Ch13.5稳恒磁场1
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磁介质的应用主要有：发电机、电动机、变压 器中的铁芯、计算机中的记忆元件等。
24
本节主要研究磁化的宏观规律，重点是 磁场强度(magnetic intensity)和介质中的环 路定理，磁化的微观机理，铁磁质的磁化 规律。
§13-7−1 磁介质存在时稳恒磁场的基本规律
一、磁介质的磁化 (magnetize) 磁场强度矢量 首先介绍顺磁质的磁化机理
dl
fe
所以，安培力是洛伦兹力的宏观体现。 对于长为 L 的载流导线所受
v
I
到的安 培力， 则有
F dF Idl B
O x
fm
B
y
L
L
对于均匀磁场中的长为 L 的直线电流，则有
F ILB sin , 为电流方向与B 方向间的夹3角。
3. 应用举例
[例1] 如图所示， Idl Idlj, B Bxi By j bzk
则 M ISB sin
f2
⊙
d , , d 0
⊙
dA Md ISB sin d
d n
B
BISd (cos ) Id(BS cos )
f2 n
而 m BS cos dA Idm
f2
总功：
A
dA
m 2 Id
m1
m
I(m2
m1 )
Im
说明：① 上式对任何形状的线圈都适用；
Magnetic interaction between two parallel rectilinear currents
1.两平行长直载流导线间的相互作用力
B12
0 I1 2a
,
dF2
B12 I2dl2
0 I1 I 2 2a
dl2 ,
指向I1 。
取一段l2 , 积分得
F2
0I1I2 2a
l2 ,
2r
(3) 无限大通电平面的磁场： B 0 j / 2
1
§13-5 磁场对载流导体的作用:安培力与磁力矩 Magnetic Force on an Electric Current
一、安培力公式 一段电流元在磁场中的受力情况
1. 形式：电流元在磁 场 B 中受到的磁力为 dF，则有
大小：dF
dF
感应强度， B为磁化电流在P点产生的磁感应强度。
二、磁化电流与磁化强度关系
假设：
① 介质宏观体积内，每个分子电流 Im 都相同；
② 每个分子电流所围面积为 S0 ；
③
分子磁距
M
pm pm
取向相同。
N pm
V
V
n
pm
nI m S0
27
由特例给出(均匀磁化的柱形棒) 1. M 与磁化面电流密度 j' 的关系：
(1) 分子电流假说：安培认为，磁介质中的每一个
分子都可以看作一个环形电流，在无磁场时，这些
环形电流的磁矩方向在空间的取向是杂乱无章的。
如图所示
25
B0
Im Im
(2)顺磁质的磁化 当顺磁质中存在磁场时，分子电
流的磁矩将与磁场方向趋于一致。这就是磁介质的磁
化。如图所示。出现 束缚磁化电流
I
m
23
§13-7 磁介质 （magnetic medium）
物质（磁介质）在磁场的作用下，将发生变化， 这种变化反过来又影响原来的磁场，这种物质称为 磁介质。在磁场作用下磁介质的变化──磁化。这 个与电解质在电场中的情形类似，因此，磁介质的 描述方法及物理量与电介质非常相似。
磁介质有三种：顺磁质（paramagetic）； 抗磁质（diamagnetic）； 铁磁质（ferromagnetic）。
讨论:
1.
