北京市101中学高中数学《函数的解析式与函数求值》学案 新人教A版必修1
新课标人教A版必修一新课标地区数学科“函数及其表示”教案 人教版A版
课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P 17例1解：（略）说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 19第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P 18例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.1函数的概念教案
3.1.1 函数的概念教学目标：1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素.3.能求简单函数的定义域.教学重点：用集合语言和对应关系刻画函数的概念.教学难点：对函数概念的理解.教学过程：（一）新课导入在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.在前面我们已经学习了集合的有关知识，在本节中，我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.（二）探索新知探究一：函数的概念（老师引导学生分析问题1-4，并归纳出函数的共同特征，由此引出函数的概念.）问题1-4的共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A,B表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.定义：一般地，设A , B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{}|∈叫做函数的值域.f x x A()函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：一次函数：(0)=+≠的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个y ax b a数x，对应到R中唯一确定的数(0)+≠.ax b a二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠. 反比例函数：(0)k y k x=≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x=≠∉ 探究二：函数的应用(老师引导学生思考、分析例1，并让学生分组讨论写出P63的探究.)例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数(0)y kx k =≠可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式(10)y x x =-来描述.解：把(10)y x x =-看成二次函数，那么它的定义域是R ，值域是{}25B y y =≤.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数x (10-x ).如果对x 的取值范围作出限制，例如{}010x x x ∈<<,那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为x ，面积为y ，那么y =x (10-x ).其中，x 的取值范围是{}010A x x =<<，y 的取值范围是{}025B y y =<≤.对应关系f 把每一个长方形的边长x ，对应到唯一确定的面积x (10-x ).探究：构建其他可用解析式y =x (10-x )描述其中变量关系的问题情境.答案：设两个实数的和为10，其中一个数为x ，这两个数的积为y ，则y =x (10-x )，其 中x 的取值范围为A =R ，y 的取值范围为{}25B y y =≤.对应关系f 把A 中任一x 值对应B 中唯一确定的x (10-x ).探究三：区间定义：研究函数时常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：(1) 满足不等式a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2) 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3) 满足不等式a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，外别表示为[a，≤<或a x bb)，(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.实数集R可以用区间表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”，“ -∞”读作“负无穷大”，“ +∞”读作“正无穷大”.如下表，我们可以把满足,,,≥>≤<的实数x的集合，用区间分别表示为x a x a x b x b[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).表示区间应注意的问题：(1)关注“开”与“闭”，“开”用小括号，“闭”用中括号；在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.(2)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示.并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0,1,2}就不能用区间表示.(3)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b-a称为区间(a,b)或[a,b]的长度.(4)用“-∞”或“+∞”作为区间端点时，需用开区间符号.（老师在讲完注意问题后，出几个类型的不等式变式训练检测学生的学习情况）探究四：求函数的定义域(老师引导学生完成例2的学习，和学生强调在函数定义中，我们用符号y =f (x )表示函数，其中f (x )表示x 对应的函数值，而不是f 乘x .)例2 已知函数1()32f x x x =+++ (1)求函数的定义域； (2) 求f (-3)，f (23)的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a -1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y =f (x )，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.解：(1)3x +有意义的实数x 的集合是{}3x x ≥-，使分式12x +有意义的实数x 的集合是{}2x x ≠-.所以，这个函数的定义域是{|3}{2}{3,2}x x x x x x x -⋂≠-=-≠-∣∣且 即[-3,-2)∪(-2,+∞).(2)将-3与23代入解析式，有 1(3)331;32f --+=--+ 221113333323338823f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭+ (3)因为a >0，所以f (a ),f (a -1)有意义.1()3;2f a a a =++ 11(1)132.121f a a a a a --+=+-++ (在解决完例2后，老师与学生一起归纳方法技巧)方法技巧：(1)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各式子都有意义的公共部分的集合.求函数定义域的步骤①列不等式(组)：根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式(组)②解不等式(组)：解出所列不等式或不等式组中每个不等式的解集后在求交集③得定义域：把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式(2)已知函数解析式求函数值，可将自变量的值代入解析式求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解.探究五：相同函数老师引导学生归纳出函数相同的条件：对应关系相同；定义域相同.