键词:双芯光纤;线性耦合;薛定谔方程;可积;S i n e Ｇc o s i n e 方法中图分类号:O １７５．２９㊀㊀㊀文献标志码:AS o l v i n g aC l a s s o fC o u p l e dN o n l i n e a r S c h r öd i n g e rE qu a t i o n s R E N S h i Ｇj i e １,L IY o n g Ｇju n ２,Z HA N GJ u a n ３(１．S c h o o l o f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;２．S c h o o l o fE l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;３．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e ,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a n７５６０００,N i n gx i a ,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,t h e e x a c t s o l u t i o n s o f t h e l i n e a r l y c o u p l e d n o n l i n e a r S c h r öd i n g e r E qu a Ｇt i o n G r o u p i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïïïïw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s o f t w o Ｇc o r e f i b e r a r e c a l c u l a t e db y s p e c i a l t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d a n dm e t h o du n Ｇd e r i n t e g r a b l e c o n d i t i o n c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïïa m o n g wh i c h C i (i ＝１,２)i s t h e c o n Ｇs t a n t ,γi (t )i s t h e n o n l i n e a r p a r a m e t e r s o f t h e i Ｇt h c o r e a n d c (t )i s t h e l i n e a r c o u p l i n g p a r a m e Ｇt e r sb e t w e e n t h e t w o c o r e s ．K e y wo r d s :t w o Ｇc o r e f i b e r ;l i n e a r c o u p l i n g ;S c h r öd i n g e r e q u a t i o n ;i n t e g r a b l e ;S i n e Ｇc o s i n em e t h o d 0㊀引言双芯光纤耦合方程是一类数学与物理领域研究的热点方程,它描述了光纤中光孤子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果．因为光孤立子通信具有高码率㊁长距离和大容量的优点,可以构成超高速传输系统,所以光孤立子及其在通信中的应用研究具有重要的研究价值．文献[１]研究了变系数线性耦合的非线性薛定谔方程组:i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x β１１u (x ,t )－㊀β１２２∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２㊀u (x ,t )＋c v (x ,t )＋δa u (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x β２１v (x ,t )－㊀β２２２(t )∂２∂t２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２㊀v (x ,t )＋c (t )u (x ,t )－δav (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１)其中:βj １(j ＝１,２)是第j 个纤芯的群速度参数;βj ２(j ＝１,２)是第j 个纤芯的色散参数;γi (i ＝１,２)是非线性参数;c 是两个纤芯之间的线性耦合参数;δa 是两个纤芯的相速度参数．对于方程组(１),文献[１]针对非线性定向耦合器中光学明孤子的相互作用动力学进行了广泛的数值研究,考虑群速度失配,相速度失配,以及群速度色散和有效模面积的差异等因素的影响,主要使用数值方法研究了在均匀白躁声形式下的谐波无穷小扰动作用下亮孤子的稳定性．求解此类方程学有以下方法:I S T 方法[２Ｇ３],齐次平衡法[４Ｇ５],B äc k l u n d 变换方法[６Ｇ７],S i n e Ｇc o s i n e 方法[８Ｇ９]等．本文研究的是变系数的线性耦合非线性薛定谔方程组,方程组为i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋㊀γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋㊀γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀c (t )u (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(２)通过P a i n l e v é检验,得到当非线性参数和耦合参数满足:c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï(３)时,方程组(２)是P a i n l e v é可积的．本文在条件(３)基础上,首先利用S i n e Ｇc o s i n e 方法求解方程组的特殊精确解,然后选取满足方程的特定参数,并给出图像,所涉及的计算均由M a pl e 完成．1㊀预备知识S i n e Ｇc o s i n e 方法是求解非线性数学物理方程的有效方法,主要用于可积系统的求解．本节简单地介绍S i n e Ｇc o s i n e 方法．考虑非线性偏微分方程组i ∂∂T U (X ,T )－α∂２∂X ２U (X ,T )＋㊀㊀βU (X ,T )２U (X ,T )＋㊀㊀μV (X ,T )＝０,i ∂∂T V (X ,T )－α∂２∂X ２V (X ,T )＋㊀㊀βV (X ,T )２V (X ,T )＋㊀㊀μU (X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(４)假设方程组(４)的解具有如下形式:U (X ,T )＝r １(X ,T )e i (ωT ＋k X ),V (X ,T )＝r ２(X ,T )e i (ωT ＋k X )．{(５)将(５)代入方程组(４),得－α∂２∂X２r １(X ,T )＋i ∂∂T r １(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X ２r ２(X ,T )＋i ∂∂T r ２(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(６)分离(６)中实部和虚部,则式(６)等价于虚部为０:式(７),实部为０:式(８)．０４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷∂∂T r １(X ,T )－２αk ∂２∂X２r １(X ,T )＝０,∂∂T r ２(X ,T )－２αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＝０．ìîíïïïï(７)－α∂２∂X ２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïï(８)求解(７)可得r １(X ,T )＝F １(ξ),r ２(X ,T )＝F ２(ξ)．{(９)其中ξ＝２T αk ＋X２αk,F i (ξ)(i ＝１,２)为任意函数,其具体形式根据F i (ξ)(i ＝１,２)满足的条件确定．将(９)代入(８)得－１４αk ２∂２∂ξ２F １(ξ)＋β(F １(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F １(ξ)＋μF ２(ξ)＝０,－１４αk ２∂２∂ξ２F ２(ξ)＋β(F ２(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F ２(ξ)＋μF １(ξ)＝０．ìîíïïïïïïïï(１０)在方程组(１０)中,假设F i (ξ)(i ＝１,２)有如下形式:F i (ξ)＝E i s i n (h (ξ))＋G i c o s (h (ξ))＋H i (i ＝１,２),(１１)其中E i ,G i 和H i (i ＝１,２)是待定常数,同时h (ξ)满足常微分方程:d h (ξ)d ξ＝A s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))＋E ,(１２)其中A ,B 和E 是待定常数．再将(１１),(１２)代入(１０)中,整理得到关于s i n (h (ξ)),c o s (h (ξ))的多项式,令其系数为零,得到关于E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k 和ω的代数方程组．将得到的解带回(１２)中,再利用文献[１０]中介绍的S i n e ＧG o r d o n 方程(１２)的解,可以得到方程组(４)的解．2㊀方程组的求解本节使用S i n e Ｇc o s i n e 方法和特殊变换求方程组(２)的一组精确解．定义下列函数:T (t )＝－１t ,b (x ,t )＝－１２ln (２t ),a (x ,t )＝－(t －x )２４t,X (x ,t )＝x ２t ．ìîíïïïïïïïïïï(１３)方程(２)可经过变换:㊀u (x ,t )＝U (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ),v (x ,t )＝V (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ){(１４)转化为方程(４)．故先求解方程(４)得到方程的解U (X ,T ),V (X ,T ),然后再通过变换(１４)就可以得到原方程组(２)的解．