压电材料和电致伸缩总结

•
xi

aiEdT

sE,T ij
X
j
dmTi Em
（7.16）
• •
•
这就Dd是Sm弹性pcTm电XEd,X介Td质Td的mTai线XiE X性i i 状 mTp态n,mXX方EEmn程。（ （方77程..11中87） ）的系数
为线性响应系数，它们是电介质物性参量。上标标
明响应过程中保持不变的量。由式(7.10)-(7.15)可
• 1881年，Lippman应用热力学原理预言逆压电 效应(converse piezoelectric effect)，即电场可 引起与之成正比的应变。这一预言被居里兄弟 用实验所证实。
压电材料的实用化
• 压电材料实用化是进一步研究压电效应推动力。 实用化方面早期有两个奠基性的工作：
• 第一，1916年朗之万发明了用石英晶体制作的 水声发射器和接收器，并用于探测水下的物体。
• 1947年发现BaTiO3陶瓷强直流电场作用后也具有 压电性，结束压电材料局限于单晶的局面。这一 阶段成果在Mason的经典著作《压电晶体及其在 超声中的应用》有全面的论述。
• 后来陆续出现了新型压电晶体和以PZT为主性能 优异压电陶瓷，并出版了关于压电陶瓷的专著。
• IRE(以及后来的IEEE)制订和发布一系列关于压 电晶体的标准，推动测量方法的规范化和现代化。
• 虽然电致伸缩效应通常很弱，但在某些铁电体中 稍高于居里点时却相当强，而且铁电相压电常量 与电致伸缩系数有关，因此，研究电致伸缩也有 实用和理论两方面的意义。
§ 7．1 压电效应
7.1.1 线性状态方程和线性响应系数 • 处理电介质平衡性质的基本理论是线性
理论。该理论成立的条件是系统的状态 相对其初始态的偏离较小，在特征函数 对独立变量的展开式中可忽略二次以上 的高次项，而在热力学量对独立变量的 展开式中可以只取线性项。
E



2G T Xi
E


xi T
X ,E


S X i
T ,E

aiE
•


2G X iX
j
T ,E


2 xi X j
T ,E

s E,T ij
•
2G


EmEm
知，这些线性响应系数是特征函数展开式中二次方
项系数，表明特征函数展开式到二次方项等效于在
线性范围描写电介质，二次方项的系数就是相应的
物性参量。
• 上面共出现6个物性参量，它们反映弹性 电介质中六种线性效应，现分述如下:
• 应力X和应变x之间弹性效应用弹性顺度s 描写；电位移D和电场E之间介电效应用电 容 率 E 描 写 ； 应 力 X( 或 应 变 x) 与 电 位 移 D( 或 电 场 E) 之 间 的 压 电 效 应 用 压 电 常 量 d 描写；温度T(或熵S)与应变x(或应力X)之 间热膨胀效应用热胀系数α 描写；温度 T(或熵S)与电位移D(或电场E)之间热电效
2G T 2
(dT )2

1 2
2G X iX j
XiX j
1 2
2G EmEn
Em En

2G T Xi
X i dT

2G T Em
EmdT
2G
X iEm
X i Em
• 因为
dG SdT xidXi DmdEm
(7.2)
• 所以
G T

S, G X i
• 如果张量对称则独立分量个数减少。热电系数是一阶张量 (即矢量)，有3个独立分量。电容率和热胀系数都是对称 二阶张量有6个独立分量。压电常量联系二阶张量(应力或 应变)与一阶张量(电位移或电场)的三阶张量，因为应力或 应变是对称二阶张量，故压电常量只有18个独立分量。弹 性系数是联系两个二阶张量(应力或应变)的四阶张量，因 为应力和应变都是对称二阶张量，故弹性系数只有36个独 立分量。晶体对称性对这些张量施加了限制，使实际的分
E


xi Em
X
• 单位为C／N或m／V;(7.30)来自hmi

Em xi
D



X i Dm
X
• 单位为N／C或V／m;
(7.31)
• 单位为gVmim ／ NEXmi或D m 2／DxCim ;X
(7.32)
emi



Dm xi
E



X i Em
X
• 单位为N(Vm)－1，或C／m2。
(7.33)
• 压电常量是反映力学量(应力或应变)与电学量 (电位移或电场)间相互耦合的线性响应系数。 独立变量不同时，相应的压电常量也不相同。
• 实用中由dmi可计算单位电场引起的应变，由 gmi可计算一定长度的压电元件中单位应力引起 的电压，所以前者称为压电应变常量，后者称 为压电电压常量。emi给出单位电场引起的应力， hmi表示造成单位应变所需的电场，所以分别称 为压电应力常量和压电刚度常量。
Dm


Dm S
X
dS

d
S mi
X
i


S,X mn
En
•
（7.23） （7.24）
•
dT

T
cE,X
dS


T X i
E
Xi


T Em
X
Em
（7.25）
• 在应用绝热条件下，得出（压电方程 ）
xi siEj X j dmi Em ,
应 用 热 电 系 数 pm Dm / T 或 电 热 系 数
（ S / Em）描写；温度T与熵S改变量的 关系用比热c描写。
• 在式(7.10)—(7.12)中，利用特征函数G的二次
偏微商与微商次序无关的原理，得到如下的
关系式：

xi Em
T ,X


• 先讨论以应力和电场为独立变量情况。 因为
dH TdS xidXi DmdEm (7.22)
• 所以相应的特征函数是焓H。
• 利用与上面相似的方法[见式(7.4)－(7.18)] 得到的线性状态方程如下：
•
xi


