模糊数学原理及其应用

则 判 决 x0 相 对 地 属
若 d 则不能识别，应查找原因另作分析。 若 d 且 有 Ai1 ( x 0 ) d ， Ai2 ( x 0 ) d … Aim ( x 0 ) d 于 Ai1 Ai2 Aim 例 2 三角形识别问题
我 们 把 三 角 形 分 成 等 腰 三 角 形 I ,直 角 三 角 形 R , 正 三 角 形 E ,非 典 型 三 角 形 T ,这 四 个 标 准 类 型 ,取 定 论 域
Ai ( x 0 ) max A k ( x 0 ) 1 k n
则 认 为 x0 相 对 隶 属 于 Ai 所 代 表 的 类 型 。 例 1 通货膨胀识别问题 通 货 膨 胀 状 态 可 分 成 五 个 类 型 :通 货 稳 定 ;轻 度 通 货 膨 胀 ;中 度 通 货 膨 胀 ;重 度 通 货 膨 胀 ;恶 性 通 货 膨 胀 .以 上 五 个 类 型 依 次 用 R (非 负 实 数 域 ,下 同 ) 上 的 模 糊 集 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 表 示 , 其 隶 属 函 数 分 别 为 :
有 时 待 识 别 对 象 x0 关 于 模 糊 集 A1 , A2 An 中 每 一 个 隶 属 程 度 都 相 对 较 低 ， 这 时 说 明 模 糊 集 合 A1 , A2 An 对 元 素 x 不 能 识 别 ；其 二 是 有 时 待 识 别 对 象 x 关 于 模 糊 集 A1 , A2 An 中 若 干 个 的 隶 属 程 度 都 相 对 较 高 ， 这时还可以缩小 x 的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。 阈 值 原 则 ： A1 , A2 An F (U ) 是 n 个 标 准 类 型 ， x 0 U , d (0,1] 为 一 阈 值 （ 置 信 水 平 ） 令 max Ak ( x 0 ) 1 k n
X x x ( A, B, C ), A B C 180, A B C

这 里 A, B, C 是 三 角 形 三 个 内 角 的 度 数 ， 通 过 分 析 建 立 这 四 类 三 角 形 的 隶属函数为：
1 [( A B ) ( B C )] 60 1 R( x) 1 A 90 90 1 E ( x) 1 ( A C) 180 1 T ( x) min[ 3( A B ),3( B C ), A C ,2 A 90 ] 180 I ( x) 1
由 最 大 隶 属 原 则 ， x 8 应 相 对 隶 属 于 A2 ， 即 当 物 价 上 涨 8% 时 ， 应 视 为 轻 度 通 货 膨 胀 ； x 40 ， 应 相 对 隶 属 于 A5 ， 即 当 物 价 上 涨 40% 时 ， 应 视 为恶性通货膨胀。 三、阈值原则 在 使 用 最 大 隶 属 度 原 则 进 行 识 别 中 ，还 会 出 现 以 下 两 种 情 况 ，其 一 是
0 x5 x5
0 x 50 x 50
其 中 对 x 0 , 表 示 物 价 上 涨 x % 。 问 x 8,40 时 ， 分 别 相 对 隶 属 于 哪 种 类型？ 解
A1 (8) 0.3679 ， A2 (8) 0.8521 A3 (8) 0.0529 ， A4 (8) 0.0032 A5 (8) 0.0000 A1 ( 40) 0.0000 ， A2 ( 40) 0.0000 A3 ( 40) 0.0003 ， A4 ( 40) 0.1299 A5 ( 40) 0.6412
绪言
任何新生事物的产生和发展， 都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程， 一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模 糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点， 然而， 实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨 大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的 一席之地。 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不 可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系 统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测 量， 因而适于用精确方法描述和处理。 而那些难以用经典数学实现定量化的学科， 特别是有关生命现象、 社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊 事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量 可以精确测定， 能够建立起精确的数学模型。 模糊事物无法获得必要的精确数据， 不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的 方法才能解决。 传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用 的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这 对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如 判断企业经济效益的好坏时， 用 “年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见： “比经济效益好 的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业” ，而不应被划为经济效益 不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最 后就会得到， “年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许 多，历史上最著名的有“罗素悖论” 。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物 时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象， 促使人们寻求建立一种适于描述 模糊事物和现象的逻辑模式。 模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊 方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为 1，那末，相比之 下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一