由第一节求解方程组(４)可以得到E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k ,ω的代数方程组,令D １＝４H １α２k ４－４H １αk ２ω＋４H ２αk ２μ＋２A E E １－B E G １,D ２＝４H ２α２k ４＋４H １αk ２μ－４H ２αk ２ω＋２A E E ２－B E G ２,D ３＝４E ２α２k ４＋４E １αk ２μ－４E ２αk ２ω＋A ２E ２－A B G ２＋E ２E ２,D ４＝４G １αk ２μ－４G ２αk ２ω＋２A ２G ２＋３A B E ２－B ２G ２＋E ２G ２,则代数方程组有如下表示,－２４Ε１G １H １αβk ２＋３A E G １＋３B E E １＝０,(１５)１２E １２H １αβk ２－１２G １２H １αβk ２－３A E E １＋３B E G １＝０,(１６)１２E １２G １αβk ２－４G １３αβk ２－２A ２G １－４A B E １＋２B ２G １＝０,(１７)４E １３αβk ２－１２E １G １２αβk ２－２A ２E １＋４A B G １＋２B ２E １＝０,(１８)㊀－１２E １２H １αβk ２－４H １３αβk ２＋D １＝０,(１９)－４G １αk ２ω＋４G ２αk ２μ＋２A ２G １＋３AB E １－B ２G １＋E ２G １＋４＝０,(２０)－２４E ２G ２H ２αβk ２＋３A E G ２＋３B E E ２＝０,(２１)１２E ２２H ２αβk ２－１２G ２２H ２αβk ２－３A E E ２＋３B E G ２＝０,(２２)１２E ２２G ２αβk ２－４G ２２αβk ２－２A ２G ２－４A B E ２＋２B ２G ２＝０,(２３)４E ２３αβk ２－１２E ２G ２２αβk ２－１４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解２A ２E ２＋４A B G ２＋２B ２E ２＝０,(２４)－１２E ２２H ２αβk ２－４H ２３αβk ２＋D ２＝０,(２５)－４E ２３αβk ２－１２E ２H ２２αβk ２＋D ３＝０,(２６)－１２E ２２G ２αβk ２－１２G ２H ２２αβk ２＋４G ２α２k ４＋D ４＝０．(２７)求解方程组(１５)－(２７),选取其中一组非平凡解:A ＝３３B ,B ＝B ,E ＝０,E １＝E ２,E ２＝E ２,H １＝０,H ２＝０,G １＝－３３E ２,G ２＝－３３E ２,k ＝－B ２E ２２αβ,ω＝－８E ４２β２－６E ２２βμ＋３B ２６E ２２β．ìîíïïïïïïïï(２８)将(２８)代入方程(１２),得d h (ξ)d ξ＝３３B s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))．(２９)求解微分方程(２９),得h (ξ)＝２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú．(３０)取特定例子如下:取定常数μ＝１０,β＝－１,α＝１,B ＝－１,E ２＝３,将(３０)代入方程组(１１),得F １(ξ)＝F ２(ξ)＝３s i n２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}．(３１)相应F ２i (ξ)(i ＝１,２)的图像如图１所示,特别地,当待定系数αβ＜０时,发现F ２i (ξ)(i ＝１,２)的能量凹陷,即为暗孤立子解．根据(５)和(２８)可知U (X ,T )＝V (X ,T )．当常数确定后,则k ＝－２６,ω＝３９７１８,ξ＝T ＋２６X ．(３２)由此U (X ,T ),V (X ,T )表示为U (X ,T )＝V (X ,T )＝{３s i n２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}}e I (３９７１８T －２６X )．(３３)图１㊀F ２i (ξ)的图像㊀㊀限制自变量的范围,得到U (X ,T )２图像,如图２所示．图２㊀U (X ,T )２的图像从图２发现U (X ,T )２的能量凹陷,即为暗孤立子解．将(１３)代入(３３)中,令D (x ,t )＝e －I (９x ２＋９t ２＋３２x －１８t x ＋７９４)＋１８t l n (２t )３６t,u (x ,t ),v (x ,t )表示为u (x ,t )＝v (x ,t )＝{３s i n２a r c t a n ３(１＋e －３２x －４３６t )－３＋e －３２x －４３６t éëêêùûúú{}－２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷３c o s２a r c t a n ３１＋e －３２x －４３６t ()－３＋e－３２x －４３６t éëêêùûúú{}}D (x ,t)．(３４)限制自变量的范围,得到u (x ,t )２图像如图３所示．图３㊀u (x ,t )２的图像㊀㊀从图３可以发现u (x ,t )２的部分能量突起,即为亮孤立子解．3㊀结语本文主要研究的是一类薛定谔方程组在可积条件下,通过特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 求解其精确解,然后给定待定的常数,确定方程组精确解的图像．本文的目标方程可进行适当地调整,若将部分常系数改为变量系数,那么可积条件将会发生变化,同时可使用上述方法求方程的精确解．参考文献:[１]G O V I N D A R A J A N A ,A R UMU G AM M ,U T HA Y A ＧK UMA R A．I n t e r a c t i o nd y n a m i c so fb r i gh ts o l i t i o n s i n L i n e a r l y c o u p l e d a s y mm e t r i c s y s t e m s [J ]．O p t Q u a n tE l e c t r o n ,２０１６,４８(１２):５６３．[２]G A R D N E R C S ,G R E E N EJ M ,K R U S K A L M D ,e ta l ．M e t h o d f o r s o l v i n g t h eK o r t e w e g Ｇd eV r i e s e q u a t i o n [J ]．P h y sR e v ,１９６７,１９:１０９５Ｇ１０９７．[３]郭玉翠．非线性偏微分方程引论[M ]．北京:清华大学出版社,２００８．[４]F A N E G ,Z HA N G H Q．N e we x c e pt s o l u t i o n s t oa s y s t e mo fc o u p l e de q u a t i o n s [J ]．P h y Le t t A ,１９９８,２４５:３８９Ｇ３９２．[５]WA N G M L ．E x a c ts o l u t i o n sf o rac o m po u n d K d v ＧB u r g e r s e q u a t i o n [J ]．P h ys L e t t A ,１９９６,２１３:２７９Ｇ２８７．[６]M I U R A M R．B a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n [M ]．B e r l i n :S p r i n g e r ＧV e r l a g,１９７８．[７]C A O X F ．B äc k l u n 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《一类非线性薛定谔泊松方程的基态解和山路解》范文
《一类非线性薛定谔泊松方程的基态解和山路解》篇一一类非线性薛定谔泊松方程的基态解与山路解一、引言非线性薛定谔方程是物理学中描述波的传播和散射的重要工具，在量子力学、光学、流体力学等领域有着广泛的应用。
近年来，随着对非线性波动的深入研究，我们关注到了另一类非线性薛定谔泊松方程，它在多体系统中尤其具有实际应用价值。
本篇论文主要研究一类非线性薛定谔泊松方程的基态解和山路解，探讨其数学性质和物理意义。
二、非线性薛定谔泊松方程的基态解基态解是非线性薛定谔泊松方程的重要解之一，它代表了系统在给定能量条件下的最低能量状态。
对于一类非线性薛定谔泊松方程的基态解，我们采用变分法进行研究。
首先，我们通过分析方程的能量泛函，确定其极值点即为基态解。
然后，利用变分法的基本原理，通过求解极值问题来得到基态解。
在求解过程中，我们采用了数值计算方法，如有限差分法、有限元法等，对非线性薛定谔泊松方程进行离散化处理，从而得到基态解的近似值。
通过对比不同方法的计算结果，我们发现这些方法都能有效地求解基态解，但各有优劣。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的具体特点选择合适的数值计算方法。
三、非线性薛定谔泊松方程的山路解与基态解不同，山路解表示的是在更高能量水平上的非微小振荡或局域波动。
为了寻找一类非线性薛定谔泊松方程的山路解，我们采用了临界点理论中的山路引理。
首先，我们定义了合适的能量泛函和山路函数，然后通过分析这些函数的性质来确定山路解的存在性。
在求解过程中，我们采用了梯度下降法等优化算法来寻找山路解。
这些算法能够有效地在给定的能量水平上找到系统的局部最小值点，从而得到山路解。
同时，我们还通过数值模拟的方法来验证山路解的存在性和稳定性。
四、结论通过对一类非线性薛定谔泊松方程的基态解和山路解的研究，我们得到了以下结论：1. 基态解是系统在给定能量条件下的最低能量状态，可以通过变分法求解得到；2. 山路解表示的是在更高能量水平上的非微小振荡或局域波动，可以通过临界点理论和优化算法求解得到；3. 数值计算方法在求解这类非线性问题中具有重要的应用价值，我们可以根据问题的特点选择合适的数值计算方法；4. 通过分析这些解的性质和存在性，有助于我们更深入地理解这类非线性薛定谔泊松方程的物理意义和应用价值。
一类非线性薛定谔方程的数值解法
III
目录
摘 要........................................................................................................................................... I ABSTRACT.............................................................................................................................. III 第一章 前言...............................................................................................................................1
在此本人郑重承诺:所呈交的学位论文不存在舞弊作伪行为,文责自负.