= 0时，M = 0，稳定。
= 时，不稳定；
nˆ
2. = /2 时，sin = 1， F3F3
B
nˆ
F3 ⊙ F4
nˆ
B
Mmax = pmB，可用此 定义 B 的大小。
⊙
B
F4 13
推广到任意形状平面线圈在均匀磁场中也成立。
对非均匀场，有：
dM dpm B,
M dM
IBdl sin
Idl B
为电流方向与B
方向：由右手螺旋法则判断。
方向间的夹角
对于长为L的载流导线
dF
所受到的安培力，则有：
F dF Idl B
L
L
B
Idl
B
Idl
2
2. 微观解释
导体通电流 I，洛伦兹力 fm ev B 作用于电子，电子
对晶格离子也有一个与fm 相同的作用力，所以洛伦兹力通
则
y
i
dF Idl B 0
Bx
j Idl By
k 0 Bz
Bz
By Idl Bx
O
x
IdlBzi IdlBxk
z
dFx IdlBz , dFy 0, dFz IdlBx
dF dFx2 dFy2 dFz2 Idl Bx2 Bz2 4
[例题2] 求直导线 AC 在磁场中的受力。
过电子和霍耳电场传给晶格离子，以产生合力为安培力。
设电流元的横截面积为 S，长为 dl，电流强度为 I，单位
体积的自由电子数为 n，则电流元中自由电子（定向运动的
载流子）总数为 dN = nSdl，所受 洛伦兹力为
dF dN (ev B) Sdl(nev B) z Sdl j B Idl B
Im
(3)为了描述分子磁矩在磁场中的取向排列的整齐
程度，定义磁化强度矢量：
M
pm
比较：
P
Pe
V
V
26
(4) 磁介质内部的磁感应强度 由于磁介质被磁化，
磁化电流将在磁介质中激发磁场，因此，磁介质中任
一点 P 的磁感应强度应该为 ：
B B B0
式中 B为 P 点的合磁感应强度，B0为外磁场在 P 点的磁
f μ0 I1 I 2
2a
令, I1 I2 I ,
则, f 0 I 2 2a
I1
I2
I1dl1 F1
F2
I 2dl 2
B21 ⊙
B12
a
令 a 1 m,
则得, I
2 f
0
f 2 107
安培(A)可定义为：真空中无限长平行载流直导线， 相距一米时，当通以相同的电流，单位长度上的 作用力为 2×10-7 N 时，则所通电流规定为1A。
② 若电流变化，则
A
Id m 2
m1
m
16
[例题1] 已知：半径为 R 的半圆形线圈，载有电流I，
处于磁感应强度为 B 的均匀 磁场中。
求: (1) 线圈在图示位置的磁力矩 M ?
(2)
当
线
圈
解：（1） M
由图 示 位
pm B
置
转
过
2
角
A?
I
pm
I
1 R2
2
方向：
R Pm B
M 1 R2 IB 方向向下。
0
2
F2
0 2
bl I1I2 ln b
bl I1I2 ln b
j
I1 O
bA
I2 F1
B
B
I2
F3
F2
x I2 C
l
x
AC边受到的力：
AC上各电流元受
取微元 I2dl 则: dF I2dl B 力方向一致。
F3
dF3
L3
I2dl
L3
0 I1 2x
0I1I2 d b l x L3 2x cos
复习：
1. 安培环路定理： B dl 0 Ii
L L内
与静电场比较： E dl 0
2. 洛仑兹公式：
L
F q(E v B)
3. 需记住的几个结论：
B 0I (r R)
(1)无限长载流圆柱导体的磁场： (2) 螺绕环内部的磁场： B 0 NI
2r
B
0 I 2R2
r
(r R)
)i
( 0I1I2l
0 I1 I 2
ln
b
l
)tg
i
2b 2
b
y
bA B
解题步骤：
(1) 取微元，Idl dF Idl B
I1
I2 F1
I2
F3
F2
(2) 分析对称性，以简化计算过程。O (3) 积分，以求得最后结果。
B x I2 C x
l
8
二、两平行长直载流导线间的相互作用─安培的定义
0
2
2
如求 AA 上任一点的磁感应强度，怎么求?
