西安高新第一中学初中校区东区初级中学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．lg y x = C ．()f x x =- D ．()cos f x x =
2．若将函数1()sin 223f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）
A ．3,()4
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．,()4
4k k k Z π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．2,()36k k k Z ππππ⎡
⎤
-
-∈⎢⎥⎣
⎦
D ．5,()12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
3．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2α
α
=-（ ）
A ．2425
-
B ．725
-
C ．7-
D ．17
-
4．下列三个关于函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
的命题：
①只需将函数()2g x x =
的图象向右平移6
π
个单位即可得到()f x 的图象；
②函数()f x 的图象关于5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③函数()f x 在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增． 其中，真命题的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．已知函数()2
2
sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称
C ．()f x 的最小正周期为
2
π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点
6．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫
=+>>-
<< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x =（ ）
A ．sin 6x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
B ．sin 3x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．sin 6x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．sin 3x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
7．设1
cos 3
x =-，则cos2x =（ ） A ．
13
B ．
22
3
C ．
79
D ．79
-
8．2cos 23sin 2cos(
)
4
θ
θ
π
θ=-，则sin 2θ=（ ）
A ．
13
B ．
23
C ．23
-
D ．13
-
9．已知()1
sin 2
=
-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
10．已知,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
且1sin 23πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ）
A ．-
B ．
C ．4
-
D ．
4
11．已知1
sin()43π
α-=，则cos()4
πα+=（ ）
A ．1
3-
B ．
13
C ．
D 12．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝
⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝
⎭（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．将函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
4
π
单位，所得到的函数解析式是_________. 14．在ABC 中，tan 1A =，tan 2B =，则tan C =______.
15．在半径为2米的圆形弯道中，56
π
角所对应的弯道为_________． 16．已知函数7()4sin 2066
f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=+
≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，若函数()()F x f x a =-恰有3个零点，分别为()123123,,x x x x x x <<，则1232x x x ++的值为________. 17．已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________.
18．已知函数()log (21)3a f x x =-+的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，始边与x 轴的正半轴重合，则tan3α的值为__________. 19．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为
4
π，则()()tan 06g x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的最小正周期为______．
20．已知7
sin cos 17
αα+=
，()0,απ∈，则tan α= ________. 三、解答题
21．已知p :x R ∀∈，||1x m +≥.q ：0,
3x π⎡
⎤
∃∈⎢⎥⎣
⎦
，tan x m ≥.
（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围.
（2）若p ⌝为真命题，p q ∨也为真命题，求实数m 的取值范围.
22．有一展馆形状是边长为2的等边三角形ABC ，DE 把展馆分成上下两部分面积比为1：2（如图所示），其中D 在AB 上，E 在AC 上.
（1）若D 是AB 中点，求AE 的值； （2）设AD x =，ED y =. ①求用x 表示y 的函数关系式；
②若DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？ 23．已知函数()sin 31f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移
π
6
个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ
[,]22
x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.
24．已知函数()(cos sin )cos f x x x x =+⋅． （1）求函数()f x 的最小正周期T ； （2）当,44x ππ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣
⎭时，求函数()f x 的值域． 25．已知1cos cos 634ππαα⎛⎫⎛⎫
+-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，,32
ππ
α
．
（1）求sin 2α的值； （2）求1
tan tan αα
-
的值． 26．已知函数3()sin(2)4
f x x π=- （1）求()8
f π
的值；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据基本初等函数的性质，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】
对于A 中，函数()sin f x x =，根据正弦函数的性质，可得函数()sin f x x =在[]1,1-上单调递增，不符合题意；
对于B 中，函数lg y x =，满足()()lg lg f x x x f x -=-==，所以函数lg y x =为偶函数，不符合题意；
对于C 中，函数()f x x =-，根据一次函数的性质，可得函数()f x x =-为奇函数，且在
[]1,1-上单调递减函数，符合题意；
对于D 中，函数()cos f x x =，满足()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以函数
()cos f x x =为偶函数，不符合题意.
故选：C.
2．A
解析：A 【分析】 求出()1sin 22
g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤
+∈ππ
ππ即可解出增区间. 【详解】 由题可知()()111
sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 令
()32222
2k x k k Z +≤≤
+∈π
π
ππ，解得()344
k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦. 故选：A.
3．D
解析：D 【分析】
利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】
因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-，
代入22sin cos 1αα+=得()2
2sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5
α
，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，
所以4324
sin 22sin cos 25525
ααα⎛⎫==⨯
⨯-=- ⎪⎝⎭， 2
2
47cos 212sin 12525αα⎛⎫
=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
cos 211sin 2717
252425αα-
==--⎛⎫
- ⎪⎭
-⎝， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.