学位申请人(学位论文作者)签名: 201 年 月 日
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本人经河南大学审核批准授予硕士学位.作为学位论文的作者,本人完全了解并同 意河南大学有关保留、使用学位论文的要求,即河南大学有权向国家图书馆、科研信息 机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文(纸质文本和电子文本)以供公众检 索、查阅.本人授权河南大学出于宣扬、展览学校学术发展和进行学术交流等目的,可以 采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手段保存、汇编学位论文(纸质文本和电子文本).
非线性薛定谔方程的数值计算研究
［ ］姚 启 钧． 学 教 程 ［ ． ３ 光 Ｍ］ ３版 ． 京 ： 等 教 育 出 版 社 ，０ ２ 北 高 ２０． ［ ］李 继 陶 ， ４ 陈祯 培 ． 计 光 学 基 础 ［ ． 都 ： 川 大 学 出 版 社 ，９ ８ 统 Ｍ］ 成 四 Ｉ １８ ．
［ ］Ｊ Ｗ． ｏｍａ ，Ｓａｉ ｉ ｌ ｐｉｓＭ］ Ｎｅ ｙ ｒ Ａ ＷｉｙＩｔｒｃ ｎｅＰ ｂｉａｉｎ １ ８ ． ５ ． Ｇｏ ｄ ｎ ｔｔ ｔ ａ Ｏ ｔ ［ ． ｗ ｏｋ： ｌ ｎｅｓｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ，９ ５ ｓｃ ｃ ｅ ｅ ｃ ｏ
２０ ０ ９年 第 ２期
（ 第 ６ 总 ７期 ）
牡 丹 江师 范 学院 学 报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ａ ｉａ ｇ Ｎｏｍａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆ Ｍ ｄ ｎｉｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ
Ｎ Ｏ ２， ０ ． ２ ０９ Ｔｏ ａ ｔ ＩＮ０ ６ ７
光 纤传输 模 型是用 非线 性薛 定谔 方程 来描 述 的， 因此 光纤 传输 系统 的模 拟 离 不 开求 解 非 线 性 薛 定谔 方程口 ］ 非线 性薛 定谔 方程 是一个 非 线性 ． 偏 微 分 方 程 ， 个 别 特 殊 情 况 应 用 逆 散 射 方 法 可 除 以求 得解 析解 外 ， 在一般 情况 下无 法求 出解 析解 ， 只能求 出其数 值 解． 了 深 入 了解 光 纤 的 非 线性 为 效应 ， 常采用 数 值 方 法 或 半解 析 方 法 进 行 分析 通 处理 ． 目前 常用 的数 值模 拟 方法 有 分 裂 步 长 快速 傅 立 叶 变 换 （ａ ｔ ｏ ｒ ｒｔ ｎ ｆｒ 算 法 、 ｆｓ— ｕｉ —ｒ ｓｏｍ） Ｆ ｅ ａ 龙
ａ ＋ Ｏ 十 ｉ Ａ Ａ ． ￣
基于matlab的非线性薛定谔方程的数值算法研究
P0 ，P0 是入射脉冲的峰值功率，
此时方程(41)可改写为:
2
U i 2U U P0 i | U | 2 U 2 z 2 4 T
（42）
3. 分步傅立叶数值算法
目前， 采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应 用比较多。 分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的， 这种方法己经被证明是相同精度下 数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法 (Fast Fourier Transform Algorithm)。基于MATLAB科学计算软件以及MATLAB强大的符号计算功 能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。
其中 F 和 F 分别表示傅立叶变换和反傅立叶变换运算。 Step2 非线性算符方程的求解
~
i z ~ U ( z , T ) F{exp[( 2 ) ] F [U (0, T )]} 2 2
Hale Waihona Puke （47）ˆ 的方程如下： 非线性部分 N
U P0 i | U | 2 U z
为了使用分步傅立叶法求解方程(42)，将方程(42)写成以下形式:
U ˆN ˆ )U (D z
进一步，可以得出如下方程（43）：
i 2U 2 T 2 ˆ D 2 ˆ P i | U | 2 N 0
（43）
然后，按照步骤 step1 和步骤 step2，依次计算方程（43）的线性算符和非线性算符。最后 在步骤 step3 中，运行步骤 step1 和步骤 step2 的 MATLAB 程序，得出线性算符和非线性算 符的精确数值解及其仿真曲线。 Step1 线性算符方程的求解
求解非线性薛定谔方程的简便方法
求解非线性薛定谔方程的简便方法
郭鹏;陈宗广;孙小伟
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2010(029)003
【摘要】通过引入变换和选准试探函数,把难于求解的非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而简洁地求得了非线性薛定谔方程的解析解.
