关于2个丢番图方程的求解
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引理 Ⅲ 设Ｍ是唯一分解环， 正整数ｋ ，口 ｅ ， ＝ 那么， ２ ， Ｍ， ） Ｔ， 若 ＝ ， ∈ ， Ｍ
番图方程的整数解 问题．
定义 １】 设 １ ｏ是 Ｑ√ 的一组基 ， 【 ｌ ，ｃ ２ （ ） 如果任意 ∈ √ 必可表为 ＝ Ｏ ＋ （ ，２ ｚ ） （ ） Ｕ） ｖ ２ “ １ ｌ ６ ，
则称 ，国 是 Ｑ √ 的一组整基 ，也称为是 （Ｄ） ２ （Ｄ） √ 的一组整基．
文章 编号 ：１０ — ８ ２ １ ）０— ０３ ０ ０ ７９ ３ １（ ０ ６ ０２— ３ １
关于 ２ 个丢番图方程的求解
李亚卓
（ 陕西教育学院 期刊编辑部 ，陕西 西安 ７０ ６ ） １０ １
摘要：用 代数数论方法证明了 丢番图方程 一 ３ ４ １＝ ｙ 仅有整数解（ ｙ＝ ±， １以 ） （ 一） 及丢番图 ， ３ 方
高 师 理 科 学 刊
第 ３ 卷 １
பைடு நூலகம்
４ ；， ，，是 Ｐｌ － ， ｌ ｅ 方程 一Ｂ ：的最小正解； ６ ｌ ｏ ｏ ｌ ｙ ＝５ １
（ Ｄ，１４ 有ｍｎ＝ｏｌ １＝± ）中 ５ ＞。ｍ） ±＋）（ｎ （１，， ： ） ． 兰ｄ，（ ｏ － 足，…其 当 １ （ 时 ｏ￣ ｍ２ ｏ ｏ ＿ ＋ ±２
分别用代数数论和算术几何方法解决了一些特殊情况．
对 些Ｄ 其 次 √ 是Ｅｃ 域 此 在 些 次 数 数 √ ）算 基 定 成 可 某 ， 二 域Ｑ ｕｉ ， 时 这 二 代 整 环 （ 上 术 本 理 立， ｌ ｄ １ １ ： ￣ ｚ 同 的 除 论 解 定 程 Ｄ ４ ， ． 中 样 整 理 去 不 方 ＋ ＝ｐ ｎＮ） ｅ
方法 ，就是把所给 的丢番图方程放在代数数域中考虑 ，通过代数整数环性质的讨论，使问题得到简化或展
开， 综合利用其他方法 （ 一般是初等方法 ） 处理展开或简化后方程的方法．作为代数数论 的重要组成部分 ， 二次域以及二次域 中的算术对研究丢番图方程有着重要的作用 ．本文利用二次域的一些性质解决了 ２ 个丢
一
Ｋｅ ｒ ｓ Ｄｉｐ ａ ｔ ｅｅ ｕ ｔ ｎ； ｉｔｇ ｒ ｏｕｉｎ； Ｅ ｃｉ ｒａ ｙｗｏｄ ： ｏ ｈ ｎｉ ｑ ａｉ ｎ ｏ ｎｅ ｅ ｌｔ ｓ ｏ ｕ ｌ ａｅ ｄ
１ 引言及预备知识
代数数论 已经成为数论 中的一个内容异常丰富的分支 ， 也是研究丢番图方程的重要工具“ ．代数数论
定义 ２ Ｉ
若ｓ 和 都是代数整数 ，则 成为单位数．
引理 １＿ 在二次域 Ｑ √ 中的单位数是 ： Ｉ ｌ 幅 （ Ｄ）
（ ）当Ｄ＝ ２ Ｄ ５ ，仅有 ± ； １ 一 或 一 时 １ （ ）当Ｄ＝ １ ， ± ，＋ ； ２ 一 时 有 １ ｉ
１ ．二 ／
（ ）当Ｄ＝一 时，有 ± ，±．± ； ３ ３ １ —