4．C
解析：C 【分析】
先对函数()f x
进行化简，得到()26f x x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，对于①运用三角函数图像平移进
行判断；对于②计算出函数()f x 的对称中心进行判断；对于③计算出函数()f x 的单调增区间进行判断. 【详解】
因为1()sin 2sin 2sin 22sin 232f x x x x x x π⎛
⎫
=-
+=+ ⎪⎝
⎭
3sin 2222
x x =-
26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
对于①，将函数(
)2g x x =的图像向右平移
6
π
个单位可得函数23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
的图像，得不到()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故①错误； 对于②，令()26
x k k Z π
π-
=∈，解得()12
2
k x k Z π
π
=
+
∈，故无论k 取何整数，函数()f x 的图像不会关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，故②错误；
对于③，当()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，即()
6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈时函数()f x 递增，当0k =时，()f x 的一个递增区间为,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦，故③正确.只有1个命题正确. 故选：C 【点睛】
思路点睛：解答此类题目需要熟练掌握正弦型函数的单调性、对称性，以及三角函数的图像平移，在计算单调区间和对称中心时要能够通过整体代入计算求出结果，如
()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈等.
5．B
解析：B 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】
()
22
sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
故最大值为2，A 错
22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故关于3x π=对称，B 对
最小正周期为
22
π
π=，C 错 ()26
x k k Z π
π-
=∈解得()12
2k x k Z π
π=
+
∈，12
x π=和712x π
=都是零点，故D 错.
故选：B 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T π
ω
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的
判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．
6．C
解析：C 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】
解：由图象可得1A =，再根据3513
4362
T =-=，可得2T =， 所以22
π
ωπ=
=， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯
+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：C.
7．D
解析：D 【分析】
利用二倍角的余弦公式可得解. 【详解】
1
cos 3
x =-，
2
2
12723cos 22cos 11199x x ⎛⎫
=-== ⎪⎝⎭
∴=----
故选：D.
8．B
解析：B 【分析】
由二倍角公式和差的余弦公式化简得出(
)2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】
)
22cos sin 2cos()
cos
cos sin
sin 44
4
θθ
θπ
π
π
θθθ
-=-+
()
cos sin cos sin 2cos sin θθθθθθ+-=
=-，
()2cos sin 2θθθ∴-=，
两边平方得()2
41sin 23sin 2θθ-=，
解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23
θ=. 故选：B. 【点睛】
关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差
的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.
9．B
解析：B 【分析】
先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】
()()1
sin 2
f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，
∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；
当π
2x =
时，ππ1024
f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】
根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；
（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项； （3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.
10．A
解析：A 【分析】
由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】
因为1sin cos 23παα⎛
⎫
+
==- ⎪⎝
⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3
α=
所以()sin tan tan cos α
απαα
+===-故选：A
11．A
解析：A 【分析】 运用α-、2
π
α-的诱导公式，计算即可得到.
【详解】 解：1
sin()43π
α-
=，即为1sin()43
πα-=-，
即有1sin[
()]243π
πα-+=-， 即1
cos()43
π
α+=-. 故选：A.
12．A
解析：A 【分析】
根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果. 【详解】 因为tan 62πα⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
-
，()tan 3αβ+=-， 则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛
⎫ ⎪
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝
⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-
12332
1=
=-⨯--.
故选：A. 二、填空题
13．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为： 解析：()sin f x x =
【分析】
利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】 函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到sin 4y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 再向右平移
4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭，
故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.
