一元二次方程增长率问题专题训练
用一元二次方程解决增长率问题含答案
用一元二次方程解决增长率问题含答案1.解决增长率问题的一元二次方程1.1 平均变化率问题安徽中考题目：一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元。
设两次降价的百分率都为x，则x满足(D)16(1+2x)=25.阳泉市平定县月考题目：共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆。
设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)1000(1+x)2=1000+440.巴中中考题目：巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售。
若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率。
解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5000(1-x)2=4050.解得x=10%。
广东中考题目：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。
求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1+10%)(1+x)2=633.6.解得x=20%。
1.2 市场经济问题泰安中考题目：某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。
每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。
要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)(3+x)(4-0.5x)=15.达州中考题目：新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每售出1件，价格就下降0.5元。
若该童装原价为10元/件，则在售完全部存货后，该童装的平均售价为(A) 9.5元/件。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，每件童装盈利40元。
一元二次方程增长率应用题
一元二次方程增长率应用题一、增长率问题的基本公式1. 若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则b = a(1 + x)^n。
2. 若初始量为a，平均降低率为x，降低n次后的量为b，则b=a(1 - x)^n。
二、例题解析（一）正向增长率问题例1：某工厂去年1月份的产值为100万元，由于受市场经济的影响，2、3月份的产值逐月下降，平均每月下降率为x。
（1）写出3月份产值y（万元）关于x的函数关系式；（2）如果3月份产值为81万元，求x的值。
解析：1. （1）1月份产值为100万元，2月份产值是在1月份产值基础上下降x，则2月份产值为100(1 - x)万元。
3月份产值是在2月份产值基础上又下降x，所以3月份产值y = 100(1 - x)(1 - x)=100(1 - x)^2。
2. （2）已知3月份产值为81万元，即y = 81，那么100(1 - x)^2=81。
- 首先将方程两边同时除以100得到(1 - x)^2=(81)/(100)。
- 然后开平方可得1 - x=±(9)/(10)。
- 当1 - x=(9)/(10)时，x = 1-(9)/(10)=(1)/(10)=0.1 = 10%；- 当1 - x=-(9)/(10)时，x = 1+(9)/(10)=1.9（增长率不能大于1，舍去）。
（二）连续两年增长率问题例2：某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。
该公司缴税的年平均增长率为多少？解析：设该公司缴税的年平均增长率为x。
1. 前年缴税40万元，去年缴税是在前年基础上增长x，则去年缴税40(1 + x)万元。
2. 今年缴税是在去年基础上又增长x，所以今年缴税40(1 + x)(1 + x)=40(1 + x)^2万元。
3. 已知今年缴税48.4万元，则40(1 + x)^2=48.4。
- 方程两边同时除以40得(1 + x)^2=1.21。
- 开平方得1 + x=±1.1。
一元二次方程实际问题1(增长率)
若平均增长(或降低)百分率为x, 增长(或降低)前的是基数量a, 增长(或降低)n次后的量是b, 则它们的数量关系可表示为
n
a (1 x) b
其中增长取+,降低取－
合作探究一
1.已知小明和小华今年二月份的实心球测试成绩分别是5米 和4米，四月份的实心球测试成绩分别为7.2米和4.84米。 问小明和小华谁的成绩的月平均增长率高？
解：设小明每个月成绩的平均增长率为x
5（1+x)2=7.2
解这个方程得：（1+x）2=1.44 1+x=±1.2 X1=0.2=20% x2=-2.2（不合题意，舍去） X= 20% ∴小明成绩的月平均增长率为20%
小华成绩的月平均增长率怎样计算呢？计算后比较
2.某电脑公司2008年的各项经营中，1月份 的营业额为2万元，如果平均每月营业额的 增长率相同设为x
A. 200(1+x)2=1000 B. 200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
D
4.青山村种的水稻2001年平均每 公顷产7200kg,2003年平均每公 顷产8450kg,求水稻每公顷产量的 年平均增长率.
3、某型号的手机连续两次降价,若两次 降价的百分率都为x,手机原来售价1285， 则： 第一次降价后，手机的售价为 ( ) 元； 第二次降价后手机的售价为 1285(1-x) ( ) 元（填含x的式子）
1285(1-x)2
4.两年前生产 1吨甲种药品的成本是3600元,
随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品 的成本是2500元，甲种药品成本的年平均下 降率是多少?