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则 ＝ ｌ ， ＝ ２ ， ， ∈ ， 中：ｓ， 是 Ｍ 中的单位元素 ，且 ＝ｓ ， 为单位元素． Ｖ Ｍ 其 １ ２ ｌ ２
２ 主要结果及证 明
对于 广义 Ｒｍｎａ ，ｇｌ ＋ ＝ ｐ ， Ｎ ）， 里Ｄ 适合ｐ 的 奇数， 献［ ５ ａａ ｊ一ａ ｌ方程 ｕｎＮ ｅ Ｄ ４ ∈ 这 是 ｌ 正 Ｄ 文 ４】 —
Ｚ Ｚ
（） ４ 当Ｄ＞１ － ，Ｄ三 ， （ｏ ４ 时， ２ ３ ｄ ） 有±（０ Ｏ ） ±， ＋ Ｏ －） ｋ ±， ２ … ） 其中： ＝ ｍ ， ＋ｎｃ ＝ （０ ｎ４ （ ＝ ｌ± ， ， ｏ ｇ
收 稿 日期 ：２ １—６ ｌ ０ １ ０一 Ｏ
作者简介：李亚卓 （ ９９ ）， ， １７－ 女 陕西蒲城人 ， 助理编辑 ， 硕士， 从事数论研究．Ｅ ｍ ｉ ｌ ａｆ ６． ｒ — ａ ：ｙ ｋ ３ｏ ｌ ｚ ＠１ ｃｎ
第 ３ 卷 第 ６ １ 期
２ １ 年 １ 月 ０１ １
高 师 理 科 学 刊
Ｊｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ Ｕ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｎ ｏＳ Ｔ ｙ
Ｖ０ ． １ Ｎｏ６ １３ ． ＮＯ ． ２ １ Ｖ ０ ｌ
Ａ ｓ ａ ｔ Ｄｉ ｕ ｓ ｄ ｔ ｏ ｈ ｎｉｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｉ ｅ ａｇｂ ａｃ ｎ ｍｂ ｒ ｔｅ ｒ ． Ｔ ｅ Ｄｉｐ ａ ｔ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｂ ｔ ｃ ： ｓ ｓｅ ｗｏ Ｄｉｐ ａ ｔ ｑ ａｉ ｓ ｗ ｔ ｔ ｌｅ ｒｉ ｕ ｅ ｏｙ ｈ ｏ ｈ ｎｉ ｑ ａｉ ｓ ｒ ｃ ｎ ｏ ｈｈ ｈ ｎ ｏ
程 ＋ ＝Ｙ 仅有整数解（， ） （５ ） ２ ｙ ＝＋，３．
关键词：不定方程 ；整数解；Ｅ ｃｄ ｕｌ 域 ｉ
中图分类号：０ ５ １６ 文献标识码 ：Ａ ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８ １ ０ １ ６ ０ ｏ：１． ６ ／ ｓ １ ７９ ３． １． ． ８ ３ ｊ ｎ０ ｉ ２ ００
Ｏｎ ｔｅｓ ｌ ｔ ｎ ｆ ｗｏＤｉｐ ａ ｔ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ｈ ｎ ｉ ｑ ａｉ ｈ ｏ ｏｔ ｎ ｏ
Ｌ －ｈ ｏ Ｉ Ｙａ ｚ ｕ
（ ｅ ａｔ ｎ Ｊｕｎｌ ｕｌｈｎ ，Ｓ ａｎｉｎｔｕｅ ｆ ｄｃｔｎ ｉｎ７０６ ，Ｃ ｉ ） Ｄ ｐｒ ｔ ｆｏｒａＰｂｉ ｉ ｍｅ ｏ ｓ ｇ ｈａｘ ｓｔｔｏ ｕａｏ ，Ｘ ＇ １０ １ ｈｎ Ｉ ｉ Ｅ ｉ ａ ａ