【总页数】3页(P12-13,20)
【作者】郭鹏;陈宗广;孙小伟
【作者单位】兰州交通大学,数理与软件工程学院,甘肃,兰州,730070;兰州交通大学,数理与软件工程学院,甘肃,兰州,730070;兰州交通大学,数理与软件工程学院,甘肃,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O175.24
【相关文献】
1.求解非线性薛定谔方程的一类数值解法 [J], 张艳敏;刘明鼎
2.基于首次积分法求解两个非线性薛定谔方程的精确解 [J], 张清梅;熊梅;陈龙伟;
3.基于首次积分法求解非线性薛定谔方程的精确解 [J], 张贝贝; 熊梅; 陈龙伟
4.应用G'/(G'+G+A)展开法求解两类非线性薛定谔方程 [J], 洪宝剑;陈威;卢殿臣
5.求解非线性薛定谔方程的一类数值解法 [J], 张艳敏[1];刘明鼎[1]
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薛定谔方程数值解
bU
k i
)
k R ,i
k R ,i1
a
k I,i
k 1 I ,i 1
a
, k 1
R ,i
k 0,
,N ,K
1
k I ,i 1
(2
bU i k
)
k I,i
k I ,i 1
a
k R ,i
利用 k 时的 值，求 k1 时的 值
要求解线性方程组——隐式的
U
k i
1 2
(U
k i
U
k i
1
)
√
含时方程的解法(4/10)
b1 1
a
1 b2 1
a
1 bN 1 1
a
Bk
a
1 bN b1 1
a
a
1 b2 1
a
1 bN 1 1
例：求解 f x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l )
迭代方程
k 1 n1
[2
d
2
fn
ad
2
|
k
(xn )
|2 ]
k 1 n
k 1 n1
bd 2
k 1 n
系数矩阵
ck 1
Ak
Bk
0
0
B
k
,
解薛定谔方程的数学手段
解薛定谔方程是量子力学中的一个重要任务，它涉及到多种数学手段。
以下是一些常用的解薛定谔方程的数学方法：
1. 分离变量法：这是解薛定谔方程最常用的方法之一。
它将波函数分解为空间部分和时间部分的乘积，从而将一个多维的偏微分方程转化为一系列一维的常微分方程。
这种方法适用于求解具有空间对称性的系统，如无限深势阱、粒子在势场中的运动等。
2. 格林函数法：格林函数法是一种利用积分变换和核函数来解偏微分方程的方法。
它将薛定谔方程中的源项替换为一个分布函数，然后通过积分变换将其转化为一个简单的积分方程，从而求解波函数。
3. 待定系数法：这种方法适用于求解具有特定边界条件的薛定谔方程。
它假设波函数具有特定的形式，然后通过边界条件确定形式中的待定系数，从而得到波函数的解。
4. 数值解法：当薛定谔方程无法通过解析方法求解时，可以采用数值解法。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法、辛算法等。
这些方法通过离散化连续的物理空间，将偏微分方程转化为可求解的代数方程组。
5. 微扰理论：对于受微扰的量子系统，可以采用微扰理论来求解薛定谔方程。
微扰理论通过将波函数和能量展开为微扰的级数，然后逐级求解，得到近似的波函数和能量。
6. 变分法：变分法是一种通过极化能量来求解薛定谔方程的方法。
它将波函数的表达式代入到能量表达式中，然后通过变分原理找到能量最低的波函数，从而得到薛定谔方程的解。
7. 积分变换法：积分变换法，如傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以将薛定谔方程中的时间或空间变量转换为频率变量，从而简化方程的求解。
288 268 非线性薛定谔方程
NLSE的数值解法
光孤子在光纤中传输满足NLSE：i
q z
1 2
2q t 2
|
q
|2
q
iq
假设光纤无损耗，取 0
初值条件为：q(t, z 0) Asec ht
采用差分格式：
i
q
i1
j
q i1 j
1
(
q
j
i1 1
2q j
i1
q i1 j1
qi j1
2q j
i
qi j1
)
1
(|
q
i
|2
q
i
|
q
En (z) A0 (i)n exp(i z)Jn (2Cz)
离散非线性薛定谔方程
其中Jn是n阶贝塞尔函数。当假设入射光束是低功率时 将 会得到离散衍射，也就是光束的能量分散到波导阵列的量的
边瓣；当入射光束为高功率时，得到的则是光学局域态，此 时沿波导阵列的光场分布为：
En
(z)
A0
exp[i(2C
B( )
n
2
C j (k j )ek j
j 1
1
2
R(k)eik dk
对于一般的非线性方程 u k(u) ， t
首先选择一个微分算子L=L
(u,
ux,
…)，使：L
,
d
dt
0
NLSE的反散射解法
再选另一个线性算子M=M(u,ux,…) , 使： t M Lt L t t t t Lt LM M ML Lt (ML LM ) [M , L]
K. G. Makris, J. Hudock, D. N.Christodoulides, and G. I. Stegeman,“ Lattice surface solitons"
摄动法的原理
摄动法的原理摄动法是一种用数学方法求解非线性问题的一种数值计算方法。
它的基本思想是通过以线性问题为准，进行迭代求解来逼近非线性问题的解。
摄动法是将非线性方程表示为线性方程的叠加，并且通过不断迭代和加入更高阶项的影响，逐步接近方程的真实解。
以下将从摄动法的基本原理、具体求解过程和应用领域进行阐述。
摄动法的基本原理是将非线性问题表示为一个线性部分加上一个小的非线性扰动。
换句话说，对于一个非线性方程，我们可以将其写为一个线性方程再加上一个小的附加项，而这个附加项可以通过计算扰动项来逼近。
这个思想可以通过泰勒级数展开来解释。
对于一个常见的非线性方程，我们可以将其使用泰勒级数展开为：f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \frac{1}{2}f''(x0)(x - x0)^2 + ...然后我们将其分拆为线性部分f(x0) + f'(x0)(x - x0) 和非线性扰动项\frac{1}{2}f''(x0)(x - x0)^2 + ...。
如果我们取x0 为一个已知解，那么我们就可以把非线性方程分解为一个线性方程和一个小的非线性扰动项。
然后我们可以通过迭代求解线性方程，并加入更高阶项的影响来逼近原方程的解。
这就是摄动法的基本思想。
在具体的求解过程中，摄动法可以分为两个主要步骤：1. 线性化：首先，我们需要将非线性问题进行线性化。
也就是说，我们需要将非线性方程表示为一个线性方程再加上一个小的非线性扰动项。
这一步通常涉及到泰勒级数的展开和截断。
对于一个高维非线性问题，我们可能需要使用多元泰勒级数进行展开。
2. 迭代求解：一旦我们将非线性问题转化为线性问题和非线性扰动项，我们就可以开始迭代求解了。
在每一次迭代中，我们首先求解线性方程，得到一个近似的解。
然后，我们计算非线性扰动项的值，并加入到线性方程的解中，从而得到更接近真实解的近似解。
然后，我们将这个近似解作为下一次迭代的初始值，重复以上过程直到达到迭代终止条件为止。
_一类非线性奇性薛定谔方程的精确解
2.1 动力系统.................................................................................................................. 4
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非线性微分方程的数值求解方法
非线性微分方程的数值求解方法非线性微分方程是现代科学研究中的一个重要课题，其涉及机械、物理、化学、电子、生物、医学等众多领域。
然而，由于非线性微分方程普遍难以求解，因此，数值求解成为了解决问题的有效方法。
在本文中，我们将介绍非线性微分方程数值求解的常用方法和一些应用实例。
1. 常用方法1.1 有限差分法有限差分法是一种基于离散化技术的数值求解方法。
其具体操作是将非线性微分方程转化为一个差分方程，然后利用数值迭代的方法逐步计算出方程的解。
有限差分法是非线性微分方程数值求解的最基本方法，其优点是简单、易于实现，但由于离散化带来的误差限制了其应用范围。
1.2 有限元法有限元法是结构力学和流体力学中常用的一种数学方法，可以用于求解大量的非线性微分方程。
该方法将连续的物理问题转化为一系列离散的有限元问题，并利用数值技术实现数值计算。
相对于有限差分法，有限元法更加灵活、精确，能够模拟各种复杂的力学问题。
1.3 辛波特-欧拉法辛波特-欧拉法是非线性微分方程数值求解中的一种高精度方法。
其基本思想是将微分方程用欧拉法离散化，然后利用辛波特方法来提高精度。
该方法应用广泛，在计算机模拟、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。
2. 应用实例2.1 生态学非线性微分方程在生态学中有着广泛的应用，其中最经典的例子是Lotka-Volterra方程。
这个模型描述了食物链中食草动物和食肉动物的数量变化。
利用有限元法、有限差分法等数值方法，可以对生态系统的发展、演变进行模拟，研究生态链条的稳定性、物种丰富度变化、环境扰动的影响等问题。
2.2 理论物理学非线性微分方程在理论物理学中也有着广泛的应用。
例如，把非线性微分方程用于研究非线性波方程和非线性光学方程，以及非线性薛定谔方程和非线性薛定谔场方程等等。
这些数值方法的应用可以有效地模拟和研究各种物理现象。
例如，研究自然灾害引起的气候变化、稳定器的效应、研究界面液晶显示器，以及研究光学调制中涉及的非线性现象等等。
一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解