xi S
E
dT

sE,S ij
X
j

d
S mi
Em


xi
,
G Em

Dm(7.3)
• 将dS，x和D看成dT，X和E函数，在零应力和零
电场附近作泰勒展开，取近似只保留一次项
•
xi


xi T
X ,E
dT

xi X j
T ,E
X
j


xi Em
T , X
Em
（7.4）
• •
Dm
量个数减少。晶体对称性越高，独立分量的个数越少。各 个点群晶体可能有的各种物性张量矩阵形式列于附录Ⅱ。
在式(7.16)-(7.18)和类似的状态方程中，i，j＝1-6，m，n ＝1-3，下标i和j是双下标的简写。
按照约定双下标与单下标的对应关系如下表所列
7.1.2 压电方程和压电常量
• 压电体在工作过程中不可避免地要发热， 难以保持等温条件但热交换通常可以忽 略，即满足绝热条件，因此要研究绝热 条件下压电体的性质。
第七章 压电材料和电致伸缩
• 压电效应(piezoelectric effect)：1880年居里两 兄弟在研究热电性与晶体对称性关系时，发现 压力可产生电效应，即在某些晶体特定方向加 压力时，相应的表面上出现正或负的电荷，而 且电荷密度与压力大小成正比。例：铁电体酒 石酸钾钠(罗息盐) ，在科学界引起很大兴趣。
• 第二，1918年Cady通过对罗息盐晶体在机械谐 振频率附近特异的电性能研究发明了谐振器。
• 前者是最早的压电换能器，后者则为压电材料 在通信技术和频率控制等方面的应用奠定基础。
• 压电效应早期研究主要针对罗息盐和石英晶体进 行。全面反映在Cady经典著作《压电性》。1930 年 代 出 现 铁 电 体 KDP 系 列 晶 体 ( 包 括 反 铁 电 体 ADP)。1940年代出现BaTiO3。
•
（7.7） xi



2G X iT
E
dT

2G X iX
j
T ,E
X
j


2G X iEm
T
Em
•
（7.8） Dm



2G EmT
X
dT


2G EmX
i
T
Xi


2G EmEn

xi Em
T ,X
Dm X i
T ,E

dmTi


2G EmT
X



T
2G Em
X


Dm T
X ,E


S Em
T ,X

pmX
•


2G X i T
• 式(7.26a) - (7.29a)中c是弹性刚度，与弹性顺度
• 考虑以温度T、应力X和电场E为独立变量时，相应 特征函数为吉布斯自由能G。
• 假设温度、应力和电场分别发生小变化dT、dX和
dE，且初始态应力和电场为零，故dX=X，dE＝E。
这些变化足够小时，可用泰勒级数展开G，只取到
二次项
G
G0

G T
dT

G X i
Xi

G Em
Em
1 2
• 所有这些成果使压电材料在机电换能、传感计测、 频率选择和控制等方面实现了广泛的应用。
电致伸缩 (electrostriction)
• 电致伸缩(electrostriction)是电介质另一种电弹效 应(electro-elastic effect)。它反映的是应变与电场 强度平方之间的正比关系，因此电致伸缩系数是 一个四阶张量。
(7.26a)
Dm

dmi X i


X mn
En
,
• 式中已省去代表绝热的上标S。
• 以应变x和电场E为独立变量时，相应的方程为
X i ciEj x j emi Em ,
Dm

emi xi


X mn
En
.
(7.27a)
• 以应变和电位移为独立变量时，相应的方程为
X i ciDj x j hmi Dm ,
T ,X
Em
•
（7.9） dS



2G T 2
X ,E
dT


2G T X
i
E
Xi


2G T Em
X
Em
• 引入
• （7.10） 2G


X
iEm
T

2G


EmX
i
T



Dm T
X ,E
dT


Dm X i
T ,E
Xi


Dm En
T , X
En
（7.5）
•
dS


S T
X ,E
dT


S X i
T ,E
Xi


S Em
T ,X
Em
（7.6）
• 利用式（7.3），此三式成为
• 虽然上面各式都是采用矩阵记法，但表示物理性能的线性
响应系数以及它们所联系的物理量都是张量，这些响应系
数称为物性张量。物性张量的阶决定于它所联系的物理量 张量的阶。矢量和标量分别是一阶和零阶张量。将一个p 阶张量与一个q阶张量联系起来的张量是一个n＝p+q阶的 张量。三维空间中的一个n阶张量共有3n个分量，这些分 量要用有n个附标(通常为下标)的符号来表示。
Em

hmi xi

X mn
Dn
.
(7.28a)
• 以应力和电位移为独立变量时，相应的方程为
xi siDj X j gmi Dm ,
Em

gmi X i

X mn
Dn
.
(7.29a)
• 上面四组方程中引入4个压电常量，它们的
定义及其在SI单位制中的单位如下：
dmi


Dm X i
T , X


Dm En
T ,X


T,X mn
• •


2G T 2
X ,E


S T
X ,E

cE,X
T
（7.11）
（7.12）
（7.13） （7.14） （7.15）
弹性电介质的线性状态方程
• 于是式（7.7）—（7.9）成为
Dm X i
T ,E

Dm T
T ,E


S Em
T , X

xi T
X ,E

S

X
i
T ,E
• 其物理意义：正效应与逆效应相等。例如上面第一
式表示压电常量等于逆压电常量，第二式表示热电
系数等于电热系数。由其他特征函数出发，也可得 类似关系式，它们统称为麦克斯韦关系式。