11复数与复平面解析
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数学的追求:应用更广泛,理论更完善,形式更简洁
实数与复数
任意两个实数都可以比较大小,几何直观 是实数轴
一般来讲,两个复数是不能比较大小的,比 如 i和0,几何直观是复平面
将y=f(x)推广为w=f(z),相关概念的定义从 形式上看基本是一样的,但所蕴含的信息 可能相差甚远.
要求大家学习时,求同存异.
实积分与复积分
已经学了二元微积分,还学复积分?类似于小学好多难题 不用列方程都能解,还有学方程么?
f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y) 强行把z=x+yi视为一个整体,学习之初,想法转变
有些难度,学完之后,理论的应用方便快捷. 例如 sin2 z cos2 z 1 但它俩都是无界函数 函数的极限,在实数轴上,x趋于x0,只有左右两侧; 在复平面中,z趋于z0,路径有无穷种情形,后者要 求实际上是非常强的 函数的可积和可微,在这种极限存在的条件下,结 论自然就更好看了
思考：为什么必须是实数，能是其他的吗？ 比如是复数 z=x+yi或三元数
高等数学中的多元微积分
相关概念的推广，要求加强； 相关结果的推广，计算复杂程度剧增。 以二元函数的情形为例：积分有曲线积分和曲
面积分，微分有全微分和偏微分-场论中的S-公式,O-G公式G-公式
思考:能否把多元函数形式上看出单变量的?如果 能,有没有优势?
复变函数理论发展到今天已经有一百多年的历史，是一门相当成熟 的学科，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学 科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计 算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它 们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机 的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用 复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
课程基本介绍
课程名称：复变函数与积分变换 开课学时： 48 学时 考核方式： 30分平时成绩（考勤+作业）
70分卷面成绩（期末考试） 答疑时间及地点：
课程基本介绍
研究对象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容
复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、
复变函数的发展过程
直到十八世纪，J.D’Alembert(17171783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明 了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数 的概念，并且应用复数和复变函数研究了流 体力学等方面的一些问题。复数才被人们广 泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发 展。
非负实函数的积分,有下方图形面积的直观,复函数 的积分很难想象.
Roll定理在复函数论中不成立,与之相关的各种中 值定理基本上都不成立;由于可积的定义要求更强, 积分计算也有了更有力的工具:柯西定理,留数定理 等
我们可以利用复积分来处理在高等数学或工作中 遇到的,明明知道积分或广义积分是存在的,就是得 不到精确解的问题.
《复变函数与积分变换》
N P
z
－理学院工科数学基地－
微积分的部分建立者
1、笛卡儿 ， 费马， 约瑟夫·拉格朗日， 柯西， 罗必塔， 泰勒
2、牛顿， 莱布尼茨 ，
黎曼，
高斯，
阿贝尔， 达朗贝尔
Fra Baidu bibliotek
3、傅立叶， 欧拉， 维尔斯特拉斯，
伯努利家族 ，
微积分是什么？
初等数学研究：常量；静止、有限、近似； 微积分学研究：变量；运动、无限、精确。
保形映射，积分变换等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是 实变函数在复数域内的推广和发展，它 们之间有许多相似之处。但又有不同之 处，在学习中要善于比较、区别、特别 要注意复数域上特有的那些性质与结果。
复变函数的发展过程
复数是十六世纪人们在解代数方程时引 进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩 大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八 世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得 不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾， 所以，在历史上长时期人们把复数看作不能 接受的“虚数”。
在某区域内处处可微的复函数是无穷次可 微的,实函数可以处处连续且处处不可微
f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)可微,则u,v都可微,但 逆明确是不成立的.与高等数学中结论不同
实函数项级数的和函数未必连续,或可导. 复函数项级数是内闭一致收敛的,和函数自 然是可导的.
在假定所求函数是处处可微的前提下,已知 函数在某些点或定义域的某一子集上的值, 能否唯一确定该函数?在实函数情形时,这 个很难,一般要求是稠密子集,在复函数情 形,只要该子集有极限点,答案是唯一的.这 就是解析函数的唯一性定理
微积分学任务：研究初等函数。 微积分学元素: 极限、连续、导数、积分。
实变函数与复变函数
实变函数(高等数学)
主要内容 微积分(一元、二元、多元) 级数理论 常微分方程
本质核心之一：有限到无穷（极限）
实数列的极限 实函数的连续 实函数的积分 实函数的微分 实级数、实函数项级数的收敛
计算 1 dx n N, n 2
0 1 xn
1
d ,
sin x dx
0 1 sin2 0 x
复变函数论（Theory of Complex Variable Functions），又称复分析 （Complex Analysis），产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉 斯等数学家都为创建这门学科作出许多基础性的研究工作。十九世纪 ，复变函数理论得到了全面发展，三位杰出的数学家Cauchy、 Weierstrass和Riemann等为这门学科的发展作了大量奠基性工作。复 变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公 认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且成为这个世纪的数学享受， 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函 数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究 领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。我国老一辈数学家在复变 函数理论的研究中也做出了重要的贡献，著名数学家华罗庚、陈建功 、 杨乐等，他们在国际数学界也享有很高的声誉。
实数与复数
任意两个实数都可以比较大小,几何直观 是实数轴
一般来讲,两个复数是不能比较大小的,比 如 i和0,几何直观是复平面
将y=f(x)推广为w=f(z),相关概念的定义从 形式上看基本是一样的,但所蕴含的信息 可能相差甚远.