19
小 结：
1. 安培力公式： 2. 磁矩的定义：
dF
pm
Idl
NIS
B
NISnˆ
3. 磁力矩：
M
pm
B
dM dpm B
可用磁矩在磁场中受到的磁力矩定义磁感应强度。
4. 磁力的功： A
Id m 2
m1
m
I m
22
作业
P241： 19; 20; 21；23。
0 I1I2 b dx 0 I1I2 ln b l
2 cos bl x 2 cos b
7
F3
0 I1 I 2 2 cos
ln
b b
l
sini
0 I1 I 2 2 cos
ln
b b
l
Biblioteka Baidu
cosj
F
F1
F2
F3
( 0I1I2l 2b
tg
0 I1 I 2 2 cos
ln
b b
l
sin
MV MLS
pm
M
a
d
cb
又 I' S j'
M F2l1 sin IBl2l1 sin ISB sin
a I
b
F2F4cInˆ
B
F3
l1
⊙F(d4c)
B
方向：垂直屏幕面向外。
如有 N 匝，则：M NBIS
a (b)
sin
F2
nˆ
12
2. 定p义m 磁 矩IS：nˆ 线圈的磁矩
S
I
n
表示载流线圈性质的物理量，方向由线圈法线方
向则决p定mM， N法I向Sp与mN电IS流Bnˆ的方向满足⊙右F手4 螺旋法则：
L
I B
14
四、载流线圈在磁场中改变位置时磁力的功
1. 载流导线在磁场中运动时磁力的功
如图所示： F IBl
x1 x2
A Fx BIlx
磁通量变化
l F F
m m2 m1
Blx2 Blx1 Blx
x
A I m
即 A I
d m 2
m1
10
[例题] 已知：无限长导线 I1 ，无限长片 I2，a。求： 单位长度作用力。
dr
解：板上的电流密度
I1 a
j I2
I2
a
a
dF
0 I1 2
jdr r
0 I1 I 2 2 ar
dr
f
dF
2a a
0 I1 I 2 2 ar
dr
0 I1 I 2 2 a
ln 2
11
三、均匀磁场中矩形载流线圈受到的磁力矩
dq 2rdr
B
旋转时形成的电流
dI dq T 2rdr
rdr
rO R
圆环电流的磁矩
2
A'
dpm dI S rdr r 2 r 3dr
所受的磁力矩
dM dpm B sin90 Br 3dr
圆盘所受的总磁力矩
M dM B R r 3dr 1 R4B 方向：
2 注意：力矩的方向与转动方向不同。
M
(2) A I m IBS cos 0 BS cos( / 2)
IB
R2
1 R2 IB
22
17
[例题2] 一平面圆盘，半径为
中绕其轴线 AA 以角速度
转R，动面，电B 荷垂密直度转为轴
，圆盘在磁场 AA，试证明圆
盘所受力矩的大小为
R4B
M
4
A
解：取 r 处宽为 dr 的圆环，带电量为：
I1 I2 F1
I2
F3
F2
O
B x I2 C x
l
B 0I1 方向：垂直纸面向里。 2x
AB边受力为：
F1 BI2 AB
0 I1 2b
I2
AB
0 I1I2 l tg
故：
F1
0 I1 I 2 2b
2b
l tg i
6
BC受力：
y
F2
bl
b I2dxB
bl b
0 I1 2x
I2dx
m
I (m 2
m1 )
上式表明：当载流导线在磁场中运动时，如果电流保
持不变，磁力所作的功等于电流强度乘以通过回路所环
绕面积内磁通量的增量；也可以说，磁力的功等于电流 强度乘以载流导线在移动过程中所切割磁力线数。 15
2. 载流线圈在磁场中转动时磁力的功
如图所示, 载流线圈受到的磁力矩：
f2
M pm B
1. 分析
F1
l1
0
IBdl
sin(90
)
IBl1
cos
F3
l1
0
IBdl sin(90
)
IBl1 cos
F1
d
F1
与
F3
大小相等，反向共线。
即 F1 F3 0 M13 0
F2
l2 0
IBdl
IBl2
l2
F4
l2 0
IBdl
IBl2
F2 与 F4 大小相等，反向不共线。
磁场对线圈 abcd 产生的磁力矩
解：由安培力公式得
F dF Idl B
L
L
L
F 0 IdlBsin
IBLsin
B
Idl
A Idl C
L
方向：垂直纸面向外。
5
[例题3] 载有电流 I1 的长直导
线边有一与之共面的载有电流为
y
bA
B
I2 的三角形导线，求 I1 作用于三
角形各个边的磁场力？
解：电流 I1 在三角形区域产 生的磁场为：
0
4
18
引申： 本题如求盘心处的 B 值，则应如何求?