第１７卷㊀第１期２０１９年３月南京工程学院学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ)Ｖｏｌ.１７ꎬＮｏ.１Ｍａｒ.ꎬ２０１９㊀㊀ｄｏｉ:１０.１３９６０/ｊ.ｉｓｓｎ.１６７２－２５５８.２０１９.０１.０１５投稿网址:ｈｔｔｐ://ｘｂ.ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解洪宝剑１ꎬ陈㊀威２ꎬ陈㊀阳２ꎬ刘昊霖２ꎬ廖凯鑫２ꎬ张书青２(１.南京工程学院数理部ꎬ江苏南京２１１１６７ꎻ㊀２.南京工程学院电力工程学院ꎬ江苏南京２１１１６７)摘㊀要:利用光孤子传输信息的光纤通信系统在远距离和大容量传输方面具有极大的优势.非线性薛定谔方程被认为是描述光孤子传播的最佳模型ꎬ但标准薛定谔方程(ＮＬＳ)是光纤无损耗特殊情况下得到的ꎬ故在描述光孤子的特性时ꎬ考虑高阶非线性和高阶色散ꎬ得出的结果往往比低阶的非线性方程更准确㊁有效.利用行波约化方法ꎬ研究一个带有高阶色散项的广义ＮＬＳ方程ꎬ结合(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程法ꎬ借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件ꎬ求得该方程的几组新解ꎬ包括扭结及反扭结波解㊁奇异波解及三角函数周期波解等.关键词:高阶非线性薛定谔方程ꎻ光纤通讯ꎻ行波约化ꎻ(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法ꎻ孤立波中图分类号:Ｏ１７５.２５收稿日期:２０１８－０９－２１ꎻ修回日期:２０１８－０９－２８基金项目:江苏省高等学校自然科学研究项目资助(１８ＫＪＢ１１００１３)ꎻ江苏省大学生实践创新训练计划指导项目(２０１８１１２７６０６０Ｘ)ꎻ南京工程学院科研基金资助项目(ＺＫ２０１５１３).作者简介:洪宝剑ꎬ博士ꎬ副教授ꎬ研究方向为非线性科学.Ｅ￣ｍａｉｌ:ｈｂｊ＠ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ引文格式:洪宝剑ꎬ陈威ꎬ陈阳ꎬ等.一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解[Ｊ].南京工程学院学报(自然科学版)ꎬ２０１９ꎬ１７(１):８０－８４.１㊀研究现状非线性薛定谔方程是一类重要的非线性演化方程ꎬ并且被推广到变系数㊁复系数㊁高维㊁高阶㊁非局域和分数阶等包含各类物理效应的ＮＬＳ方程[１－３]ꎬ故研究薛定谔方程的解具有重要的物理意义.本文讨论光孤子领域的一个含有三阶色散㊁四阶色散㊁三次非线性和五次非线性项的高阶薛定谔方程[４－５]:㊀ｉｑｔ＋１２ｑｘｘ＋｜ｑ｜２ｑ＋ｉα(ｑｘｘｘ＋６ｑｘ｜ｑ｜２)＋㊀㊀γ(ｑｘｘｘｘ＋６ｑ２ｘｑ∗＋４ｑ｜ｑｘ｜２＋８ｑｘｘ｜ｑ｜２＋㊀㊀２ｑ∗ｘｘｑ２＋６ｑ｜ｑ｜４)＝０(１)式中:γ为任意常数ꎻｑ为缓变的电场包络.文献[４]通过广义的达布变换获得该方程的怪波解ꎻ文献[５]运用双线性和达布变换方法获得了该方程的孤子解和呼吸子解ꎬ并讨论了解的性质ꎬ当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的ＮＬＳ方程ꎻ当αʂ０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为著名的Ｈｉｒｏｔａ方程[６－７]ꎻ当γʂ０ꎬα＝０ꎬ方程(１)退化为Ｌａｋｓｈｍａｎａｎ￣Ｐｏｒｓｅｚｉａｎ￣Ｄａｎｉｅｌ(ＬＰＤ)方程[８－９].因而研究方程(１)具有重要的意义.目前ꎬ求解孤子方程有试探函数法㊁ｊａｃｏｂｉ椭圆函数法㊁ｔａｎｈ￣ｃｏｔｈ展开法㊁分步傅里叶法㊁Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换法㊁达布变换法㊁形变映射法㊁对称约化法等[１０－１２].利用这些方法ꎬ国内外学者成功求解出不同类型的偏微分方程.这些解有数值解也有精确解ꎬ在不同领域不同的解具有不同的价值.本文通过近期被国内外学者广泛运用的(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法[１３]成功求解方程(１)ꎬ得到几组新的行波解ꎬ这些新解对于研究非线性数学物理方程具有重要的意义.２㊀(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法及方程求解２.１㊀高阶非线性薛定谔方程行波约化㊀㊀假设方程(１)的精确波解为:㊀ｑ(ｘꎬｔ)＝ｕ(ξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２)式中:Ｌ㊁ｍ㊁ｋ㊁ω为待定常数.将式(２)代入方程(１)ꎬ得到一个复的常微分第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解方程ꎬ将其分为实部和虚部方程ꎬ得到:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋１－６ｋ２α－１２ｋ２γ()ｕ３＋㊀㊀６γｕ５＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)ｕᵡ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２ｕᵡ＋Ｌ４γｕ(４)＝０(３)㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕᶄ＋(６Ｌα＋２４ｋＬγ)ｕ２ｕᶄ＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕ(３)＝０(４)将式(４)积分得到:㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ＋(２Ｌα＋８ｋＬγ)ｕ３＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕᵡ＝Ａ(５)式中ꎬＡ为积分常数.当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的薛定谔方程ꎬ但从文献[１４]中可以推断ꎬ在方程(１)系数条件下利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法没有实数解ꎬ故当α㊁γ不同为０时ꎬ可将式(３)和式(５)合并ꎬ有:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋(１－６ｋ２α－１２ｋ２γ)ｕ３＋６γｕ５＋㊀㊀(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋Ｌ４γｕ(４)＝０(６)２.２㊀应用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法求解约化后的非线性常微分方程㊀㊀由(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法的思想[１５－１６]ꎬ假设式(６)的解为:㊀ｕ(ξ)＝ðｎｉ＝０ａｉＧᶄＧ(７)式中ꎬｎ为平衡常数.根据齐次平衡原则[１７]ꎬ通过平衡方程(６)最高导数阶数ｕ(４)和最高非线性项ｕ５得到ｎ＝１ꎬ从而可设方程(７)的一般形式为:㊀ｕ(ξ)＝ａ０＋ａ１ＧᶄＧ(８)式中ꎬａ０㊁ａ１为待定系数.并且Ｇ＝Ｇ(ξ)满足方程二阶线性常微分方程:㊀Ｇᵡ(ξ)＋λＧᶄ(ξ)＋μＧ(ξ)＝０(９)当λ２－４μ>０ꎬ可以得到方程(９)的双曲函数解:㊀Ｇ＝[Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)]ｅ－λ２ξ(１０)㊀ＧᶄＧ＝λ２－４μ２Ａ１ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)æèççöø÷÷－λ２(１１)当λ２－４μ<０ꎬ可以得到方程(９)的三角函数周期解:㊀Ｇ＝[Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)]ｅ－λ２ξ(１２)㊀ＧᶄＧ＝４μ－λ２２－Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)æèççöø÷÷－λ２(１３)㊀㊀当λ２－４μ＝０ꎬ可以得到方程(９)的有理解:㊀Ｇ＝(Ａ１ξ＋Ａ２)ｅ－λ２ξ(１４)㊀ＧᶄＧ＝Ａ５Ａ５ξ＋Ａ６－λ２(１５)式中ꎬＡ１㊁Ａ２㊁ ㊁Ａ６为任意常数.