要求大家学习时,求同存异.
实积分与复积分
已经学了二元微积分,还学复积分?类似于小学好多难题 不用列方程都能解,还有学方程么?
f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y) 强行把z=x+yi视为一个整体,学习之初,想法转变
有些难度,学完之后,理论的应用方便快捷. 例如 sin2 z cos2 z 1 但它俩都是无界函数 函数的极限,在实数轴上,x趋于x0,只有左右两侧; 在复平面中,z趋于z0,路径有无穷种情形,后者要 求实际上是非常强的 函数的可积和可微,在这种极限存在的条件下,结 论自然就更好看了
思考：为什么必须是实数，能是其他的吗？ 比如是复数 z=x+yi或三元数
高等数学中的多元微积分
相关概念的推广，要求加强； 相关结果的推广，计算复杂程度剧增。 以二元函数的情形为例：积分有曲线积分和曲
面积分，微分有全微分和偏微分-场论中的S-公式,O-G公式G-公式
思考:能否把多元函数形式上看出单变量的?如果 能,有没有优势?
复变函数理论发展到今天已经有一百多年的历史，是一门相当成熟 的学科，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学 科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计 算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它 们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机 的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用 复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
课程基本介绍
课程名称：复变函数与积分变换 开课学时： 48 学时 考核方式： 30分平时成绩（考勤+作业）
70分卷面成绩（期末考试） 答疑时间及地点：
课程基本介绍
研究对象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容
复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、
复变函数的发展过程
直到十八世纪，J.D’Alembert(17171783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明 了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数 的概念，并且应用复数和复变函数研究了流 体力学等方面的一些问题。复数才被人们广 泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发 展。
非负实函数的积分,有下方图形面积的直观,复函数 的积分很难想象.
Roll定理在复函数论中不成立,与之相关的各种中 值定理基本上都不成立;由于可积的定义要求更强, 积分计算也有了更有力的工具:柯西定理,留数定理 等
我们可以利用复积分来处理在高等数学或工作中 遇到的,明明知道积分或广义积分是存在的,就是得 不到精确解的问题.
《复变函数与积分变换》
N P
z
－理学院工科数学基地－
微积分的部分建立者
1、笛卡儿 ， 费马， 约瑟夫·拉格朗日， 柯西， 罗必塔， 泰勒
2、牛顿， 莱布尼茨 ，
黎曼，
高斯，
阿贝尔， 达朗贝尔
Fra Baidu bibliotek
3、傅立叶， 欧拉， 维尔斯特拉斯，
伯努利家族 ，
微积分是什么？
初等数学研究：常量；静止、有限、近似； 微积分学研究：变量；运动、无限、精确。
保形映射，积分变换等。
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是 实变函数在复数域内的推广和发展，它 们之间有许多相似之处。但又有不同之 处，在学习中要善于比较、区别、特别 要注意复数域上特有的那些性质与结果。
复变函数的发展过程
复数是十六世纪人们在解代数方程时引 进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩 大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八 世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得 不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾， 所以，在历史上长时期人们把复数看作不能 接受的“虚数”。
在某区域内处处可微的复函数是无穷次可 微的,实函数可以处处连续且处处不可微
f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)可微,则u,v都可微,但 逆明确是不成立的.与高等数学中结论不同
实函数项级数的和函数未必连续,或可导. 复函数项级数是内闭一致收敛的,和函数自 然是可导的.
在假定所求函数是处处可微的前提下,已知 函数在某些点或定义域的某一子集上的值, 能否唯一确定该函数?在实函数情形时,这 个很难,一般要求是稠密子集,在复函数情 形,只要该子集有极限点,答案是唯一的.这 就是解析函数的唯一性定理
微积分学任务：研究初等函数。 微积分学元素: 极限、连续、导数、积分。
实变函数与复变函数
实变函数(高等数学)
主要内容 微积分(一元、二元、多元) 级数理论 常微分方程
本质核心之一：有限到无穷（极限）
实数列的极限 实函数的连续 实函数的积分 实函数的微分 实级数、实函数项级数的收敛
计算 1 dx n N, n 2
0 1 xn
1
d ,
sin x dx
0 1 sin2 0 x
复变函数论（Theory of Complex Variable Functions），又称复分析 （Complex Analysis），产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉 斯等数学家都为创建这门学科作出许多基础性的研究工作。十九世纪 ，复变函数理论得到了全面发展，三位杰出的数学家Cauchy、 Weierstrass和Riemann等为这门学科的发展作了大量奠基性工作。复 变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公 认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且成为这个世纪的数学享受， 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函 数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究 领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。我国老一辈数学家在复变 函数理论的研究中也做出了重要的贡献，著名数学家华罗庚、陈建功 、 杨乐等，他们在国际数学界也享有很高的声誉。