解：取 r 处宽为 dr 的圆环，带电量为： A
dq 2rdr
B
旋转时形成的电流
dI dqf 2rdr rdr 2
rO R
在 O 点处产生的磁场为：
A'
dB 0dI
2r
0 rdr
2r
0dr / 2
B R 0 dr 0 R
同理得： B21
F1
0 I1 I 2 2a
l1 ,
方向指向I1 。
0I2 2a
方向指向I2 。
I1
I2
I1dl1 F1 F2 I2dl2
B21 ⊙
B12
a
单位长度上的受力为：f F2 F1 0I1I2 l2 l1 2 a
注意与两电流元之间的作用力相区别。
9
2.电流强度的单位──安培的定义
24
本节主要研究磁化的宏观规律，重点是 磁场强度(magnetic intensity)和介质中的环 路定理，磁化的微观机理，铁磁质的磁化 规律。
§13-7−1 磁介质存在时稳恒磁场的基本规律
一、磁介质的磁化 (magnetize) 磁场强度矢量 首先介绍顺磁质的磁化机理
dl
fe
所以，安培力是洛伦兹力的宏观体现。 对于长为 L 的载流导线所受
v
I
到的安 培力， 则有
F dF Idl B
O x
fm
B
y
L
L
对于均匀磁场中的长为 L 的直线电流，则有
F ILB sin , 为电流方向与B 方向间的夹3角。
3. 应用举例
[例1] 如图所示， Idl Idlj, B Bxi By j bzk
则 M ISB sin
f2
⊙
d , , d 0
⊙
dA Md ISB sin d
d n
B
BISd (cos ) Id(BS cos )
f2 n
而 m BS cos dA Idm
f2
总功：
A
dA
m 2 Id
m1
m
I(m2
m1 )
Im
说明：① 上式对任何形状的线圈都适用；
Magnetic interaction between two parallel rectilinear currents
1.两平行长直载流导线间的相互作用力
B12
0 I1 2a
,
dF2
B12 I2dl2
0 I1 I 2 2a
dl2 ,
指向I1 。
取一段l2 , 积分得
F2
0I1I2 2a
l2 ,
2r
(3) 无限大通电平面的磁场： B 0 j / 2
1
§13-5 磁场对载流导体的作用:安培力与磁力矩 Magnetic Force on an Electric Current
一、安培力公式 一段电流元在磁场中的受力情况
1. 形式：电流元在磁 场 B 中受到的磁力为 dF，则有
大小：dF
dF
感应强度， B为磁化电流在P点产生的磁感应强度。
二、磁化电流与磁化强度关系
假设：
① 介质宏观体积内，每个分子电流 Im 都相同；
② 每个分子电流所围面积为 S0 ；
③
分子磁距
M
pm pm
取向相同。
N pm
V
V
n
pm
nI m S0
27
由特例给出(均匀磁化的柱形棒) 1. M 与磁化面电流密度 j' 的关系：
(1) 分子电流假说：安培认为，磁介质中的每一个
分子都可以看作一个环形电流，在无磁场时，这些
环形电流的磁矩方向在空间的取向是杂乱无章的。
如图所示
25
B0
Im Im
(2)顺磁质的磁化 当顺磁质中存在磁场时，分子电
流的磁矩将与磁场方向趋于一致。这就是磁介质的磁
化。如图所示。出现 束缚磁化电流
I
m
23
§13-7 磁介质 （magnetic medium）
物质（磁介质）在磁场的作用下，将发生变化， 这种变化反过来又影响原来的磁场，这种物质称为 磁介质。在磁场作用下磁介质的变化──磁化。这 个与电解质在电场中的情形类似，因此，磁介质的 描述方法及物理量与电介质非常相似。
磁介质有三种：顺磁质（paramagetic）； 抗磁质（diamagnetic）； 铁磁质（ferromagnetic）。
讨论:
1.
