等比数列的通项公式

等比数列的通项公式

教学重难点： 1、等比数列的概念和性质

2、如何判断一个等比数列

3、构造辅助数列转化为等比数列

授课内容： 一、 知识点 1、 等比数列的概念

（1） 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻的一项之

比为常数，则这个数列为等比数列

（2） 数列{}n a 中，1

n n

a q a +=（常数），则称n a 为等比数列 注：等比数列中不能出现0

2、 通项公式

(1) 通项公式：11n n m n

m a a q a q --==

(2)

等比中项：a,G,b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，此时G=

ab 注意：①在a,b 同号时，a,b 的等比中项有两个；异号时，没有等比中

项

②在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项）都是它的前一项与后一项的等比中项

③ “a,G,b 成等比数列” ⇔ “2(,0)G ab a b =均不为”，可以用它来判断或证明三数成等比数列

（3） 通项公式的应用：

32324

123112-1

+++++n n n n a a a a a a a q a a a a a a a -+⋯⋯====⋯⋯==⋯⋯

例1、 已知等比数列{}n a 中，5a =7，8a =56，求数列{}n a 的通项公式n a

例2、在等比数列{}n a 中，已知36471

+=36+=18=2

n a a a a a ，，，求n

3、 性质

（1）若(,,,),n m p q m n p q m n p q N a a a a *+=+∈⨯=⨯则

（2）若等比数列{}n a 的公比为q,则11

q n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以为公比的等比数列

（3）一组等比数列{}n a 中，下标称等差数列的向成等比数列 （4）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 （5）从数列的分类来说：

{}110,10,01n a q a q a 〉〉〈〈〈当或时的数列的递增数列

{}110,010,1n a q a q a 〉〈〈〈〉当或时的数列的递减数列 当q=1时，数列{}n a 为常数数列 当q 〈0时，数列{}n a 为摆动数列

例、实数等比数列{}n a 中，37112712++=28=512n a a a a a a a ，，求

4、 方法和题型

1、 如何判断或证明一个数列为等比数列 （1）

定义法：即验证

+1

n n

a q a =（常数）是否成立，但应注意必须从第2项起所有项都满足此等式

（2）

递推法：即验证212n n n a a a ++=是否成立，但应注意这里

0()n a n N *≠≠

（3） 通项法：即验证11n n a a q -=是否成立，但注意这里00n a q ≠≠且 （4）

前n 项和法：{}n a 为等比数列

(001)n n s Aq A A q q ⇔=-≠≠≠且且

例、a,b,c 成等比数列，a+b ，b+c ，c+d 均不为0，求证：a+b ，b+c ，c+d 成等

比数列（3种）

2、 等比数列的设项法：一般设其通项

例：有四个数，期中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个

数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求此四个数。

3、 构造辅助数列

观察数列的递推公式，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题转化为熟悉问题

例、若数列{}n a ，满足关系112,32n n a a a +==+，求数列的通项公式

注：一般的，对递推公式为+1=(1)n n a pa q p +≠的递推公式{}n a ，都可通

过构造辅助数列1n q a p ⎧⎫

+⎨⎬-⎩⎭，从而转化为等比数列的问题

4、 等差数列与等比数列的比较：

等差数列 等比数列 定义 差 商 通项公式结构相似，性质类似 和

积

不同点 项没有限制

项必须非零

联系

（1）正项等比{}{}log n a n a a ⇒为等差 （2）{}{}

n a n a b ⇒等差等比

利用等差数列与等比数列之间的关系，可对他们进行相互转化，从而使问题得以解决。

例、已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，数列{}n b 满足n b =

[]1211

lg lg lg lg()n n a a a ka n

-++⋯++，问是否存在正数k ，使得{}n b 成等差数列？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

5、 等比数列的综合问题:

解等差数列与等比数列的问题时，关键是抓住他们的相关概念，公式性质进行分析、推理、变形。

例、已知()log ()log ()log 0m m m b c x c a y a b z -+-+-=

（1）若a ，b ，c 依次成等差数列且公差不为0，求证x,y,z 成等比数列 （2）若正数x,y,z 依次成等比数列，公比不为1，求证a ，b ，c 成等差数

列