2012年高考模拟试题(数学1)

2012年高考模拟试题(数学1)
2012年高考模拟试题 数 学（理科第Ⅰ卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。

） 1. 若集合}22{+=+=x x x
A ，},02{2>+=x x
B 则=⋂B A
A ．)0,2(-
B ．)0,2[-
C ． ),0(+∞
D ．),0[+∞
2. 复数i
i
-12的共轭复数是 A ．i -1 B ．i +1 C ．i +-1 D ．i --1
3．已知4
3
)4sin(-=+πx ，则x 2sin 的值是
A ．8
1-
B ．81
C ．42
D ．42-
4. 抛物线x y 122
-=的准线与双曲线13
92
2=-y x 的两条渐近线所围成的三角形面积是 A ．3 B ．32 C ．2 D ．33
5. A 、B 两名同学在4次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A 、B 的平均成绩分
别是A X 、B X ，则下列结论正确的是
A ．A X >
B X ,B 比A 的成绩稳定
B ．A X <B X ,B 比A 的成绩稳定
C ．A X >B X ,A 比B 的成绩稳定
D ．A X <B X , A 比B 的成绩稳定
6. 双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过的直线与
双曲线的右支交与A 、B 两点，若△AB F 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2
e A ．323- B ．323+ C ．225+ D ．225-
A B 6 4 9 8
5 10 3 7 11 2 7 12
校对修改版
10.现将一个边不等的凸五边形的各边进行染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则共有（ ）种染色方法
A ．30
B ．36
C ．48
D ．50 11.下列命题中正确的一项是 A ．“2
1
=
m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互平行”的充分不必要条件
B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件
C ．已知a ,b ,c 为非零向量，则“a •b=a •c ”是“b=c ”的充要条件
D ．R x p ∈∃:，0222≤++x x 。

则R x p ∈∀⌝:，0222
>++x x 12.若)()
(R x x a x a x a a x ∈+⋯+++=-2012201222102012
21，
则)()()()(20120302010a a a a a a a a ++⋯++++++=
A ．2009
B ．2010
C ．2011
D ．2012
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设6
12)()(+=x x f ，则)(x f y =的导函数)(x f y '=展开式中2
x 的系数为 。

14.以曲线x
e y =，2=x
，1=y 围成封闭图形的面积是 。

15.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆
2212516x y +=上，则sin sin sin A C
B
+= 。

16. 若实数y x 、满足⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 0
2且y x z +=2的最小值为3，则实数=b 。

三．解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）
在等比数列}{n a 中，21=a ，164=a 。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令1
22log log 1+⋅=n n n a a b ，*
N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和n S 。

18.（本小题满分12分）
袋中有6张卡片，编号分别是1、2、3、4、5、6，现从袋中任意抽取3张卡片，并记号码最大的为ξ
（1）求ξ的分布列和期望；
（2）若3张卡片是有放回的抽取，则最大号码为4的概率是多少？
19.（本小题满分12分）
如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，E 、F 分别是PC 、PD 的中点，1PA AB ==，2=BC ． （1）求证：EF ∥平面PAB ； （2）求证：平面⊥PAD 平面PDC ； （3）求二面角B PD A --的余弦值．
20.（本小题满分12分）
已知函数
32121)(x
x x x f ++=
（1）求)(x f y =在]21
,4[--上的最值；
（2）若0≥a ，求3221)(x
a
x x x g ++=的极值点。

21.（本小题满分12分）
已知1F 、2F 分别为椭圆1C ：)0(122
22>>=+b a b
x a y 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线
2C ：y x 42=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且3
5
1=
MF 。

（1）求椭圆的方程；
（2）已知点P （1，3）和圆O ：2
2
2
b y x =+，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同
的两点A ，B ，在线段AB 取一点Q ，满足：→
→
-=PB AP λ，→
→
=QB AQ λ（0
≠λ且1±≠λ
）。

求证：点Q 总在某定直线上。

请考生在第22，23，24题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，交CD 于E ，交圆于F ，过A 点的切线交DC
的延长线于P ，PC=ED=1，PA=2。