引理 Ⅲ 设Ｍ是唯一分解环， 正整数ｋ ，口 ｅ ， ＝ 那么， ２ ， Ｍ， ） Ｔ， 若 ＝ ， ∈ ， Ｍ
番图方程的整数解 问题．
定义 １】 设 １ ｏ是 Ｑ√ 的一组基 ， 【 ｌ ，ｃ ２ （ ） 如果任意 ∈ √ 必可表为 ＝ Ｏ ＋ （ ，２ ｚ ） （ ） Ｕ） ｖ ２ “ １ ｌ ６ ，
则称 ，国 是 Ｑ √ 的一组整基 ，也称为是 （Ｄ） ２ （Ｄ） √ 的一组整基．
文章 编号 ：１０ — ８ ２ １ ）０— ０３ ０ ０ ７９ ３ １（ ０ ６ ０２— ３ １
关于 ２ 个丢番图方程的求解
李亚卓
（ 陕西教育学院 期刊编辑部 ，陕西 西安 ７０ ６ ） １０ １
摘要：用 代数数论方法证明了 丢番图方程 一 ３ ４ １＝ ｙ 仅有整数解（ ｙ＝ ±， １以 ） （ 一） 及丢番图 ， ３ 方
高 师 理 科 学 刊
第 ３ 卷 １
பைடு நூலகம்
４ ；， ，，是 Ｐｌ － ， ｌ ｅ 方程 一Ｂ ：的最小正解； ６ ｌ ｏ ｏ ｌ ｙ ＝５ １
（ Ｄ，１４ 有ｍｎ＝ｏｌ １＝± ）中 ５ ＞。ｍ） ±＋）（ｎ （１，， ： ） ． 兰ｄ，（ ｏ － 足，…其 当 １ （ 时 ｏ￣ ｍ２ ｏ ｏ ＿ ＋ ±２
分别用代数数论和算术几何方法解决了一些特殊情况．
对 些Ｄ 其 次 √ 是Ｅｃ 域 此 在 些 次 数 数 √ ）算 基 定 成 可 某 ， 二 域Ｑ ｕｉ ， 时 这 二 代 整 环 （ 上 术 本 理 立， ｌ ｄ １ １ ： ￣ ｚ 同 的 除 论 解 定 程 Ｄ ４ ， ． 中 样 整 理 去 不 方 ＋ ＝ｐ ｎＮ） ｅ
方法 ，就是把所给 的丢番图方程放在代数数域中考虑 ，通过代数整数环性质的讨论，使问题得到简化或展
开， 综合利用其他方法 （ 一般是初等方法 ） 处理展开或简化后方程的方法．作为代数数论 的重要组成部分 ， 二次域以及二次域 中的算术对研究丢番图方程有着重要的作用 ．本文利用二次域的一些性质解决了 ２ 个丢
一
Ｋｅ ｒ ｓ Ｄｉｐ ａ ｔ ｅｅ ｕ ｔ ｎ； ｉｔｇ ｒ ｏｕｉｎ； Ｅ ｃｉ ｒａ ｙｗｏｄ ： ｏ ｈ ｎｉ ｑ ａｉ ｎ ｏ ｎｅ ｅ ｌｔ ｓ ｏ ｕ ｌ ａｅ ｄ
１ 引言及预备知识
代数数论 已经成为数论 中的一个内容异常丰富的分支 ， 也是研究丢番图方程的重要工具“ ．代数数论
定义 ２ Ｉ
若ｓ 和 都是代数整数 ，则 成为单位数．
引理 １＿ 在二次域 Ｑ √ 中的单位数是 ： Ｉ ｌ 幅 （ Ｄ）
（ ）当Ｄ＝ ２ Ｄ ５ ，仅有 ± ； １ 一 或 一 时 １ （ ）当Ｄ＝ １ ， ± ，＋ ； ２ 一 时 有 １ ｉ
１ ．二 ／
（ ）当Ｄ＝一 时，有 ± ，±．± ； ３ ３ １ —
１＝ ） ｈｓｉｅ ｒ ｏ ｔｎ （， ） （３一 ）ｎ ｅＤｏｈｎｎ ｑａｏｓ ＋ ＝ ｈｓｉｅ ｒ ３ ４ ａ ｎ ｇ ｌｉ ｓ ｙ＝ ±， １ａｄｔ ｉ ａｔｅｅ ｔｎ ， ｔ ｅ ｓ ｕｏ ｈ ｐ ｉ ｕ ｉ ２ Ｙ ａ ｎｇ ｔｅ ｓｕｏｓ ，， （ ， ） ｏ ｔｎ（ ）＝ ＋ ３． ｌｉ ｘ ） ５
