求解非线性薛定谔方程的一类数值解法

求解非线性薛定谔方程的一类数值解法

张艳敏,刘明鼎

(青岛理工大学琴岛学院,山东青岛266106)

摘要:利用非标准有限差分方法构造了求解非线性薛定谔方程的两个非标准有限差分格式。对于离散后的差分格式,把关于时间和空间的步长函数作为分母逼近导数项。对于非线性项,通过非局部的离散方法计算了这两个非标准有限差分格式的局部截断误差。数值实验结果验证了非标准有限差分格式的有效性。关键词:非线性薛定谔方程;局部截断误差;数值解法中图分类号:O241.82

文献标识码:A

文章编号:2095-7726(2019)03-0008-03

薛定谔方程是物理学中量子力学的一个重要方程,可以用于研究深水波浪理论。柱(球)非线性薛定谔方程常用于描述单色波的一维自调适、光学的自陷现象、固体中的热脉冲传播和等离子体中的Langnui 波[1–5],因此对于此类方程的研究具有非常重要的意义。

薛定谔方程有线性和非线性两种,在本文中,我们研究的是非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程解的解析表达式是很难得到的,因此求解此类方程最常用的就是数值解法。求非线性薛定谔方程数值解的方法主要有差分方法、配置谱方法[6]、有限元方法[7]和平均离散梯度方法[8]等。在本文中,我们利用非标准有限差分方法研究了非线性薛定谔方程的数值解,这种方法已在求解偏微分方程中得到了广泛的应用[9],其优点是对非线性项作非局部离散,对导数项作离散后用步长函数作分母,这样不仅能保持差分方程的数值解与原方程的解析解具有相同的正性,而且能保持较好的数值稳定性。

1非标准有限差分格式的构造

现在我们利用文献[10-12]给出的方法构造非线

性薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,要考虑的非线性薛定谔方程为

(1)相应的初边值条件为

其中:为虚数单位;、、和均为连续函数;和均为正数。

为了得到非线性薛定谔方程的差分格式,需要对式

(1)进行离散。首先,需要利用网格对区域进行分割,取空间步长时间步长其

次,在网格点处,定义数值解其中,且下面将分别构造式(1)的两种非标准有限差分格式。

1.1第一种非标准有限差分格式的构造

为了构造式(1)的第一种非标准有限差分格式,我们利用R.E.Mickens 提出的构造非标准有限差分格式的原理[10]和文献[13-14]中提到的方法,并利用给定的记号,对式(1)进行离散。离散后的差分方程为

其中,和为分母函数,且,且分母是通过步长函数逼近得到的。

从式(4)可以看出,和分别取代了和分母函数的选择依据了薛定谔方程解的性质[4]。

记对式(4)进行整理,可得第36卷第3期Vol.36No.3

新乡学院学报

Journal of Xinxiang University

2019年3月Mar.2019

收稿日期:2018-12-21

基金项目:山东省高校科技计划项目(J17KB053);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A)作者简介:张艳敏(1981—),女,山东东营人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。通信作者:刘明鼎(1982—),男,辽宁大连人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。

222

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对式(5)做进一步整理,可得

式(6)即为式(1)的第一种非标准有限差分格式。

与传统的有限差分方法相比,式(4)的分母函数

、在时分别与、等价。

定理1[10]

:当式(6)右端项的实部与虚部均为非负数时,差分格式(6)是条件稳定的。由定理1可知,只要就可以得出式

(6)条件稳定的结论。

1.2第一种非标准有限差分格式的局部截断误差

下面利用Taylor 公式对式(6)展开,计算式(6)的局部截断误差。

定义差分符号

则由式(6)展开得到的局部截断误差为

其中,当时,局部截断误差。

1.3第二种非标准有限差分格式的构造

现在构造式(1)的第二种非标准有限差分格式。与第一种非标准有限差分格式(6)不同,在构造第二种非标准有限差分格式中,对非线性项进行了非局部离

散,即在点处,利用来逼近,因而式(1)的差分方程变为

式(7)中的分母函数和与式(4)中的相同。对式(7)进行整理,可得

式(8)即为式(1)的第二种非标准有限差分格式。

1.4第二种非标准有限差分格式的局部截断误差

采用与上述相同的记号和方法,展开式(8)并计算,得到式(8)的局部截断误差

其中,当时,局部截断误差。

1.5传统的标准有限差分格式

式(1)传统的标准有限差分法为比较式(4)、式(7)和式(9),可以发现式(9)更简单,直接取时间和空间步长作为分母函数,对非线性项进行了局部离散,但这种格式的计算结果在数值精度和数值稳定性方面表现得比较差,后面的数值算例说明了这一点。

2数值算例

例1:考虑非线性薛定谔方程

相应的初边值条件为

其中,例1的精确解为。

取时间步长为,空间步长为。利用非标准有限差分格式(6)、格式(8)与传统标准有限差分格式(9)进行数值计算和比较,结果见表1。

从表1可以看出,非标准有限差分格式(6)和格式(8)的计算精度优于传统的标准有限差分格式,这说明对非线性项采用非局部的离散方式可以获得更精确的

计算结果,原因是利用逼近,同时在分母中分别用步长函数、代替了、。从表1还可以看

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