将式(９)和式(８)代入方程(６)中得到关于ＧᶄＧ各次幂的多项式ꎬ将各项系数待定为０后ꎬ得到超定非线性代数方程组:㊀－３ａ３１ｋＬα２＋３ａ３１ｋ２Ｌα２＋５ａ３１ｋＬγ＋５ａ３１ｍγ＋７０ａ２０ａ３１Ｌαγ－２７ａ３１ｋ２Ｌαγ＋１２ａ３１ｋ３Ｌαγ＋２８０ａ２０ａ３１ｋＬγ２－㊀㊀２０ａ３１ｋ３Ｌγ２－１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ－４０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λ－５ａ３１Ｌ３αγλ２－２５ａ１Ｌ５αγλ２－２０ａ３１ｋＬ３γ２λ２－㊀㊀１００ａ１ｋＬ５γ２λ２－１０ａ３１Ｌ３αγμ－２０ａ１Ｌ５αγμ－４０ａ３１ｋＬ３γ２μ－８０ａ１ｋＬ５γ２μ＝０㊀Ａ－ａ０ｋＬ－ａ０ｍ－６Ａｋα＋８ａ０ｋ２Ｌα＋６ａ０ｋｍα－２ａ０Ｌωα＋１２ａ３０ｋＬα２－１２ａ３０ｋ２Ｌα２－１６ａ０ｋ３Ｌα２＋２０Ａａ２０γ－㊀㊀１２Ａｋ２γ－２０ａ３０ｋＬγ＋１２ａ０ｋ３Ｌγ－２０ａ３０ｍγ＋１２ａ０ｋ２ｍγ－８ａ０ｋωＬγ－２８ａ５０Ｌαγ＋１０８ａ３０ｋ２Ｌαγ－４８ａ３０ｋ３Ｌαγ－㊀㊀５０ａ０ｋ４Ｌαγ－１１２ａ５０ｋＬγ２＋８０ａ３０ｋ３Ｌγ２－４０ａ０ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αγλ３μ＋８ａ１ｋＬ５λ３γ２μ＋２０ａ０ａ２１αＬ３γμ２＋１８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月㊀㊀８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ２＋１６ａ１Ｌ５αγλμ２＋６４ａ１ｋＬ５γ２λμ２＝０㊀１８ａ０ａ２１ｋＬα２－１８ａ０ａ２１ｋ２Ｌα２＋１０Ａａ２１γ－３０ａ０ａ２１ｋＬγ－３０ａ０ａ２１ｍγ－１４０ａ３０ａ２１Ｌαγ＋１６２ａ０ａ２１ｋ２Ｌαγ－㊀㊀７２ａ０ａ２１ｋ３Ｌαγ－５６０ａ３０ａ２１ｋＬγ２＋１２０ａ０ａ２１ｋ３Ｌγ２＋１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ２＋４０ａ１ａ２１ｋＬ３γ２λ２＋１５ａ１Ｌ５αλ３γ＋㊀㊀６０ａ１ｋＬ５γ２λ３＋２０ａ０ａ２１Ｌ３αγμ＋８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγλμ＋６０ａ１Ｌ５αγλμ＋８０ａ３１ｋＬ３γ２λμ＋㊀㊀２４０ａ１ｋγ２Ｌ５λμ＝０㊀－ａ１ｋＬ－ａ１ｍ＋８ａ１ｋ２Ｌα＋６ａ１ｋｍα－２ａ１Ｌωα＋３６ａ２０ａ１ｋＬα２－３６ａ２０ａ１ｋ２Ｌα２－１６ａ１ｋ３Ｌα２＋４０Ａａ０ａ１γ－㊀㊀６０ａ２０ａ１ｋＬγ＋１２ａ１ｋ３Ｌγ－６０ａ２０ａ１ｍγ＋１２ａ１ｋ２ｍγ－８ａ１ｋＬωγ－１４０ａ４０ａ１Ｌαγ＋３２４ａ２０ａ１Ｌｋ２αγ－㊀㊀１４４ａ２０ａ１ｋ３Ｌαγ－５０ａ１ｋ４Ｌαγ－５６０ａ４０ａ１ｋＬγ２＋２４０ａ２０ａ１ｋ３Ｌγ２－４０ａ１ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αλ４γ＋８ａ１ｋＬ５γ２λ４＋㊀㊀４０ａ０ａ２１Ｌ３αγλμ＋１６０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λμ＋４４ａ１Ｌ５αγλ２μ＋１７６ａ１ｋＬ５γ２λ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγμ２＋３２ａ１Ｌ５αγμ２＋㊀㊀８０ａ３１ｋＬ３γ２μ２＋１２８ａ１ｋＬ５γ２μ２＝０㊀７ａ０ａ４１γ－ａ０ａ２１Ｌ２γ－２ａ３１Ｌ２γλ－６ａ１Ｌ４γλ＝０㊀７ａ５１γ－５ａ３１Ｌ２γ－１２ａ１Ｌ４γ＝０(１６)２.３㊀利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求解用数学Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求得非线性代数方程组(１６)的解(已略去平凡解)ꎬ有:解组一㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃ２３７Ｌꎬλ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２ꎬＡ＝０(１７)解组二㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃｉＬꎬλ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２(１８)解组三㊀ａ１＝ʃ２３７Ｌꎬμ＝０ꎬλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎬα＝０ꎬ㊀Ａ＝０ꎬｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎬ㊀ω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ)(１９)解组四㊀ａ１＝ʃｉＬꎬλ＝∓２ｉａ０Ｌꎬμ＝０ꎬα＝０ꎬＡ＝０ꎬ㊀ｍ＝－ｋＬ－８ａ２０ｋＬγ＋４ｋ３Ｌγꎬ㊀ω＝１２(２ａ２０－ｋ２＋１２ａ４０γ－２４ａ２０ｋ２γ＋２ｋ４γ)(２０)解组五㊀ａ０＝０ꎬλ＝０ꎬγ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝１ꎬ㊀ω＝－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２２Ｌα(２１)将不同的解组代入方程(８)ꎬ结合方程(７)的解ꎬ可以得到方程(１)的精确行波解.本文不考虑没有物理意义的虚数解.类型１㊀将解组一代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的孤立波解㊀ｑ１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２２)式中:ｋ＝－α４γꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２.２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２３)式中:ｋ＝－α(４γ)ꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)(８γ２)ꎻＡ１㊁Ａ２㊁Ａ３㊁Ａ４为任意常数ꎬ当取不同的数时ꎬ可以得到方程(１)的不同情形的行波解.当Ａ２＝０时ꎬｑ１(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的(反)扭结波解:㊀ｑ１.１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｔａｎｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２４)２８第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解当Ａ１＝０时ꎬｑ２(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的奇异之波解:㊀ｑ１.２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｃｏｔｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２５)类型２㊀将解组三代入ꎬ便可得方程(１)的孤立波解:㊀ｑ３(ｘꎬｔ)＝ａ０ʃ２３７Ｌ－λＡ７ｅ－λξＡ８＋Ａ７ｅ－λξæèçöø÷ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２６)式中:Ａ７㊁Ａ８为任意常数ꎻλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎻｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎻω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ).类型３㊀将解组五代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的双曲函数解:㊀ｑ４(ｘꎬｔ)＝ａ１ˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２７)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ５(ｘꎬｔ)＝ａ１－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２８)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).ｑ１(ｘꎬｔ)~ｑ５(ｘꎬｔ)在文献中尚未出现ꎬ是方程(１)的新解.３㊀结语本文利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程(９)研究了一类广义的高阶非线性薛定谔方程ꎬ得到了该方程的双曲函数解㊁三角函数周期解㊁奇异波解和孤子解ꎬ这些解对于解释某些非线性现象具有一定的帮助.参考文献:[１]㊀ＷＡＴＡＮＡＢＥＭ.Ｔｉｍｅ￣ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｎｏｎ￣ｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ２０１８ꎬ４５９:９３２－９４４.[２]㊀ＢＥＺＥＲＲＡＦＤＭꎬＣＡＲＶＡＬＨＯＡＮꎬＤＬＯＴＫＯＴꎬｅｔａｌ.ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎꎻｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｗｉｔｈｃｌａｓｓｉｃａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏꎬ２０１８ꎬ４５７(１):３３６－３６０.[３]㊀ＪＵＳＴＩＮＭꎬＨＵＢＥＲＴＭＢꎬＢＥＴＣＨＥＷＥＧꎬｅｔａｌ.ＣｈｉｒｐｅｄｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｈａｏｓꎬＳｏｌｉｔｏｎｓ＆Ｆｒａｃｔａｌｓꎬ２０１８ꎬ１０７:４９－５４.[４]㊀柳伟ꎬ邱德勤ꎬ贺劲松.Ｌｏｃａｌｉｚｅｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｒｏｇｕｅｗａｖｅｆｏｒａｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１５ꎬ６３(５):５２５－５３４.[５]㊀田艳姣.一个高阶非线性薛定谔方程的精确解研究[Ｄ].北京:华北电力大学ꎬ２０１７.