则 ＝ ｌ ， ＝ ２ ， ， ∈ ， 中：ｓ， 是 Ｍ 中的单位元素 ，且 ＝ｓ ， 为单位元素． Ｖ Ｍ 其 １ ２ ｌ ２
２ 主要结果及证 明
对于 广义 Ｒｍｎａ ，ｇｌ ＋ ＝ ｐ ， Ｎ ）， 里Ｄ 适合ｐ 的 奇数， 献［ ５ ａａ ｊ一ａ ｌ方程 ｕｎＮ ｅ Ｄ ４ ∈ 这 是 ｌ 正 Ｄ 文 ４】 —
Ｚ Ｚ
（） ４ 当Ｄ＞１ － ，Ｄ三 ， （ｏ ４ 时， ２ ３ ｄ ） 有±（０ Ｏ ） ±， ＋ Ｏ －） ｋ ±， ２ … ） 其中： ＝ ｍ ， ＋ｎｃ ＝ （０ ｎ４ （ ＝ ｌ± ， ， ｏ ｇ
收 稿 日期 ：２ １—６ ｌ ０ １ ０一 Ｏ
作者简介：李亚卓 （ ９９ ）， ， １７－ 女 陕西蒲城人 ， 助理编辑 ， 硕士， 从事数论研究．Ｅ ｍ ｉ ｌ ａｆ ６． ｒ — ａ ：ｙ ｋ ３ｏ ｌ ｚ ＠１ ｃｎ
第 ３ 卷 第 ６ １ 期
２ １ 年 １ 月 ０１ １
高 师 理 科 学 刊
Ｊｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ Ｕ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｎ ｏＳ Ｔ ｙ
Ｖ０ ． １ Ｎｏ６ １３ ． ＮＯ ． ２ １ Ｖ ０ ｌ
Ａ ｓ ａ ｔ Ｄｉ ｕ ｓ ｄ ｔ ｏ ｈ ｎｉｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｉ ｅ ａｇｂ ａｃ ｎ ｍｂ ｒ ｔｅ ｒ ． Ｔ ｅ Ｄｉｐ ａ ｔ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｂ ｔ ｃ ： ｓ ｓｅ ｗｏ Ｄｉｐ ａ ｔ ｑ ａｉ ｓ ｗ ｔ ｔ ｌｅ ｒｉ ｕ ｅ ｏｙ ｈ ｏ ｈ ｎｉ ｑ ａｉ ｓ ｒ ｃ ｎ ｏ ｈｈ ｈ ｎ ｏ
程 ＋ ＝Ｙ 仅有整数解（， ） （５ ） ２ ｙ ＝＋，３．
关键词：不定方程 ；整数解；Ｅ ｃｄ ｕｌ 域 ｉ
中图分类号：０ ５ １６ 文献标识码 ：Ａ ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８ １ ０ １ ６ ０ ｏ：１． ６ ／ ｓ １ ７９ ３． １． ． ８ ３ ｊ ｎ０ ｉ ２ ００
Ｏｎ ｔｅｓ ｌ ｔ ｎ ｆ ｗｏＤｉｐ ａ ｔ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ｈ ｎ ｉ ｑ ａｉ ｈ ｏ ｏｔ ｎ ｏ
Ｌ －ｈ ｏ Ｉ Ｙａ ｚ ｕ
（ ｅ ａｔ ｎ Ｊｕｎｌ ｕｌｈｎ ，Ｓ ａｎｉｎｔｕｅ ｆ ｄｃｔｎ ｉｎ７０６ ，Ｃ ｉ ） Ｄ ｐｒ ｔ ｆｏｒａＰｂｉ ｉ ｍｅ ｏ ｓ ｇ ｈａｘ ｓｔｔｏ ｕａｏ ，Ｘ ＇ １０ １ ｈｎ Ｉ ｉ Ｅ ｉ ａ ａ