= 0时，M = 0，稳定。
= 时，不稳定；
nˆ
2. = /2 时，sin = 1， F3F3
B
nˆ
F3 ⊙ F4
nˆ
B
Mmax = pmB，可用此 定义 B 的大小。
⊙
B
F4 13
推广到任意形状平面线圈在均匀磁场中也成立。
对非均匀场，有：
dM dpm B,
M dM
IBdl sin
Idl B
为电流方向与B
方向：由右手螺旋法则判断。
方向间的夹角
对于长为L的载流导线
dF
所受到的安培力，则有：
F dF Idl B
L
L
B
Idl
B
Idl
2
2. 微观解释
导体通电流 I，洛伦兹力 fm ev B 作用于电子，电子
对晶格离子也有一个与fm 相同的作用力，所以洛伦兹力通
则
y
i
dF Idl B 0
Bx
j Idl By
k 0 Bz
Bz
By Idl Bx
O
x
IdlBzi IdlBxk
z
dFx IdlBz , dFy 0, dFz IdlBx
dF dFx2 dFy2 dFz2 Idl Bx2 Bz2 4
[例题2] 求直导线 AC 在磁场中的受力。
过电子和霍耳电场传给晶格离子，以产生合力为安培力。
设电流元的横截面积为 S，长为 dl，电流强度为 I，单位
体积的自由电子数为 n，则电流元中自由电子（定向运动的
载流子）总数为 dN = nSdl，所受 洛伦兹力为
dF dN (ev B) Sdl(nev B) z Sdl j B Idl B
Im
(3)为了描述分子磁矩在磁场中的取向排列的整齐
程度，定义磁化强度矢量：
M
pm
比较：
P
Pe
V
V
26
(4) 磁介质内部的磁感应强度 由于磁介质被磁化，
磁化电流将在磁介质中激发磁场，因此，磁介质中任
一点 P 的磁感应强度应该为 ：
B B B0
式中 B为 P 点的合磁感应强度，B0为外磁场在 P 点的磁
f μ0 I1 I 2
2a
令, I1 I2 I ,
则, f 0 I 2 2a
I1
I2
I1dl1 F1
F2
I 2dl 2
B21 ⊙
B12
a
令 a 1 m,
则得, I
2 f
0
f 2 107
安培(A)可定义为：真空中无限长平行载流直导线， 相距一米时，当通以相同的电流，单位长度上的 作用力为 2×10-7 N 时，则所通电流规定为1A。
② 若电流变化，则
A
Id m 2
m1
m
16
[例题1] 已知：半径为 R 的半圆形线圈，载有电流I，
处于磁感应强度为 B 的均匀 磁场中。
求: (1) 线圈在图示位置的磁力矩 M ?
(2)
当
线
圈
解：（1） M
由图 示 位
pm B
置
转
过
2
角
A?
I
pm
I
1 R2
2
方向：
R Pm B
M 1 R2 IB 方向向下。
0
2
F2
0 2
bl I1I2 ln b
bl I1I2 ln b
j
I1 O
bA
I2 F1
B
B
I2
F3
F2
x I2 C
l
x
AC边受到的力：
AC上各电流元受
取微元 I2dl 则: dF I2dl B 力方向一致。
F3
dF3
L3
I2dl
L3
0 I1 2x
0I1I2 d b l x L3 2x cos
复习：
1. 安培环路定理： B dl 0 Ii
L L内
与静电场比较： E dl 0
2. 洛仑兹公式：
L
F q(E v B)
3. 需记住的几个结论：
B 0I (r R)
(1)无限长载流圆柱导体的磁场： (2) 螺绕环内部的磁场： B 0 NI
2r
B
0 I 2R2
r
(r R)
)i
( 0I1I2l
0 I1 I 2
ln
b
l
)tg
i
2b 2
b
y
bA B
解题步骤：
(1) 取微元，Idl dF Idl B
I1
I2 F1
I2
F3
F2
(2) 分析对称性，以简化计算过程。O (3) 积分，以求得最后结果。
B x I2 C x
l
8
二、两平行长直载流导线间的相互作用─安培的定义
0
2
2
如求 AA 上任一点的磁感应强度，怎么求?