一元二次方程实际问题(增长率)
由于升价的百分率不可能是负数，所以x2=-2.1不合题意，舍去
答：每次升价的百分率为10%.
8.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储 蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利 息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储 蓄的年利率.（精确到0.1%） 9.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程 改革试验，重视学生能力培养 . 初一阶段就有 48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增 加，到三年级结束共有 183人次在市级以上得 奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
2 2 ( 1 x ) 2 ( 1 x ) 9 . 5 则可列方程为 .
2
3.某城区绿地面积不断增加，2011年底的绿地面积为60 公顷，为满足城市发展的需要，计划到2013年底使城区 绿地面积达到72.6公顷，试求2012年,2013年两年绿地 面积的年平均增长率。
解：设2012年,2013年两年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得 60 (1＋x)2＝72.6 ． (1＋x)2=1.21． ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, x2 =－2.1(不合题意,舍去) 答： 2012年,2013年两年绿地面积的年平均增长率为10%．
n
a (1 x ) b
其中增长取+,降低取－
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元, 探究 : 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品 的成本是3000元,甲种药品成本的年平均下 降率是多少? 如果：设甲种药品成本的平均下降率为x ，填 表
一年前 两年前 甲 成本（吨/ 成本（吨/元 ） 种 元） 药 （基数量） （第一次下 降） 品 现在 成本（吨/元 ） （第二次下 降）
2、注意： （1）1与x的位置不要调换，增长取“+”， 下降取“-” （2）解这类问题列出的方程一般 用直接开平方法，注意验根，看是否 符合实际意义。
九年级一元二次方程应用题专题训练之增长率问题(正负增长率,在校生人数变化,绿化中的负增长率)
应用题专题训练之增长率问题【例】1．如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金a元和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。
【例】2．2009年中考题目22．数量关系：（上月的价格一本月的价格）÷上月的价格＝本月下降的百分数（本月的价格一上月的价格）÷上月的价格＝本月增长的百分数上月的价格一上月的价格×本月价格下降的百分数＝本月的价格22.【实际背景】设0000W 月的５克肉价格月的５克玉米价格 当猪当．如果当月W<6，则下个月．．．要采取措施防止“猪贱伤农”．今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表【问题解决】(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．（10分）【例】3．“00后”，是指2000年1月1日00时至2009年12月31日24时出生的最新一代中国公民，有时泛指2000年以后出生的所有可爱的中国公民点军一中2012年度初开始招收第一批“00后”学生报名七年级，同时八年级报名人数650人，占全校报名人数的32.5%人,八年级报名人数比九年级报名人数少100人。
（１）求2012年第一批“00后”新生报名人数。
（２）如果2012年、2013年、2014年每年度初的新生报名人数不变，在2013年初八年级学生（“00后”的学生）、九年级学生（“90后”学生）的报名人数比他们在2012年初的所在年级的报名人数增长了一个相同的百分数x；预计在201４年初八年级学生（第二批“00后”的学生）、九年级学生（第一批“00后”学生）的报名人数比他们在2013年初的所在年级的报名人数都增长了一个相同的百分数2x，从而使全校报名总人数比2012年度初相比较同比增长5.6%（同比增长率，一般是指和2012年同期相比较的增长率）。
列一元二次方程解有关增长率问题专题训练
＿
一
为—
—Hale Waihona Puke ． １‘ ．
２ ． 一 商 店把 货物 按标 价 的九 折 出售 ，仍 可 获
４ 。 某人将 ２ ０ （ ０元人 民币按・年定期存人银
利２ ０ ％． 若该货物的进价为 ２ １ 元， 则每件
的标 价为 （
Ａ． ２ ７ ． ７ ２元
行， 到期 后 吏取 １ ０ ０ ０ 元用于购物， 剩 的
油 １ ３ ２ ｋ ｇ ，其 中花 生 出油 率 的增 长率 是 亩
１
（ ４ ） （ ＋ １ ） ２ ＝ ２ （ ２ ｘ ＋ １ ） ．
产 量 的 增 长 率 的 ÷， 则 新品 种
二
量
的增 长率 为 （
Ａ． ２ ０ ％
，
） ．
、
ｃ ． ｉ ５ ０ 绶 ｛ ｌ ２ ９ ％
（ １ ） （ 一 ６ ） ＝ ２ （ 一 ８ ） ；
２ ． 某超市１ 月份的营业额为２ ０ ０ 万元 ！ ： § 第一 季度的总营业额共 １ ０ ０ ０ 万元 Ⅱ 果平均每月
增长率为 ， 则 由题意列方程应为（
Ａ ． ２ ０ ０ （ １ 慨） 。 ＝ １ ０ ０ ０
天拆迁 了 ｌ ４ ４ ０ ｍ ２ ．
（ １ ） 求该 工 程 队第 一天 拆迁 的 面积 ．
（ ２ ） 若该 工 程 队第 二 天 、 第 三 天 每天 的拆 迁
面积 比前一 天 增 加 的百分 数 相 同 ． 求 这 个 百 分数 ． ．
９ ． 某 农 场 的 粮 食 产 量 在 两 年 内从 ６ ０ ０ ０万 斤
： Ｂ ． ３ ０ ％
惑 巩 固提高（ ３ ０分钟）
【精排版】【专题训练】 一元二次方程的应用-1-增长率问题【含答案】【含解析】
专题：一元二次方程的应用一、 增长率问题1. 我市某楼盘准备以每平方10000元的均价对外销售由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%2. 某服装原价为300元，连续两次涨价%a 后，售价为363元，则a 的值为( )A ．5B ．10C ．15D ．203. 与去年同期相比我国石油进口量增长了%a ，而单价增长了%2a ，总费用增长了15.5%，则(a ) A ．5B ．10C ．15D ．20 4. 一件产品原来每件的成本是1000元，在市场售价不变的情况下，由于连续两次降低成本，现在利润每件增加了190元，则平均每次降低成本的( )A ．10%B ．9.5%C ．9%D ．8.5%5. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则两次降价的平均百分率为( )A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%一元二次方程的应用——答案一、 增长率问题1. 我市某楼盘准备以每平方10000元的均价对外销售由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【分析】设平均每次下调的百分率是x ，根据该楼盘的原均价及经过两次调价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设平均每次下调的百分率是x ，依题意，得：210000(1)8100x -=，解得：10.110%x ==，2 1.9x =（舍去）．