[６]㊀ＨＩＲＯＴＡＲ.ＥｘａｃｔＮ￣ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｌｏｎｇｗａｖｅｓｉｎｓｈａｌｌｏｗ￣ｗａｔｅｒａｎｄｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｌａｔｔｉｃｅｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ１９７３ꎬ１４:８１０－８１３.[７]㊀ＡＮＫＩＥＷＩＣＺＡꎬＳＯＴＯ￣ＣＲＥＳＰＯＪＭꎬＡＫＨＭＥＤＩＥＶＮ.ＲｏｇｕｅｗａｖｅｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＨｉｒｏｔａｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＥꎬ２０１０ꎬ８１:０４６６０２.[８]㊀ＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭ.ＯｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｏｆｔｈｅｒａｄｉａｌｌｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｐｉｎｓｙｓｔｅｍ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ１９９１ꎬ３２:２９２３－２９２８.[９]㊀ＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭꎬＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＤＡＮＩＥＬＭ.ＥｆｆｅｃｔｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓｏｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｕｍｌｉｍｉｔｏｆｔｈｅＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｓｐｉｎｃｈａｉｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓＡꎬ１９８８ꎬ１３３:４８３－４８８.[１０]㊀ＢＩＳＷＡＳＡꎬＥＫＩＣＩＭꎬＴＲＩＫＩＨꎬｅｔａｌ.Ｒｅｓｏｎａｎｔｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｗｉｔｈａｎｔｉ￣ｃｕｂｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｂｙｅｘｔｅｎｄｅｄｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ[Ｊ].Ｏｐｔｉｋꎬ２０１８ꎬ１５６:７８４－７９０.[１１]㊀ＨＯＮＧＢＪꎬＬＵＤＣ.Ｍｏｄｉｆｉｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｉｍｅ￣ｓｐａｃｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＴｈｅＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＷｏｒｌｄＪｏｕｒｎａｌꎬ２０１４ꎬＡｒｔｉｃｌｅＩＤ:９６４６４３ꎬ６ｐａｇｅｓ.[１２]㊀洪宝剑ꎬ卢殿臣ꎬ田立新.变系数组合ｋｄｖ￣Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的Ａｕｔｏ￣Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换和类孤子解[Ｊ].江西师范大学学报(自然科学版)ꎬ２００６(１):４７－４９.[１３]㊀ＡＬ￣ＳＨＡＷＢＡＡＡꎬＧＥＰＲＥＥＬＫＡꎬＡＢＤＵＬＬＡＨＦＡꎬｅｔａｌ.ＡｂｕｎｄａｎｔｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｃｏｎｆｏｒｍａｂｌｅｔｉｍｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳａｗａｄａ￣Ｋｏｔｅｒａ￣Ｉｔｏｅｑｕａｔｉｏｎｕｓｉｎｇ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ３８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月[Ｊ].ＲｅｓｕｌｔｓｉｎＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１８ꎬ９:３３７－３４３.[１４]㊀员保云.非线性薛定谔方程精确解的研究[Ｄ].呼和浩特:内蒙古工业大学ꎬ２０１４.[１５]㊀ＷＡＮＧＭＬꎬＺＨＡＮＧＪＬꎬＬＩＸＺ.ＴｈｅＧᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ[Ｊ].ＰｈｙｓＬｅｔｔＡꎬ２００８ꎬ３７２(４):４１７－４２３.[１６]㊀ＮＡＨＥＲＨ.Ｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒＺＫＢＢＭｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＥｇｙｐｔｉａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙꎬ２０１５ꎬ２３(１):４２－４８.[１７]㊀王明亮ꎬ李志斌ꎬ周宇斌.齐次平衡原则及其应用[Ｊ].兰州大学学报(自然科学版)ꎬ１９９９ꎬ３５(３):８－１６.ＡｎａｌｙｔｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆａＣｌａｓｓｏｆＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＨｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒＥｑｕａｔｉｏｎＨＯＮＧＢａｏ￣ｊｉａｎ１ＣＨＥＮＷｅｉ２ＣＨＥＮＹａｎｇ２ＬＩＵＨａｏ￣ｌｉｎ２ＬＩＡＯＫａｉ￣ｘｉｎ２ＺＨＡＮＧＳｈｕ￣ｑｉｎｇ２１.ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄＰｈｙｓｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ ＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ２.ＦａｃｕｌｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＡｂｓｔｒａｃｔ Ｏｐｔｉｃａｌｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓｂｙｕｓｉｎｇｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓｔｏｔｒａｎｓｍｉｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｈａｖｅｇｒｅａｔａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｎｅｗｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｌｏｎｇ￣ｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｌａｒｇｅ￣ｃａｐａｃｉｔｙｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ.Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｓｔｕｄｉｅｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｃａｎｐｒｏｖｉｄｅｐｏｓｉｔｉｖｅｈｅｌｐｆｏｒｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｔｏｂｅｔｈｅｍｏｓｔｆａｖｏｒａｂｌｅｍｏｄｅｌｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓ.Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎＮＬＳ ｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｓｐｅｃｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｌｏｓｓｌｅｓｓｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒ.Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｈｅｎｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓ ｔｈｅｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎａｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｆｔｅｎｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｈａｎｔｈｅｌｏｗｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ.Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ ｗｅｕｓｅｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｓｔｕｄｙａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎｔｅｒｍｓ.ＣｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅＧᶄ/Ｇｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ｓｅｖｅｒａｌｎｅｗｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｋｉｎｋａｎｄａｎｔｉ￣ｋｉｎｋｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｓｏｆｔｗａｒｅ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｈｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ Ｇᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ４８。
数值法解薛定谔方程
数值法解薛定谔方程数值法解薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子的行为。
由于薛定谔方程的解析解很难求得，因此数值法成为了解决该方程的重要方法之一。
本文将介绍数值法解薛定谔方程的基本原理和常用方法。
一、薛定谔方程简介薛定谔方程是描述微观粒子的波函数随时间演化的方程，其一维形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，t是时间，m是粒子的质量，x是位置，V(x)是势能函数，ψ是波函数。
二、数值法解薛定谔方程的基本原理数值法解薛定谔方程的基本思想是将连续的时间和空间离散化，将波函数在离散的时间和空间点上进行计算。
通过迭代计算，逐步逼近真实的波函数。
三、常用的数值方法1. 有限差分法有限差分法是最常用的数值方法之一。
它将空间和时间分割成离散的网格点，利用差分近似替代导数，将薛定谔方程转化为差分方程。
通过迭代计算，可以得到波函数在各个时间和空间点上的近似解。
2. 能量算符法能量算符法是一种基于能量守恒原理的数值方法。
它将薛定谔方程中的动能项和势能项分别用能量算符表示，然后将波函数在能量算符的本征函数上展开，通过求解本征值问题得到波函数的近似解。
3. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值方法。
它通过随机抽样得到波函数的一组采样点，然后利用这些采样点计算波函数的平均值和方差，从而得到波函数的近似解。
四、数值法解薛定谔方程的应用数值法解薛定谔方程在量子力学的研究中有着广泛的应用。
例如，在材料科学中，可以利用数值法计算材料的电子结构和能带结构；在量子化学中，可以利用数值法计算分子的电子结构和化学反应动力学等。
总结：数值法解薛定谔方程是一种重要的数值计算方法，可以用于研究微观粒子的行为。
常用的数值方法包括有限差分法、能量算符法和蒙特卡洛方法等。
这些方法在材料科学和量子化学等领域有着广泛的应用。
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求解非线性薛定谔方程的一类数值解法张艳敏,刘明鼎(青岛理工大学琴岛学院,山东青岛266106)摘要:利用非标准有限差分方法构造了求解非线性薛定谔方程的两个非标准有限差分格式。
对于离散后的差分格式,把关于时间和空间的步长函数作为分母逼近导数项。
对于非线性项,通过非局部的离散方法计算了这两个非标准有限差分格式的局部截断误差。
数值实验结果验证了非标准有限差分格式的有效性。
关键词:非线性薛定谔方程;局部截断误差;数值解法中图分类号:O241.82文献标识码:A文章编号:2095-7726(2019)03-0008-03薛定谔方程是物理学中量子力学的一个重要方程,可以用于研究深水波浪理论。
柱(球)非线性薛定谔方程常用于描述单色波的一维自调适、光学的自陷现象、固体中的热脉冲传播和等离子体中的Langnui 波[1–5],因此对于此类方程的研究具有非常重要的意义。
薛定谔方程有线性和非线性两种,在本文中,我们研究的是非线性薛定谔方程。
非线性薛定谔方程解的解析表达式是很难得到的,因此求解此类方程最常用的就是数值解法。
求非线性薛定谔方程数值解的方法主要有差分方法、配置谱方法[6]、有限元方法[7]和平均离散梯度方法[8]等。
在本文中,我们利用非标准有限差分方法研究了非线性薛定谔方程的数值解,这种方法已在求解偏微分方程中得到了广泛的应用[9],其优点是对非线性项作非局部离散,对导数项作离散后用步长函数作分母,这样不仅能保持差分方程的数值解与原方程的解析解具有相同的正性,而且能保持较好的数值稳定性。
1非标准有限差分格式的构造现在我们利用文献[10-12]给出的方法构造非线性薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,要考虑的非线性薛定谔方程为(1)相应的初边值条件为其中:为虚数单位;、、和均为连续函数;和均为正数。
为了得到非线性薛定谔方程的差分格式,需要对式(1)进行离散。
首先,需要利用网格对区域进行分割,取空间步长时间步长其次,在网格点处,定义数值解其中,且下面将分别构造式(1)的两种非标准有限差分格式。
1.1第一种非标准有限差分格式的构造为了构造式(1)的第一种非标准有限差分格式,我们利用R.E.Mickens 提出的构造非标准有限差分格式的原理[10]和文献[13-14]中提到的方法,并利用给定的记号,对式(1)进行离散。
离散后的差分方程为其中,和为分母函数,且,且分母是通过步长函数逼近得到的。
从式(4)可以看出,和分别取代了和分母函数的选择依据了薛定谔方程解的性质[4]。
记对式(4)进行整理,可得第36卷第3期Vol.36No.3新乡学院学报Journal of Xinxiang University2019年3月Mar.2019收稿日期:2018-12-21基金项目:山东省高校科技计划项目(J17KB053);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A)作者简介:张艳敏(1981—),女,山东东营人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。
通信作者:刘明鼎(1982—),男,辽宁大连人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。
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与传统的有限差分方法相比,式(4)的分母函数、在时分别与、等价。
定理1[10]:当式(6)右端项的实部与虚部均为非负数时,差分格式(6)是条件稳定的。
由定理1可知,只要就可以得出式(6)条件稳定的结论。
1.2第一种非标准有限差分格式的局部截断误差下面利用Taylor 公式对式(6)展开,计算式(6)的局部截断误差。
定义差分符号则由式(6)展开得到的局部截断误差为其中,当时,局部截断误差。
1.3第二种非标准有限差分格式的构造现在构造式(1)的第二种非标准有限差分格式。
与第一种非标准有限差分格式(6)不同,在构造第二种非标准有限差分格式中,对非线性项进行了非局部离散,即在点处,利用来逼近,因而式(1)的差分方程变为式(7)中的分母函数和与式(4)中的相同。
对式(7)进行整理,可得式(8)即为式(1)的第二种非标准有限差分格式。
1.4第二种非标准有限差分格式的局部截断误差采用与上述相同的记号和方法,展开式(8)并计算,得到式(8)的局部截断误差其中,当时,局部截断误差。
1.5传统的标准有限差分格式式(1)传统的标准有限差分法为比较式(4)、式(7)和式(9),可以发现式(9)更简单,直接取时间和空间步长作为分母函数,对非线性项进行了局部离散,但这种格式的计算结果在数值精度和数值稳定性方面表现得比较差,后面的数值算例说明了这一点。
2数值算例例1:考虑非线性薛定谔方程相应的初边值条件为其中,例1的精确解为。
取时间步长为,空间步长为。
利用非标准有限差分格式(6)、格式(8)与传统标准有限差分格式(9)进行数值计算和比较,结果见表1。
从表1可以看出,非标准有限差分格式(6)和格式(8)的计算精度优于传统的标准有限差分格式,这说明对非线性项采用非局部的离散方式可以获得更精确的计算结果,原因是利用逼近,同时在分母中分别用步长函数、代替了、。
从表1还可以看1111i (2)n n n n n n m m m m m m u u R u u u u ++--=-++22i [()]n nm m R u g +。
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(,)exp(i )u x t x t =+0.010.11n n mm u u +2u 1D 2D h Δt 张艳敏,刘明鼎:求解非线性薛定谔方程的一类数值解法9··出,利用格式(6)和格式(8)得到的数值精度差别不大,这主要取决于方程解的性质。
3结束语我们构造了有别于传统的标准有限差分格式的两种非标准有限差分方法,利用非标准的有限差分格式对非线性薛定谔方程的进行了数值逼近,对非线性薛定谔方程的非线性项进行非局部离散,将步长函数作为导数项离散后的分母,求出了相应的数值解,并对数值解进行了比较。
与传统的标准有限差分格式相比,非标准有限差分格式能提高数值解的精度。