勾股定理综合难题。竞赛

C

B

A D E

F

1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为

2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A

点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?

2 如图，长方体的高为

3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5

A

B

3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小

红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•

5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C D ．5

B

C

A

F

E

D

C

B

A

B ’

C ’

B ′

A ′

C ′

D

C A B E D

6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ．求AC 的长．

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为

8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若

21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。

9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．

10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．

E

题5图

F

B

C ′ B

A C

D A C

D

11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）

A.2cm

B.3 cm

C.4 cm

D.5 cm

12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？

13、如图，在△ABC 中，∠B=

90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。

14．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D

重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2

15．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．

图1 D

A

E

B

A D

B

C

E F F 第11题图

C

B

A

D

16、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。

18．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由．

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

21．①能.设AP＝x米，由于BP2＝16+x2，CP2＝16+(10－x)2，而在Rt△PBC中，有BP2+ CP2＝BC2，即16+x2+16+(10－x)2＝100，所以x2－10x+16＝0，即(x－5)2＝9，所以x－5＝±3，所以x＝8，x＝2，即AP ＝8或2，②能.仿照①可求得AP＝4.

19.如图△ABC中，

BC

BM

AC

AN

BC

AC

ACB=

=

=

=

︒

=

∠,

,5

,

12

,

90则MN= 4

20、※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）

（A）

22

d S d

++（B）2d S d

--

（C）

2

22

d S d

++（D）2

2d S d

++

图8

解:设两直角边分别为,a b,斜边为c,则2

c d

=,

1

2

S

ab

=

.

由勾股定理,得222

a b c

+=.

所以

()22222

2444

a b a ab b c S d S

+=++=+=+

.

所以

2

2

a b d S

+=+.所以a b c

++=2

22

d S d

++.

故选（C）

21※．在ABC

∆中,1

AB AC

==,BC边上有2006个不同的点122006

,,

P P P

, 记

()

21,2,2006

i i i i

m AP BP PC i

=+⋅=

,则

122006

m m m

++

=_____.

解:如图

,作AD BC

⊥于D,因为1

AB AC

==,则BD CD

=.

由勾股定理,得

222222

,

AB AD BD AP AD PD

=+=+.所以

()()

2222

AB AP BD PD

BD PD BD PD BP PC

-=-

=-+=⋅

所以2221

AP BP PC AB

+⋅==.

因此

2

122006

120062006

m m m

++=⨯=

.

22※．如图所示，在Rt ABC

∆中,90,,45

BAC AC AB DAE

∠=︒=∠=︒,且3

BD=, 4

CE=,求DE的长.

解:如右图：因为ABC

∆为等腰直角三角形,所以45

ABD C

∠=∠=︒.