故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2. 某服装原价为300元，连续两次涨价%a 后，售价为363元，则a 的值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20【分析】根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：2300(1%)363a +=，解得：110a =，2210a =-（舍去）．故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3. 与去年同期相比我国石油进口量增长了%a ，而单价增长了%2a ，总费用增长了15.5%，则(a = ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【分析】设去年的石油进口量是“x ”、单价是y ，则今年我国石油进口量是(1%)a x +，单价是(1%)2a y +．根据“总费用增长了15.5%”列出方程并解答．【解答】解：设去年的石油进口量是“x ”、单价是y ，则今年我国石油进口量是(1%)a x +，单价是(1%)2a y +， 由题意，知(1%)(1%)(115.5%)2a a x y xy ++=+ 解得10a =（舍去负值）故选：B ．【点评】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．4. 一件产品原来每件的成本是1000元，在市场售价不变的情况下，由于连续两次降低成本，现在利润每件增加了190元，则平均每次降低成本的( )A ．10%B ．9.5%C ．9%D ．8.5%【分析】设平均每次降低成本的x ，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设平均每次降低成本的x ，根据题意得：210001000(1)190x --=，解得：10.110%x ==，2 1.9x =（舍去），则平均每次降低成本的10%，故选：A ．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．5. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则两次降价的平均百分率为( )A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格(1⨯-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得，2125(1)80x -=，解得10.220%x ==，2 1.8x =-（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率是20%．故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格(1⨯-每次降价的百分率）2=现在价格．。
增长率问题一元二次方程例题
增长率问题一元二次方程例题大家好！今天我们来聊聊增长率问题，这个话题可能听上去有点严肃，但别担心，我们会用简单的例子和直白的语言，把它讲得清清楚楚。
还记得数学课上那些让人头疼的方程吗？没错，今天我们就要用一元二次方程来解决实际问题，一起来看看怎么搞定这些数学难题吧！1. 增长率的概念1.1 增长率是什么？首先，我们得搞清楚“增长率”到底是什么。
简单来说，增长率就是一个量在一段时间内增加的速度。
比如说，你的口袋里有100块钱，你在一个月内又挣了20块钱，那么这20块钱就是你在这个月里的“增长”，增长率就是20块钱占原来100块钱的比例。
听起来是不是还蛮简单的？1.2 怎么计算增长率？增长率的计算公式是：[ text{增长率} = frac{text{新增量}}{text{原有量}} times 100% ]。
比如，你的存款从1000块钱增加到1200块钱，那么增长率就是：[ frac{1200 1000}{1000} times 100% = 20% ] 。
所以，你的存款增长了20%。
2. 一元二次方程介绍2.1 什么是一元二次方程？一元二次方程是指方程中含有一个未知数的二次方程。
比如说，方程 [ ax^2 + bx+ c = 0 ] 就是一个典型的一元二次方程，其中 ( x ) 是未知数，( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数。
乍一看，可能觉得这个方程有点复杂，不过别担心，我们会用实际问题来拆解它。
2.2 一元二次方程怎么解？解一元二次方程有几种方法，比如因式分解法、配方法和求根公式法。
其中，求根公式法最为常见。
它的公式是这样的：[ x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a} ] 听上去有点拗口，但实际上，代入数值后，我们就可以找到方程的解了。
3. 实际应用举例3.1 增长率问题与方程的结合好啦，现在我们来看看一个实际应用的例子，看看增长率问题如何和一元二次方程结合起来解决。
(完整版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2= n求解，其中m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 —x)2= n即可求解，其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a—21)(350 —10a) = 400，整理，得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理，得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程，得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8，整理，得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程，得X1 = — 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意，得x2= 10(x —3)+ x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局，共计n(n —1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n —1) = 1980，得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理，得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程，得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时，1000 — 20( x — 25) = 600 V 700，故舍去 x i ；当 X 2= 30 时，1000 — 20(x — 25) = 900 >700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人，每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程，得x = 2 ，即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32，所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变; 积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在△ ABC 中，/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ，点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设 x s 后，可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意，得(6 — x ) 2x = 8.