14．3【分析】由已知和正切和角公式求得再利用三角形的内角和公式和诱导公
式可得答案【详解】中有所以所以故答案为：3
解析：3 【分析】
由已知和正切和角公式求得()tan +A B ，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案． 【详解】
ABC 中，有++A B C π=，所以()()tan tan +tan +C A B A B π⎡⎤=-=-⎣⎦，
()tan +tan 1+2
tan +31tan tan 112
A B A B A B =
==---⨯，所以tan 3C =，
故答案为：3. 15．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：
53
π 【分析】
根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】
由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263
ππ⨯=. 故答案为：
53
π. 16．【分析】令则通过正弦函数的对称轴方程求出函数的对称轴方程分别为和结合图像可知从而求得进而求得的值【详解】令则函数恰有3零点等价于的图像与直线恰有3个交点即与直线恰有3个交点设为如图函数的图像取得最值 解析：
53
π
【分析】 令26x t π
+
=，则5,62t ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为2
t π
=
和32
t π=
，结合图像可知12t t π+=，233t t π+=，从而求得123x x π
+=，
2343
x x π
+=
，进而求得1232x x x ++的值． 【详解】 令26x t π
+
=，则5,62t ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
函数()()F x f x a =-恰有3零点，等价于()y f x =的图像与直线y a =恰有3个交点，即4sin y t =与直线y a =恰有3个交点，设为123,,t t t ，如图
函数4sin y t =，5,62t ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
的图像取得最值有2个t 值，分别为2t π=和32t π=，由正
弦函数图像的对称性可得12122226
6
2
t t x x π
π
π
π+=+
++
=⨯
=，即123
x x π
+=
2323322236
6
2
t t x x π
π
ππ+=+
++
=⨯
=，即2343x x π
+=，
故12312234523
33
x x x x x x x π
ππ++=+++=+
= ， 故答案为：53
π
． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．【分析】根据可得的值而再将分子分母同除以化成关于的分式即可解【详解】由得则有；故答案为：【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式： 解析：
3
5
【分析】
根据2sin cos 0αα-=，可得tan α的值，而
2222sin 2sin cos sin 2sin cos 1sin cos αααααα
αα
--=
+， 再将222
sin 2sin cos sin cos ααα
αα-+分子分母同除以2cos α化成关于tan α的分式即可解. 【详解】
由2sin cos 0αα-=， 得1tan 2
α=
， 则有222222
sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1
ααααααααααα---==++ 2
2112322
5112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
；
故答案为：35
. 【点睛】
方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：
22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θ
θθ
=
，tan cot 1θθ⋅=. 18．【分析】先求出定点为再利用正切函数的两角和公式求解即可【详解】函数的图象过定点可得定点为又由角的终边过点且始边与轴的正半轴重合故答案为： 解析：
913
【分析】
先求出定点P 为(1,3)，再利用正切函数的两角和公式求解即可 【详解】
函数()log (21)3a f x x =-+的图象过定点P ，可得定点P 为(1,3)，又由角α的终边过点
P ，且始边与x 轴的正半轴重合，3tan 31
α
，22tan 3
tan 21tan 4
ααα∴=
=--，
tan 2tan 9
tan 31tan 2tan 13
ααααα+=
=-
故答案为：
913
19．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：
解析：
8
π 【分析】 先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x 的最小正周期. 【详解】
()()2sin 03f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=
所以()tan 86g x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为8
T π
=
故答案为：
8
π 20．【分析】根据已知条件求得的值由此求得的值【详解】依题意两边平方得而所以所以由解得所以故答案为：【点睛】知道其中一个可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个在求解过程中要注意角的范围 解析：158
-
【分析】
根据已知条件求得sin ,cos αα的值，由此求得tan α的值. 【详解】
依题意7
sin cos 17
αα+=
，两边平方得 4924012sin cos ,2sin cos 0289289
αααα+=
=-<， 而()0,απ∈，所以sin 0,cos 0αα><， 所以
23
sin cos 17
αα-=
===
. 由7sin cos 17
23
sin cos 17αααα⎧
+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
解得158sin ,cos 1717αα==-， 所以sin 15
tan cos 8ααα=
=-. 故答案为：15
8
-
【点睛】
sin cos ,sin cos αααα±知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两
个，在求解过程中要注意角的范围.
三、解答题
21．（1）(,1]-∞；（
2）. 【分析】
（1）根据p 为真命题，得到||1x m +≥，在x ∈R 上恒成立，求出()min ||1x +即可得实
数m 的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真，判断出q 为真命题，求出()max tan x ，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
（1）若p 为真命题，
则||1x m +≥，在x ∈R 上恒成立， 即()min ||1x m +≥， 当0x =时，()min ||11x +=， ∴1m ，
即m 的取值范围为(],1-∞. （2）若p ⌝为真命题， 则p 为假命题， ∴1m ，
∵p q ∨为真命题， ∴
q 为真命题，
q :0,3x π⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
，tan x m ≥，
即()max tan x m ≥，
即tan tan 3
x π
≤=
∴
m ≤， ∴1m <≤
综上m 的取值范围是. 【点睛】
方法点睛：不等式成立问题中要注意等价转化，不等式()f x A ≥恒成立，则
min ()f x A ≥；存在x ，使不等式()f x A ≥成立，则max ()f x A ≥，不存在x ，使不等式
()f x A ≥成立，则max ()f x A <．
22．（1）43AE =；（2）①2,23y x ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
；②//DE BC . 【分析】
（1）利用三角形的面积公式，得到4
3
AD AE ⋅=，根据D 是AB 中点，即可求得AE 的长；
（2）对于①中，由（1）得到4433AE AD x
==，求得2
23x ≤≤，在ADE 中，由余弦
定理，即可求得函数的解析式；
②根据DE 是消防水管，结合基本不等式，即可求得x 的值，得到DE 的位置. 【详解】
（1）依题意，可得211112sin 60sin 603322
ADE ABC S S AD AE ==⋅⋅⋅︒==⋅︒△△ 解得4
3
AD AE ⋅=
， 又因为D 是AB 中点，则1AD =，所以43
AE =. （2）对于①中，由（1）得43AD AE ⋅=，所以44
33AE AD x
=
=， 因为2AE ≤，可得2
3x ≥
，所以223
x ≤≤， 在ADE 中，由余弦定理得
222222
164
2cos6093
y DE AD AE AD AE x x ==+-⋅⋅︒=+
-，
所以2,23y x ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦
.