19
小 结：
1. 安培力公式： 2. 磁矩的定义：
dF
pm
Idl
NIS
B
NISnˆ
3. 磁力矩：
M
pm
B
dM dpm B
可用磁矩在磁场中受到的磁力矩定义磁感应强度。
4. 磁力的功： A
Id m 2
m1
m
I m
22
作业
P241： 19; 20; 21；23。
0 I1I2 b dx 0 I1I2 ln b l
2 cos bl x 2 cos b
7
F3
0 I1 I 2 2 cos
ln
b b
l
sini
0 I1 I 2 2 cos
ln
b b
l
Biblioteka Baidu
cosj
F
F1
F2
F3
( 0I1I2l 2b
tg
0 I1 I 2 2 cos
ln
b b
l
sin
MV MLS
pm
M
a
d
cb
又 I' S j'
M F2l1 sin IBl2l1 sin ISB sin
a I
b
F2F4cInˆ
B
F3
l1
⊙F(d4c)
B
方向：垂直屏幕面向外。
如有 N 匝，则：M NBIS
a (b)
sin
F2
nˆ
12
2. 定p义m 磁 矩IS：nˆ 线圈的磁矩
S
I
n
表示载流线圈性质的物理量，方向由线圈法线方
向则决p定mM， N法I向Sp与mN电IS流Bnˆ的方向满足⊙右F手4 螺旋法则：
L
I B
14
四、载流线圈在磁场中改变位置时磁力的功
1. 载流导线在磁场中运动时磁力的功
如图所示： F IBl
x1 x2
A Fx BIlx
磁通量变化
l F F
m m2 m1
Blx2 Blx1 Blx
x
A I m
即 A I
d m 2
m1
10
[例题] 已知：无限长导线 I1 ，无限长片 I2，a。求： 单位长度作用力。
dr
解：板上的电流密度
I1 a
j I2
I2
a
a
dF
0 I1 2
jdr r
0 I1 I 2 2 ar
dr
f
dF
2a a
0 I1 I 2 2 ar
dr
0 I1 I 2 2 a
ln 2
11
三、均匀磁场中矩形载流线圈受到的磁力矩
dq 2rdr
B
旋转时形成的电流
dI dq T 2rdr
rdr
rO R
圆环电流的磁矩
2
A'
dpm dI S rdr r 2 r 3dr
所受的磁力矩
dM dpm B sin90 Br 3dr
圆盘所受的总磁力矩
M dM B R r 3dr 1 R4B 方向：
2 注意：力矩的方向与转动方向不同。
M
(2) A I m IBS cos 0 BS cos( / 2)
IB
R2
1 R2 IB
22
17
[例题2] 一平面圆盘，半径为
中绕其轴线 AA 以角速度
转R，动面，电B 荷垂密直度转为轴
，圆盘在磁场 AA，试证明圆
盘所受力矩的大小为
R4B
M
4
A
解：取 r 处宽为 dr 的圆环，带电量为：
I1 I2 F1
I2
F3
F2
O
B x I2 C x
l
B 0I1 方向：垂直纸面向里。 2x
AB边受力为：
F1 BI2 AB
0 I1 2b
I2
AB
0 I1I2 l tg
故：
F1
0 I1 I 2 2b
2b
l tg i
6
BC受力：
y
F2
bl
b I2dxB
bl b
0 I1 2x
I2dx
m
I (m 2
m1 )
上式表明：当载流导线在磁场中运动时，如果电流保
持不变，磁力所作的功等于电流强度乘以通过回路所环
绕面积内磁通量的增量；也可以说，磁力的功等于电流 强度乘以载流导线在移动过程中所切割磁力线数。 15
2. 载流线圈在磁场中转动时磁力的功
如图所示, 载流线圈受到的磁力矩：
f2
M pm B
1. 分析
F1
l1
0
IBdl
sin(90
)
IBl1
cos
F3
l1
0
IBdl sin(90
)
IBl1 cos
F1
d
F1
与
F3
大小相等，反向共线。
即 F1 F3 0 M13 0
F2
l2 0
IBdl
IBl2
l2
F4
l2 0
IBdl
IBl2
F2 与 F4 大小相等，反向不共线。
磁场对线圈 abcd 产生的磁力矩
解：由安培力公式得
F dF Idl B
L
L
L
F 0 IdlBsin
IBLsin
B
Idl
A Idl C
L
方向：垂直纸面向外。
5
[例题3] 载有电流 I1 的长直导
线边有一与之共面的载有电流为
y
bA
B
I2 的三角形导线，求 I1 作用于三
角形各个边的磁场力？
解：电流 I1 在三角形区域产 生的磁场为：
0
4
18
引申： 本题如求盘心处的 B 值，则应如何求?
解：取 r 处宽为 dr 的圆环，带电量为： A
dq 2rdr
B
旋转时形成的电流
dI dqf 2rdr rdr 2
rO R
在 O 点处产生的磁场为：
A'
dB 0dI
2r
0 rdr
2r
0dr / 2
B R 0 dr 0 R
同理得： B21
F1
0 I1 I 2 2a
l1 ,
方向指向I1 。
0I2 2a
方向指向I2 。
I1
I2
I1dl1 F1 F2 I2dl2
B21 ⊙
B12
a
单位长度上的受力为：f F2 F1 0I1I2 l2 l1 2 a
注意与两电流元之间的作用力相区别。
9
2.电流强度的单位──安培的定义