整理，得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程，得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意，得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理，得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>，所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理，列方程72+(6+ x)2= 102，整理，得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程，得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2—16X+13 = 0.解这个方程，得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102，整理，得2x2—4x = 0,解这个方程，得X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点，所以DF =2 AB = 100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2，整理，得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程，得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意，舍去)•所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X12个小正方形格，将边长为n (n 为整数，且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2 ）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S i，未被盖住的面积为S2.①当n = 2时，求S i : S2的值;解（1 ）依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2，则有—n2+25 n —12 =? X122，即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程，得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时，20 — x = 4，当 x = 4时，20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12，整理，得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方，得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根，若 b 2— 4ac v 0，方程没有实数根，本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上，点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积； (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得，FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14，解这个方程，得x i = 7, X2 = 5 (不合题意，舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在•假设存在，显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)：(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5时，并不属于7 < X W 10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:（1 ）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数（2 ）在边长为n （n > 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明 理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n （偶数）•（2 ）由（1 ）可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意，得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 （不合题意，舍去）.所以存在偶数n = 12，使得P 2 =5P 1.n （奇数）n （偶数）P i ，白色小正方形的说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
一元二次方程应用题-增长率
实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
开启 智慧
某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同 。已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月 份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为 多少?
解 :设该厂今年产量的月平均增长率为x,根据题意,得
5(1 x)2 51 x 1.2.
小结
(1)增长率问题： 平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为
平均增长率，n为增长次数，b为增长后的 量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x 为平均降低率，n为降低次数，b为降低后 的量.)
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• 1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额 下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使 销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求 这两个月的平均增长率.
开启 智慧
2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低 19%，那么平均每年需降低百分之几?
解 :设每年平均需降低的百分数为x,根据题意,得
(1 x)2 1 19%.
解这个方程 : (1 x)2 0.81, (1 x) 0.9, x 1 0.9,
x1 1 0.9 10%; x2 1 0.9(不 合 题 意, 舍 去). 答 : 每 年 平 均 需 降 低 的 百 分 数 为10% .
整理得 : 25x2 25x 6 0.
解得 :
x 25 1225 5 7 ,
50
10
x1
5 10
7
0.2
20%;
x2
5 10
7
1.2
0(不合题意, 舍去).
