专题07利用空间向量求空间角(解析版) -2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练

2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练

07利用空间向量求空间角

一、考点传真：

能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 二、知识点梳理：

空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝□

18|a ·b ||a ||b |

( 其中φ为异面直线a ，b 所成的角，范围是⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2 ).

(2)直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量

e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|e ·n ||e ||n |，φ的取值范围是⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.

(3)求二面角的大小

如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝□20〈AB →，CD →

〉．

如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．取值范围是[0，π]． 三、例题：

例1．（2020年全国3卷理数，19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =.

（1）证明：点1C 在平面AEF 内；

（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.

【解析】设1,,AB a AD b AA c ===，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -.

（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11

(0,,)3

C F b c =，得1EA C F =，

因此1//EA C F ，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内. （2）由已知得1(2,1,3),(2,0,2),(0,1,1),(2,1,0),(0,1,1)A E F A AE =--，11(2,0,2),(0,1,2),(2,0,1)AF A E A F =--=-=-.

设1,,()x y z =n 为平面AEF 的法向量，则 110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪⎩n n 即0,

220,y z x z --=⎧⎨--=⎩

可取1(1,1,1)=--n . 设2n 为平面1A EF 的法向量，则 21210,0,

A E A F ⋅=⋅=⎧⎪⎨

⎪⎩n n 同理可取21

(,2,1)2=n .

因为121212cos ,||||⋅=

=⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --

. 例2.（2020年江苏卷，22）在三棱锥A BCD -

中，已知2,CB CD BD O ===为BD 的中点，AO ⊥平面

,2BCD AO =，E 为AC 的中点.

（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足1

4

BF BC =

，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值. 【解析】（1）连结OC ，因为,CB CD O =为BD 中点，所以CO BD ⊥. 又AO ⊥平面BCD ，所以,AO OB AO OC ⊥⊥

.

以{}

,,OB OC OA 为基底，建立空间直角坐标系O xyz -.

因为2,2BD CB CD AO ====， 所以(1,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D C A -. 因为E 为AC 的中点，所以(0,1,1)E . 则(1,0,2),(1,1,1)AB DE =-=，

所以||cos ,|||

|5AB DE AB DE AB DE ⋅=

==⋅因此，直线AB 与DE . （2）因为点F 在BC 上，1

,(1,2,0)4

BF BC BC ==-. 所以111,,0442BF BC ⎛⎫

=

=- ⎪⎝⎭

. 又(2,0,0)DB =，

故71,,042DF DB BF ⎛⎫

=+= ⎪⎝⎭

.

设()1111,,x y z =n 为平面DEF 的一个法向量， 则110

0DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即11111071

042

x y z x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取12x =，得117,5y z =-=，所以1(2,7,5)=-n .

设()2222,,x y z =n 为平面DEC 的一个法向量，又(1,2,0)DC =， 则220

DE DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即222220

20x y y x y ++=⎧⎨+=⎩，取22x =，得221,1y z =-=-，

所以2(2,1,1)=--n

，故1212

|cos |θ⋅=

=

=

⋅n n n n .

所以sin θ例3. （2019全国Ⅰ卷）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，

N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．

（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 【解析】（1）连结B 1C ，ME ．

因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =

A 1D ． 由题设知A 1

B 1D

C ，可得B 1C A 1

D ，故M

E ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN 平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．

以D 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，

1

2

1

2

===⊄DA