②如果DE 是消防水管，可得3
y =≥=，
当且仅当2
43x =
，即3
x =，等号成立．
此时3
AE =，故//DE BC ，且消防水管路线最短为3DE =. 【点睛】
利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：
利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； 根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； 在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 23．（Ⅰ）2
=3
απ或53
π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.
【分析】
（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π
=+
+，则可得sin(+)03
π
α=，即可求出；
（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+
13g x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】
解：（Ⅰ）由()sin 2sin()13
1f x x x x π
=++=++，
由()=2sin()113f π
αα+
+=，得sin(+)03
π
α=， 又[0,2]απ∈， 得2=3
απ或
5
3
π； （Ⅱ）由题知，2sin(23
(2)1)x f x π
+
=+
2()2sin 2++12sin 2+
1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 由()2g x ≤，得21
sin(2)32
x π+≤， ∴72+22+2,636
k x k k Z πππ
ππ-
≤+≤∈， 22x π
π
-≤≤
，2523
33
x π
ππ-
≤+
≤， ∴223
3
6
x π
π
π
-
≤+
≤
，或
5252633
x πππ≤+≤， ∴2
4
x π
π
-
≤≤-
，或
122x π
π
≤≤
， 即所求x 的集合为{|2
4
x x π
π
-≤≤-
或
}122
x ππ
≤≤. 【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出
2()2sin 2+
13g x x π⎛
⎫
=+ ⎪
⎝⎭
，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解.
24．（1）π；（2）0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简()f x ，再根据最小正周期的计算公式求解出
T ；
（2）采用整体替换的方法，先确定出24x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的取值范围，然后根据正弦函数的单调性
确定出()()max min ,f x f x ，由此求解出()f x 在,44ππ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
上的值域. 【详解】
（1）因为21cos 211()cos sin cos sin 2222242x f x x x x x x π+⎛
⎫=+=
+=++ ⎪⎝
⎭，
所以22
T π
π=
=； （2）因为,44x ππ⎡⎫∈-
⎪⎢⎣⎭
，所以32,444x πππ⎛
⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，
又因为sin y x =在,42ππ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭上单调递增，在3,24
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，且3sin 0sin 44ππ⎛⎫
-<< ⎪⎝⎭
，
所以()max
1
22f x π=+=8x π=，
()min 1
0242
f x π⎛⎫=
-+= ⎪⎝⎭，此时4πx =-，
所以()f x 的值域为0,2⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦.
【点睛】
思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围； （2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值.
25．（1）1
2
；（2） 【分析】
（1）利用诱导公式以及二倍角公式可得1sin 232
πα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭，再由sin 2sin 233ππαα⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式即可求解.
（2）根据切化弦以及二倍角公式即可求解. 【详解】 解：（1）cos cos cos sin 6366ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11
sin 2234
πα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 即1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪
⎝
⎭， 因为,
32ππ
α
，所以42,33
π
π
απ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
，
所以cos 23πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭， 所以sin 2sin 233ππαα⎡⎤
⎛⎫=+
-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
sin 2cos cos 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
111
222⎛=-⨯-= ⎝⎭
． （2）因为,
32ππ
α
，所以22,3παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
， 又由（1）知1sin 22
α=
，所以cos 22
α=-． 所以221sin cos sin cos tan tan cos sin sin cos αααα
αααααα
--=-
=
2cos 2221sin 22
αα
-==-⨯=
26．（1）()18
f π
=-；（2）5,8
8k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（3）作图见解析. 【分析】
（1）直接代入求值；（2）解不等式32222
42
k x k π
ππ
ππ-≤-
≤+得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可 【详解】
解：（1）()sin()18
2
f ππ
=-
=-
（2）当3222242k x k π
ππ
ππ-
≤-
≤+时，()f x 单调递增
解得：5,88
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+
∈ 故()f x 的单调递增区间为：5,8
8k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
（3）先列表
324
x π-
-
34
π -
2
π 0
2
π π
54
π ()f x
22
- -1 0 1
22
-。