[数学]-专题04 增长率问题(一元二次方程的应用)(原版)
![[数学]-专题04 增长率问题(一元二次方程的应用)(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/9441375c0a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79c07.png)
2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题04 增长率问题（一元二次方程的应用）姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(每题2分，共20分) 1．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x ，那么x 应满足的方程是（ ）A ． 40%10%2x += B ．()()()2100140%110%1x +++= C ．()()()2140%110%1x +++=D ．()()()210040%10010%1001x +++= 2．(本题2分)（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A 型号的单车，二期又投放了B 型号的单车．已知B 型号的单车的单价比A 型号的单价提高的百分率是B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．132x +=B ．(1)(12)2x x ++=C ．(1)(12)3x x ++=D ．(1)(1)22x x ++= 3．(本题2分)（2021秋·上海·八年级期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ）A ．2200(1)1000x +=B ．200+200×2x ＝1000C ．200+200×3x ＝1000D ．22001(1)(1)1000x x ⎡⎤++++=⎣⎦4．(本题2分)（2022春·浙江温州·八年级统考期末）温州某镇居民人均可支配收入逐年增长，从2019年的5.2万元增长到2021年的6万元．设这两年该镇居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，根据题意可以列方程为（ ）A ．()5.2126x +=B ．()25.216x +=C ．()5.216x +=D ．()25.216x +=5．(本题2分)（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若把增长率设为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．（1+x ）2＝4B ．3（1+x ）2＝4C ．3（1+x ）3＝4D ．（1+x ）3＝4 6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2170%a x a -=B ．()2170%a x a += C ．()2130%a x a -= D ．()230%1x a a += 7．(本题2分)（2021春·八年级课时练习）某市2017年国内生产总值（GDP ）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x %，则x %满足的关系是A ．12%7%%x +=B ．()()()112%17%21%x ++=+C ．12%7%2%x +=D ．()()()2112%17%1%x ++=+ 8．(本题2分)（2020春·山东威海·八年级统考期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x ，则根据题意可列方程为（ ）A ．2.3 （1+x ）2=1.2B ．1.2（1+x ）2=2.3C ．1.2（1﹣x ）2=2.3D ．1.2+1.2（1+x ）+1.2（1+x ）2=2.39．(本题2分)（2021春·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x ，则可列方程为（ ）A ．225(1)16x -=B ．225(1)16x +=C ．216(1)25x -=D ．216(1)25x +=10．(本题2分)（2021春·广西南宁·八年级校考期中）由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月生产量的增长率为50%，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为x 万个，则可列方程（ ）A ．2(150%)2375x +=B ．2(150%)2375x x ++=C ．2(150%)(150%)2375x x x ++++=D ．2(150%)(150%)2375x x +++=二、填空题(每题2分，共18分)11．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为16.2万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．12．(本题2分)（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）某件商品在9月份的价格为100元，经过两个月后的价格为121元，如果这件商品价格每月的增长率相同，则这个增长率为______．13．(本题2分)（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程____________．14．(本题2分)（2022春·辽宁大连·八年级统考期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某特许零售店冰墩墩毛绒玩具的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．求该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率．15．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在“绿色低碳，节能先行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城4月份销售自行车100辆，6月份销售了121辆．若该商城2022年4－6月的自行车销量的月平均增长率相同，则商城自行车销量的月平均增长率为________．16．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是______．17．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年x>），则x=_________（用百分数表的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（0示）．18．(本题2分)（2021春·上海松江·八年级校考期中）一辆汽车，新车购买价18万元，第一年的折旧率为20%，以后每年的年折旧率为x，如果该车在购买后第三年末的折旧价值为12.25万元，求年折旧率x 的值．那么可以列出关于x的方程式为___．（只列方程，不求解）19．(本题2分)（2022春·安徽滁州·八年级校联考期末）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 _____．三、解答题(共62分)20．(本题6分)（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）21．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.(1)求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少?(2)按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少?22．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？23．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票24．(本题6分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（成本为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个．现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来8月份平均销售量的基础上，经过市场调查，10月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每下降1元，月销售量将增加10个．(1)求8月份到10月份销售额的月平均增长率．(2)求10月份该玩具的销售量．25．(本题6分)（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？26．(本题6分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．27．(本题6分)（2021春·四川成都·八年级统考期末）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题．（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．28．(本题6分)（2019秋·八年级课时练习）某人将10000元存入银行，一年后取出5000元，再将余下的本利和再存入银行，但此时银行的年利率已下降3个百分点，且到期后还要缴20%的利息税·第二年到期他取出全部存款共5588元，求银行原来的年利率．29．(本题8分)（2017春·八年级单元测试）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．。
一元二次方程的应用(增长率问题经典版)
你能快速写出吗?
