解析几何答案-第二章

第2章 曲面与空间曲线的方程

§2.1 曲面的方程

1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，

则z C

z y x M =⇔∈),,( 亦即z z y x =++-222)4( )4(2-∴x

2（1（2（3（4解：（1常数为m ),,(z y x ，,,(z y x M 亦即(x -（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ，

则a z y c x z y c x C

z y x M 2)()(),,(222222=++++++-⇔∈ 亦即222222)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-

两边平方且整理后，得：)()(2

222222222c a a z a y a x c a -=++- （1） 222c a b c a -=∴>令

从而（1）为2

2222222b a z a y a x b =++

即：22222222b a z a y a x b =++

由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。

（3）建立如（2）的坐标系，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-⇔∈

类似于（2），上式经同解变形为：122

2222=--c

z b y a x 其中 )(222a c a c b >-= （*） （*

（4m 。

设动点M （*）

（*2、 （1）中心（2（3（4解：（136)3()1()2(222=-+++-z y x

（2）由已知，球面半径73)2(6222=+-+=

R

所以类似上题，得球面方程为 49222=++z y x

（3）由已知，球面的球心坐标12

35,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ，球的半径21)35()31()24(2

1222=++++-=R ，所以球面方程为：

21)1()1()3(222=-+++-z y x

（4）设所求的球面方程为：02222

22=++++++l kz hy gx z y x

因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=0

8160

621008160k h g g l （1） 解（1）有

∴1（1）42x （1）42x

§2.3空间曲线的方程

1、平面c x =与0222=-+x y x 的公共点组成怎样的轨迹。

解：上述二图形的公共点的坐标满足

⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==-+c

x c c y c x x y x )2(02222 从而：（Ⅰ）当20<

⎪⎩⎪⎨⎧=-=c

x c c y )2( 及 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=c

x c c y )2( 即为两条平行轴的直线；

（Ⅱ）当0=c 时，公共点的轨迹为： ⎩

⎨⎧==00x y 即为z 轴； （Ⅲ）当2=c 时，公共点的轨迹为：

⎩⎨⎧==2

0x y 即过)0,0,2(且平行于z 轴的直线； （Ⅳ）当2>c 或0

2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？

（1）6416222=++z y x ； （2）641642

22=-+z y x ；

（3）64164222=--z y x ； （4）z y x 16922=+

解：（1）曲面与xoy 面的交线为： ⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧==++0

640641622222z y x z z y x 此曲线是圆心在原点，半径8=R 且处在xoy 面上的圆。

同理可求出曲面64162

22=++z y x 与yoz 面)0(=x 及zox 面)0(=y 的交线分别为： ⎩⎨⎧==+0

641622x z y ， ⎩⎨⎧==+0641622y z x 它们分别是中心在原点，长轴在y 轴上，且处在yoz 面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在

x 轴上，且处在zox 面上的椭圆； （2）由面641642

22=-+z y x 与xoy 面)0(=z ，yoz 面)0(=x ，zox 面)0(=y 的交线分别为： ⎩⎨⎧==-+064164222z z y x ,⎩⎨⎧==-+064164222x z y x ,⎩

⎨⎧==-+064164222y z y x 亦即：⎩⎨⎧==+064422z y x ,⎩⎨⎧==-016422x z y ,⎩⎨⎧==-0

641622y z x

即为中心在原点，长轴在x 轴上，且处在xoy 面上的椭圆；中心在原点，实轴在y 轴，且处在yoz 面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x 轴，且处在zox 面上的双曲线。

（3）曲面641642

22=--z y x 与xoy 面)0(=z ，yoz 面)0(=x ，zox 面)0(=y 的交线分别为： ⎩⎨⎧==--064164222z z y x ,⎩⎨⎧==--064164222x z y x ,⎩

⎨⎧==--064164222y z y x 亦即⎩⎨⎧==-064422z y x ,⎩⎨⎧==--06416422x z y ,⎩⎨⎧==-0

641622y z x

即为中心在原点，实轴在x 轴，且处在xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在x 轴上，且处在zox 面上的双曲线。

（4）曲面z y x 1692

2=+与xoy 面)0(=z ，yoz 面)0(=x ，zox 面)0(=y 的交线分别为： ⎩⎨⎧==+016922z z y x ,⎩⎨⎧==+016922x z y x ,⎩⎨⎧==+0

16922y z y x 亦即⎩⎨⎧==+00922z y x ,⎩⎨⎧==01692x z y ,⎩

⎨⎧==0162y z x 即为坐标原点，顶点在原点以z 轴为对称轴，且处在yoz 面上的抛物线，以及顶点在原点，以z 轴为对称轴，且处在zox 面上的抛物线。

3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。

（1）⎩

⎨⎧+==-+1022x z z y x ;（2）⎩⎨⎧=+-==-+--+010*******z y z x yz z x （3）⎩⎨⎧=--=++71023562z y x z y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1

)1()1(1222222z y x z y x 解：（1）从方程组⎩⎨⎧+==-+1

022x z z y x

分别消去变量z y x ,,，得：0)1(2

2=-+-z y z

亦即： 01322=+-+z y z （Ⅰ） 01=--x z （Ⅱ）

0122=--+x y x （Ⅲ）

（Ⅰ）是原曲线对yoz 平面的射影柱面方程；

（Ⅱ）是原曲线对zox 平面的射影柱面方程；

（Ⅲ）是原曲线对xoy 平面的射影柱面方程。