（1）求AC 的长； （2）求证：BE=EF
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6
π
α=
，
（1）写出直线l 的参数方程； （2）设l 与圆)(sin 2cos 2R y x ∈⎩
⎨⎧==θθθ
相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点间的距离之积。

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． （1）求m 的取值范围；
（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．
2012年高考模拟试题 数 学（理科第Ⅰ卷）答题卡
考试说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间
120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

（2）请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，在草稿纸和试卷上答题视为无效。

（3）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄皱，不准使用涂改液和刮纸刀等用具。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。

）
1. □
A □
B □
C □
D 2. □A □B □C □D 3. □A □B □C □D 4. □A □B □C □D 5. □
A □
B □
C □
D 6. □A □B □C □D 7. □A □B □C □D 8. □A □B □C □D 9. □
A □
B □
C □
D 10. □A □B □C □D 11. □A □B □C □D 12. □A □B □C □D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
三．解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）
18.（本小题满分12分）
方 框 外 禁 止
19.（本小题满分12分）
20.（本小题满分12分）方框外禁止
21.（本小题满分12分）
请考生在第22，23，24题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。

所选题号□22□23□24方框外禁止
（第22题图）
2012年高考模拟试题
数学（理科第Ⅰ卷）参考答案及评分标准一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。

）
方框外禁止
答案
C
B
B
D
A
D
C
C
B
A
D
D
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 480 14. 32
-e 15.
45 16. 4
9 三．解答题（本大题共6小题，共70分。

） 17.（1）设等比数列}{n a 的公比为q 。

依题意可得⎩⎨⎧===162
3
14
1q a a a ………………（2分），解得q =2，………………（4分） ∴数列}{n a 的通项公式n n n a 22
21
=⨯=-………………（7分）
（2）由（1）得n a n =2log ，1log 12+=+n a n
1
11)1(1+-=+=
n n n n b n ………………（10分）
∴1
111)111()3121()211(21+=
+-=+-++-+-=+++=n n
n n n b b b S n n
………………（12分）
18.以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0P D C B A ∴⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⎪⎭⎫
⎝⎛21,1,0,21,1,21F E ，
⎪⎭⎫
⎝⎛-=0,0,21EF ，()1,0,1-=PB ，
()1,2,0-=PD ，()1,0,0=AP ，()0,2,0=AD ，()0,0,1=DC ，()0,0,1=AB ． 3分
（1）∵,2
1
AB EF -
= ∴EF ∥AB ，即EF ∥AB ，
又⊂AB 平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ． 6分
(2)∵()()00,0,11,0,0=⋅=⋅DC AP ，()()00,0,10,2,0=⋅=⋅DC AD ， ∴DC AD DC AP ⊥⊥,，即DC AD DC AP ⊥⊥,．
x
z
数学答案（ 第 1 页 共 5 页 ）
又PAD AD PAD AP A AD AP 面面⊂⊂=,, ， ∴PAD DC 平面⊥． ∵PDC DC 平面⊂，
∴平面PDC PAD 平面⊥． 9分 （3）设平面PBD 的一个法向量()z y x ,,=n ，则
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅=⋅00PD PB n n ，即⎩⎨⎧=-=-020z y z x ，解得平面APC 的一个法向量()2,1,2=n ．
而平面APD 的一个法向量是()0,0,1=，设二面角B PD A --为θ，则
()()3
21
30,0,12,1,2cos =⨯⋅=
θ．
即二面角B PD A --的余弦值为3
2
． 12分 19. （1）
………………（4分）
25.535.16.015.0=+++=ξE ………………（6分）
（2）216
37
666333444=
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
P
………………（12分）
20. （1）
4
)
3)(1()(x
x x x f ++-
='………………（1分） 当13,0)(-<<->'x x f
当+∞<<<<--<<-∞<'x x x x f 0,01,3,0)(
∴最大值为0，最小值为2- ………………（6分）
（2）4
234)(x
a x x x g ++-=' 设a x x u 342
++=
a 1216-=∆
当3
4
≥a 时，0)(,0≤'≤∆x g ，所以)(x g y =没有极值点 ………………（8分）
当3
4
0<<a 时，0342,34221<-+-=---=a x a x
减区间：)0,(),,(21x x -∞ 增区间：),(21x x
∴有两个极值点21,x x ………………（9分） 当0=a
时，324)(,21)(x
x x g x x x g +-='+=
减区间：)4,(--∞ 增区间：)0,4(-
∴有一个极值点4-=x ………………（10分）
综上所述：当0=a 时有一个极值点4-=x ；当3
4
0<
<a 时有两个极值点21,x x ；当3
4
≥
a
时没有极值点。