(1 x)n
探究
有一人患了流感,经过两轮 传染后共有121人患了流感,每轮传
染中平均一个人传染了几个人?
思考:如果按照这样的传染速度,三轮传染后有 多少人患流感?n轮后呢?
(1 x)n
你能快速 写出吗?
2003年我国政府工作报告指出:为解 决农民负担过重问题,在近两年的税 费政策改革中,我国政府采取了一系 列政策措施,2001年中央财政用于支 持这项改革试点的资金约为180亿元, 预计到2003年将到达304.2亿元,求 2001年到2003年中央财政每年投入 支持这项改革资金的平均增长率?
价10﹪,降价后每台售价为1000
元,问该厂的电视机每台原价应为
()
B A 0.92×1000元
B 1000元
0.92
C 1000元 1.12
D 1.12×1000元
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几? 3.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每 年需降低百分之几?
D (1+x)+2(1+x)2=4
小结
平均增长（降低）率公式
a(1x)2 b
二． 注意： 1. 1与x的位置不要调换 2. 解这类问题列出的方程一般 ① 用 直接开平方法
演讲完毕，感谢观看
A LITTLE BREEZE
再见
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是, 年平均下降额(元)不等同于年平均下降
率(百分数)
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成 为 5000(1-x)2 元,依题意得
21.3+实际问题与一元二次方程——增长率问题同步训练++2024—2025学年人教版数学九年级上册
人教版九年级上册数学21.3 实际问题与一元二次方程——增长率问题同步训练一、单选题1．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为（ ）A ．()()260160152x x -+-=B ．()601252x -=C ．()260152x -=D ．()260152x -=2.某品牌服装原价为173元，连续两次降价x %后售价为127元，下面所列方程中正确的是 A ．173（1+x %）2＝127B ．173（1﹣2x %）2＝127C ．173（1﹣x %）2＝127D ．127（1+x %）2＝173 3.2021年9月份，全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，11月份新冠疫苗当月接种量达到2.3亿剂次，若设平均每月的增长率为x ，则下列方程中符合题意的是（ ）A ．1.4x 2 =2.3B ．1.4（1+x 2）=2.3C ．1.4（1+x ）2 =2.3D ．1.4（1+2x ）=2.34.小颖初一时体重是30kg ，到初三时体重增加到43.2kg ，则她的体重平均每年增加的百分率为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．22%5.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ）A ．2200(1)1000x +=B ．200+200×2x ＝100C ．200+2003x ＝1000D ．22001(1)(1)1000x x ⎡⎤++++=⎣⎦6．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x ，根据题意得方程为（ ）A ．50（1+x ）2＝175B ．50+50（1+x ）2＝175C ．50（1+x ）+50（1+x ）2＝175D ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2＝175二、填空题1．某商品原价80元，随着成本的提高，该商品经过两次提价后，现价格为120元，如果每次提价的百分率均为x ，那么可列出方程为 _____．2．某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则由题意可列方程_______．3．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由225元降至144元，则平均每次降价的百分率为______________．4.某注册平台三月份新注册用户为653万，五月份新注册用户为823万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为x，则列出的方程是_______．5.金滩商场4月份的利润是28万元，预计6月份的利润将达到40万元，设每月利润的平均增长率为x，则根据题意所列方程是__________________．6．汽车产业的发展有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增产率相同．若该公司的盈利年增产率继续保持不变，预计2012年盈利________万元？三、解答题1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率．2.某核酸自检试剂盒生产厂生产的核酸自检试剂盒1月份平均日产量为20000盒，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对核酸自检试剂盒需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到24200盒．(1)求核酸自检试剂盒日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？3.疫情期间居民为了减少外出，更愿意选择线上购物，某购物平台今年二月份注册用户50万人，四月份达到了72万人，假设二月份至四月份的月平均增长率为x．(1)求x的值．(2)若保持这个增长率不变，五月份注册用户能否达到85万人？为什么？4.某大型电子商场销售某种空调，每台进货价为2500元，标价为3200元．(1)若电子商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率；(2)市场调研表明：当每台售价为3000元时，平均每天能售出10台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到5400元，且顾客得到优惠，则每台空调的定价应为多少元？5.为进一步提高某届学生的阅读量，学校积极开展课外阅读活动，目标将该届学生人均阅读量从刚上七年级的80万字增加到八年级结束时的115.2万字．(1)求该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率；(2)若按这两年中每年的平均增长率增长，学校能否实现九年级结束时该届学生人均阅读量达到140万字的目标，请计算说明．6.某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%，请回答下列问题：时间/天x-销量/kg 1202x储藏和损耗费用/元2-+368409x x(1)该水果经过两次降价后的价格是______元/kg ；(2)从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg ，设销售该水果第x 天（110x ≤<）的利润为368元，求x 的值．。
