高等数学五邑大学高数竞赛试卷

命题人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A

五邑大学高等数学竞赛（第一组） 试 卷

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一、选择题（40分）

1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞

→n n n x y ，则n n z ∞

→lim （ ）

(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在.

2. 设()f x 在x=a 的某个邻域内有定义，则()f x 在x=a 处可导的一个充分条件是 （ ）

（A ）1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 （B ）0lim

h →f(a+2h)-f(a+h)

存在h

（C ）0lim

h →f(a+h)-f(a-h)存在2h （D ）0lim h →f(a)-f(a-h)

存在h

3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则

2

2

lim

b b ξ→= （ ）

(A) 1 (B) 12 (C) 13 (D) 14

. 4. 若2

1

(),(0)f x x x

'=

> ，且(1)2f =，则()f x = （ ） (A) 2x (B)

1ln 22x + (C) (D) 5. 设2

2

2

:D x y a +≤，则D

I xydxdy =

=⎰⎰ （ ）

(A) 0 (B) 42

a (C) 4

a

(D) 4

a π

6. 若()f x 的二阶导数存在，且()0,(0)0f x f ''> =，则()

()0f x F x x x

=

<<+∞在上（ ） (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值

7. 设L 是曲线2y x =与直线y x =所围成区域的整个边界曲线，(,)f x y 是连续函数，则

曲线积分(,)L

f x y ds =⎰

（ ）

(A) 1

1

200

(,)(,)f x x dx f x x dx +⎰⎰

(B) 1

12

00

(,)(,f x x dx f x x +⎰⎰

(C) 1

1

200(,(,f x x f x x +⎰

⎰

(D)

1

21

[(,(,f x x f x x dx -⎰

8.设直线L ：⎩

⎨⎧-=---=++31021

23z y x z y x ，平面π：224=+-z y x ，则它们的位置关系是 （ ）.

（A ）π//L （B ）L 在π上 （C ）π⊥L （D ）L 与π斜交

9. 设函数()()f x g x 与在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，则对任何(0,1)c ∈，有 （ ）

(A) 112

2

()()c

c

f t dt

g t dt ≥⎰

⎰

(B)

112

2

()()c

c

f t dt

g t dt ≤⎰

⎰

(C) 1

1

()()c

c

f t dt

g t dt ≥⎰

⎰ (D)

1

1

()()c

c

f t dt

g t dt ≤⎰

⎰

10. 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且(0)f '存在，则函数()

()f x g x x

=

（ ） (A) 在0x =处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点0x =

(C) 在0x =处右极限不存在 （D ）有可去间断点0x =

二、(10分）已知数列120,n n n n U U U U -->=+且，如果数列1

n

n n U X U +=，且lim n n X A →∞=存在，求A

三、（10分）设)(1

lim

)(2212N n x

bx

ax x x f n

n n ∈+++=-∞

→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1

x f x →)(lim 1

x f x -→都存在.

四、（10分）设()f x 连续且2

01(2)arctan 2x

tf x t dt x -=⎰，已知(1)1f =，求21()f x dx ⎰

五、（10分）设2,A a b B ka b =+=+，其中1,2,a b a b ==⊥且，问：

（1）k 为何值时，A B ⊥；

（2）k 为何值时，以A B 和为邻边的平行四边形面积为6。

六（10分）设函数(,)z f x y = 在点（1，1）处可微，且(1,1)(1,1)

(1,1)1,2,3,f f

f x y ∂∂=

= = ∂∂ ()(,(,))x f x f x x ϕ=，求

3

1

()x d x dx ϕ=

七（10分）计算222(c o s c o s c o s )I x y z d s αβγ=

++∑

⎰⎰，其中∑222

(0),x y z z h +=≤≤

是 cos ,cos ,cos αβγ 是此曲面的外法向量的方向余弦。