………………（12分）
21. （1）由2C ：y x 42
=知1F （0，1），设)0)((00,0<x y x M ，因M 在抛物线2C 上，故 02
04y x = ① 又
351=
MF ，则3
5
10=+y ②， 由①②解得3
2
,36200=-
=y x ………………（3分） 椭圆1C 的两个焦点1F （0，1），)1,0(2-F ，点M 在椭圆上， 有椭圆定义可得
212MF MF a += +-+--
=22)132()0362(22)13
2()0362(++-- 4=
∴,2=a 又1=c ，∴32
2
2
=-=c a b ，
椭圆1C 的方程为：
42y 6分） （2）设),(),,(),,(2211y x Q y x B y x A ，
由→
→
-=PB AP λ可得：)3,1()3,1(2211---=--y x y x λ，
⎩⎨
⎧-=--=-)
1(312121λλλ
λy y x x 即
………………（9分）
由→
→
=QB AQ λ可得：),(),(2211y y x x y y x x --=--λ，
⎩⎨
⎧+=++=+y y y x
x x )1()1(21
21λλλλ 即
⑤×⑦得：x x x )1(2
2
22
2
1λλ-=-
⑥×⑧得：)1(32
2
22
2
1λλλ-=-y y ………………（10分） 两式相加得)3)(1()()(2
2
22
22
2
12
1y x y x y x +-=+-+λλ ………………（11分） 又点A ，B 在圆32
2
=+y x 上，且1±≠λ，
所以32
12
1=+y x ，32
22
2=+y x
即33=+y x ，所以点Q 总在定直线33=+y x 上 ………………（12分）
22. （1）PD PC PA ·
2
= ，41,2=∴==PD PC PA ，
又2,
1=∴==CE ED PC ………………（3分）
∴∠=∠∠=∠,,CAB PCA CBA PAC △PAC ∽△CBA 22
·2===∴=∴
AC AB PC AC AB
AC
AC PC ………………（7分）
（2）2,··
===AC BE EF BE ED CE
BE EF EF =∴=⨯=
∴22
12 ………………（10分）
23.（1）直线l 的参数方程）（是参数t t
y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=211231 ………………（2分）
（2）因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设点A ，B 所对应的参数分别为1t 和2t ，则点
A ，
B 的坐标分别为A )211,231(11t t ++
，B )2
1
1,231(22t t ++ 数学答案（ 第 4 页 共 5 页 ）
………………（4分）
以直线l 的参数方程代人圆的方程42
2
=+y x 整理得到
02)13(2=-++t t ① ………………
（8分）
因为1t 和2t 是方程①的解，从而221-=t t 所以
22·21=-==t t PB PA ………………（10分）
24. （1）设|1||7|)(-++=x x x f
则有⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤--≤--=1,6217,87
,26)(x x x x x x f ………………（1分）
当7-≤x 时)(x f 有最小值8 ………………（2分）
当
1
7≤≤-x 时
)
(x f 有最小值
8 ………………（3分）当1≥x 时)(x f 有最小值8 ………………（4分） 综
上
)
(x f 有最小值
8 ………………（5分）所以
8≤m ………………（6
分）
（2）当m 取最大值时8=m
原不等式等价于：42|3|≤--x x ………………（7分）
等价于：⎩⎨
⎧≤--≥4233x x x 或⎩⎨⎧≤--≤4
233
x x x ………………（8分）
等价于：3≥x 或33
1
≤≤-x ………………（9分） 所以原不等式的解集为}3
1
|{-≥x x ………………（10分）
数学答案（ 第 5 页 共 5 页 ）。