点，比如为 0.99999，依此类推，企业的年利税每减少 1 元，它属于“经济效益 好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为 0 时，它 属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为 0 了，显然，模糊方法的这种处理方 式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是， 从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合 为主对不确定性现象的研究。 各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型 现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同 学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势 日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随 着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多 样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。 模糊集合理论自诞生以来， 获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文 的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模 糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分 枝。 和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了 令人可喜的进展。自 1980 年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面 的研究报告已逾 7000 多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像 机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可 根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于 25℃时，会自动 地“稍稍”调节空调器的阀门，进行 4608 种不同状态设定选择，从而获得最佳 开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感 觉来决定。 模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控 制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思 维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日 本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到 来。 我国自 70 年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了 2000 至 3000 人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。 但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许
U ( x1 , x n )的 模 糊 集 ， xi 是 识 别 对 象 的 第 i 个 特 征 。
第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属 于 哪 一 个 标 准 类 型 。常 用 的 判 决 准 则 有 最 大 隶 属 度 原 则（ 直 接 法 ）和 择 近 原则（间接法）两种。 二、最大的隶属度原则 若 标 准 类 型 是 一 些 表 示 模 糊 概 念 的 模 糊 集 ，待 识 别 对 象 是 论 域 中 的 某 一 元 素（ 个 体 ）时 ，往 往 由 于 识 别 对 象 不 绝 对 地 属 于 某 类 标 准 类 型 ，因 而 隶 属 度 不 为 1， 这 类 问 题 人 们 常 常 是 采 用 称 为 “ 最 大 隶 属 度 原 则 ” 的 方 法 加 以 识 别 ，这 种 方 法（ 以 及 下 面 的“ 阈 值 原 则 ” ）是 处 理 个 体 识 别 问 题 的 ， 称为直接法。 最 大 隶 属 度 原 则 ： 设 A1 , A2 An F (U ) 是 n 个 标 准 类 型 ， x 0 U ， 若
多未转化成经济效益。 需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实 体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国 21 世纪的技术发展和科学腾飞奠 定基础。
第二章
模式识别
§ 2- 1 模 式 识 别 及 识 别 的 直 接 方 法
在 日 常 生 活 中 生 活 中 ，经 常 需 要 进 行 各 种 判 断 、预 测 。如 图 象 文 字 识 别 、故 障（ 疾 病 ）的 诊 断 、矿 藏 情 况 的 判 断 等 ，其 特 点 就 是 在 已 知 各 种 标 准 类 型 前 提 下 ，判 断 识 别 对 象 属 于 哪 个 类 型 的 问 题 。这 样 的 问 题 就 是 模 式 识别。 一、模糊模式识别的一般步骤 模式识 别的问题，在模糊 数学形成之前 就已经存在 ，传统的 作法主要 用 统 计 方 法 或 语 言 的 方 法 进 行 识 别 。但 在 多 数 情 况 下 ，标 准 类 型 常 可 用 模 糊 集 表 示 ，用 模 糊 数 学 的 方 法 进 行 识 别 是 更 为 合 理 可 行 的 ，以 模 糊 数 学 为 基础的模式识别方法称为模糊模式识别。 模式识别主要包括三个步骤： 第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征， 并 度 量 这 些 特 征 ， 设 x1 , , x n 分 别 为 每 个 特 征 的 度 量 值 ， 于 是 每 个 识 别 对 象 x 就 对 应 一 个 向 量 ( x1 , x 2 , , x n ) ， 这一步是识别的关键， 特征提取不合理， 会影响识别效果。 第 二 步 ： 建 立 标 准 类 型 的 隶 属 函 数 ， 标 准 类 型x 5 2 exp[ [ ] ], 3 x 10 2 A2 ( x ) exp( ( ) ) 5 x 20 2 A3 ( x ) exp( ( ) ) 7 x 30 2 A4 ( x ) exp( ( ) ) 9 x 50 2 exp[ ( ) ), A5 ( x ) 15 1,