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---增长率问题专题训练(word、含简单答案)
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---增长率问题专题训练一、单选题1．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A ．y ＝100（1﹣x ）2B ．y ＝100（1+x ）2C ．y ＝2100(1)x + D ．y ＝100+100（1+x ）+100（1+x ）2 2．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．2(1)y a x =-B ．2(1)y a x =-C ．22(1)y a x =-D ．2(1)y a x =- 3．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x 倍，两年后产品年产量y 与x 的函数关系是( )A ．y =20（1﹣x ）2B ．y =20+2xC ．y =20（1+x ）2D ．y =20+20x 2+20x 4．某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）A ．y ＝x 2+aB ．y ＝a(x －1)2C ．y ＝a(1－x)2D ．y ＝a(l+x)2 5．你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．（1+x ）2=1110B ．x+2x=1110C ．（1+x ）2=109D ．1+2x=109 6．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x ，该药品的原价为36元，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（ ） A ．72(1)y x =- B ．36(1)y x =- C ．236(1)y x =- D ．236(1)y x =- 7．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++ 8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）A ．y ＝x 2＋aB ．y ＝a （1＋x ）2C ．y ＝（1﹣x ）2＋aD ．y ＝a （1﹣x ）2二、填空题9．某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x ，那么三月份的印书量y （万册）与x 的函数解析式是______．10．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是______． 11．某工厂第一年的利润是40万元,第三年的利润是y 万元,则y 与平均年增长率x 之间的函数关系式是___________.12．某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y 万元，年平均增长率为 x ．则y 与x 的函数解析式______________．13．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系式应表示为________．14．随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为x ，则可列方程为___． 15．农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的关系表示为___________．16．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为(0)x x >，则该工厂第一季度的产值y 关于x 的函数解析式为_________．三、解答题17．某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%．（1）求第一次加价的增长率；（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个．如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？18．疫情防控期间，在线教学引发手机支架畅销．某网店手机支架1月销量为256台，2月、3月销量持续走高，3月销量达到400台（售价不变）．（1）求2月、3月这两个月销售量的月平均增长率；（2）手机支架进价为每台24元，售价为每台40元．调查发现：售价每降低1元，销售量增加50台．于是开展“红4月”促销活动．当售价降低多少元时，手机支架在4月的利润最大？最大利润是多少元？19．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？20．为积极应对人口老龄化，让老年人老有所依、老有所安。
一元二次方程应用题(2)增长率问题
探究二
某工厂一月份的生产零件1000个，以后
每月增长率为x，
二月份的产量是__1_0_0_0(_1_+_x_)__个。 三月份的产量是__1_0_0_0(_1_+_x_)_2__个。 四月份的产量是__1_0_0_0_(_1_+x_)_3__个。
解：设二、三月份平均每月的增长率为x，依题意得
50+50(1+x)+(1+x)2＝165.5
整理得：x2+3x-0.31=0
解之得： x1 =0.1=10% x2 =-3.1(不合题意,舍去)
答：二、三月份平均每月的增长率是10% .
活学活用
3. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在
该商品每件的价格比两个月前下降了36％，
问平均每月降价百分之几？
解：设平均每月降价的百分数为x,商品原价为a元， 则现价为a(1-36％)元，依题意得 a(1-x)2＝a(1-36％)
整理得：(1-x)2＝0.64 解之得： x1 =0.2=20%
x2 =1.8(不合题意,舍去) 答：平均每月降价10% .
小结
增长率问题:a(1±x)2=b 注意：(1)找准各个量
跟踪训练
某企业所得2011年底向银行贷款200万 元用于生产某种新产品，约定2013年 底到期时一次性还本付息，两年总利 息为本金的8％，由于产销对路，两年 到期时，该企业除还清贷款的本金和 利息外，还盈余72万元，若每年的资 金增长率相同，求这个百分率。
跟踪训练
2.某厂一月份的产值为10万元,二、三 月份的总产值为70万元,设平均每月 的增长率为x,可列出方程为( B ) A.10(1-x)2=70 B.10(1+x)+10(1+x)2=70 C.10+10(1+x)+10(1+x)2=70 D.10(1+x)2=70
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一元二次方程增长率问题专题训练命题人：潘五洲
一、选择题
1. 【题文】商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（）
A．0.64 B．0.8 C．8 D．6.4
2. 【题文】某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（）
A．B．
C．D．
3. 【题文】某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）
A．144（1x） 2 =100 B．100（1x） 2 =144
C．144（1+x） 2 =100 D．100（1+x） 2 =144
4. 【题文】一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A．B．
C．D．
5. 【题文】某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降. 原来每件产品的成本是1600元，两个月后，降至900元.如果产品成本的月平均降低率是x，那么根据题意所列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
6. 【题文】某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）
A．B．
C．D．
7. 【题文】某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则下列方程正确的是（）A．2500+2500（1+x）+2500（1+x） 2 =8000
B．2500x 2 =8000
C．2500（1+x） 2 =8000
D．2500（1+x）+2500（1+x） 2 =8000
8. 【题文】某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台．设二三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）
A．
B．
C．
D．
9. 【题文】某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降
价（）
A．B．C．D．
10. 【题文】一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x,则列方程为（）
A．688(1+x) 2 =1299
B．1299 (1+x) 2 =688
C．688(1-x) 2 =1299
D．1299 (1-x) 2 ="688"
11. 【题文】原价为元的某商品经过两次降价后，现售价元，如果每次降价的
百分比都为，则下列各式正确的是（）
A．B．C．D．
12. 【题文】某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂
八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足方程（）
A．
B．
C．
D．
13. 【题文】某市化肥厂第一季度生产化肥100万吨，以后每季度比上一季度增产
x(增长率)，前三季度共生产化肥360万吨，则下列方程正确的是（）
A．100（1+x）=360
B．100（1+x） 2 =360
C．100+100（1+x）+100（1+x） 2 =360
D．100+100（1+x） 2 =360
14. 【题文】一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A．B．
C．D．
15. 【题文】北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为，则根据题意，可得方程（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16.【题文】据调查，某市2012年的房价为元/ ，预计2014年将达到
元/ ，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为，根据题意，所列方
程为
17. 【题文】某商品经过两次降价，每次降价的百分率相同．销售价由原来的50元降到了40．5元，则第一次降价后的价格为元．
18. 【题文】某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程
得．
19. 【题文】某企业两年前创办时的资金为1000万元，现在已有资金1440万元．若设该企业这两年资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为；
20. 【题文】某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100 元．设人均年收入的平均增长率为，则可列方
程．
21. 【题文】某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是．22. 【题文】某工厂利润两年间由45万元增加到88.2万元，工厂年利润的平均增长率为____ ___．
23. 【题文】由于国家对房屋限购，其价格原价8400元/，通过两年降价后，售价变为7200元/，设平均每年降价率为a列方程为_ _____. 24. 【题文】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则满足的方程是（）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
25. 【题文】列方程（组）解应用题：
据媒体报道，2011年某市市民到郊区旅游总人数约500万人，2013年到郊区旅游总人数增长到约720万人．
（1）求这两年该市市民到郊区旅游总人数的年平均增长率．
（2）若该市到郊区旅游的总人数年平均增长率不变，请你预计2014年有多少市民到郊区旅游．
26. 【题文】某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，
每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2005年至2007年盈利的年增长率
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元。