并完成例3.例3下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）2y=；（2）u=（3）y=（4）2nmn =.解：（1）2({0})y x x x x==∈∣，它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.（2）()u v v==∈R，它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数.（3）,0,||,0,x xy xx x-<⎧===⎨⎩它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.（4）2({0})nm n n n nn==∈≠∣，它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.学习完本节的内容后，老师给学生留出时间P66思考题.思考答案：相同点：初中与高中所学函数的两个定义本质是一样的，即两种对应关系满足的条件相同，对x的每一个值，都有唯一确定的值y与之对应.不同点：前者是从运动变化的观点出发，后者是从集合观点出发，用两个非空数集的对应关系定义的.（三）课堂练习1. 已知函数6()1f x x =-(1).求函数()f x 的定义域.(2).求()1f -,()12f 的值.解：(1)根据题意知10-≠x 且40x +≥,∴4≥-x 且1≠x ,即函数()f x 的定义域为[4,1)(1,)-⋃+∞.(2).6(1)32-=--f 6638(12)41211111==-=--f . 2. 判断下列对应是否为同一函数:(1). 1y x =+与211x y x -=- (2). 2 1y x =+与21s t =+(3). 2y x =与()20.y x x =≥解：(1).不是同一函数,因为定义域不同,前者定义域为R ,后者定义域为{}|1x x ≠(2).是同一函数,虽然变量不同,但不改变意义;(3).不是同一函数,因为定义域不同.（四）课堂小结：本节课我们主要学习了哪些内容？板书设计：3.1.1函数的概念1.函数的定义2.函数三要素：定义域，对应关系，值域.3.区间4.相同函数：定义域，对应关系相同。
北京市101中学高中数学《函数的单调性与最值(二)》学案 新人教A版必修1
学科：数学专题：函数的单调性与最值（二）主要考点梳理1．函数的单调性设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．易混易错点：这里的必须是区间上任意的两个值，而不是具体的两个值．即对于上具体的两个值，即便有（或），也不能断定在区间上是增函数（或减函数）．2．函数的单调区间如果函数在区间上是增函数（或减函数）就说在区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．易混易错点：注意函数的单调性和单调区间的区别．函数在某区间上具有单调性是指这个函数在这个区间上所具有的单调趋势，而函数的单调区间是指这个函数具有某种单调趋势的自变量的取值区间．3．函数的最大值与最小值一般地，设函数的定义域为．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最大值．同样地．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最小值．易混易错点：常常因为不注意定义中的任意性以及的存在性，而导致判断失误．对函数最大值与最小值的理解，应注意如下两点：①注意定义中的任意性．即对于定义域内的所有的，都必须满足不等式或．②注意定义中的存在性．即是函数的一个函数值．易错小题考考你题一题面：证明函数在区间上是减函数．一位学生证明如下：因为，并且，所以，所以函数在区间上是减函数．请问这位学生证对了吗？若证对了，请说明理由；若证错了，请指出错误原因，并给出正确证明．题二题面：已知函数则．上述判断正确吗？为什么？金题精讲题一题面：若二次函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是__________________________．题二题面：若函数对任意，都有，则实数a的取值范围是( )．A． B. C. D.题三题面：求函数在区间上的最大值和最小值．题四题面：函数对任意的都有，并且当时，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证：在上是增函数．课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：函数是单调函数时，的取值范围是____________．难度：容易题题二题面：已知，则函数的单调递减区间是_____________．题三题面：设函数是定义在上的减函数，并且满足，．(Ⅰ)求的值，(Ⅱ)如果，求的取值范围．讲义参考答案易错小题考考你题一答案：不正确．题二答案：错误．金题精讲题一答案：．题二答案：D．题三答案：，．题四答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明略.课后拓展练习题一答案：．详解：由，得．所以的取值范围是．题二答案：．详解：函数，，故函数的单调递减区间为．题三答案：(Ⅰ)；(Ⅱ) ．详解：(Ⅰ)令，则，∴．(Ⅱ)∵∴，∴．又由是定义在上的减函数，得：解之得：，所以的取值范围是．。
北京市101中学2020学年高中数学《函数的奇偶性》学案新人教A版必修1
北京市 101中学 2020学年高中数学《函数的奇偶性》教案新人教 A版必修 1学科：数学专题：函数的奇偶性主要考点梳理1．奇函数：一般地，假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．2．偶函数：一般地，假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．假如函数是奇函数或偶函数，那么，就说函数拥有奇偶性．易混易错点：函数的定义域在数轴上所示的区间对于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必需条件．所以判断函数为奇函数或偶函数，第一要看定义域能否对于原点对称．但是，许多学生对此缺少深刻的理解，常常只注意形式化的表达式而不注意定义域对于原点对称的包含条件．3．单一函数的性质①由奇函数的定义可知，假如在处有定义，则．②一般地，图象对于原点对称的函数为奇函数；反之，奇函数的图象对于原点对称．图象对于轴对称的函数为偶函数；反之，偶函数的图象对于轴对称．③奇函数在对于原点对称的两个区间上拥有同样的单一性，偶函数在对于原点对称的两个区间上拥有相反的单一性．易错小题考考你题一题面：判断函数的奇偶性时，王新同学这样解：因为，所以是偶函数．上述判断正确吗？为何？金题精讲题一题面：如果偶函数在上有最大值，那么在上（）．A．有最大值B．有最小值C．没有最大值D．没有最小值题二题面：设函数为奇函数，则．题三题面：设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）．A．B．C．D．题四题面：已知（）为奇函数，当时，，求在上的表达式.题五题面：已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于随意的、都满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的的奇偶性，并证明你的结论．课后拓展练习注：此部分为老师依据本授课程内容为大家优选的课下拓展题目，故不在讲堂中解说，请同学们课下自己练习并比较详解进行自测.题一题面：设是 R 上的随意函数，则以下表达正确的是（）．A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数题二题面：若奇函数在上单调递增，又，则不等式的解集为 ________ ．题三题面：设，都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值是5，求在上的最小值．讲义参照答案易错小题考考你题一答案：上述判断是错误的．金题精讲题一答案： A．题二答案：．题三答案： D．题四答案：题五答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）是奇函数；证明略．课后拓展练习题一答案： D．详解：对于A，设，则，故函数为偶函数．所以 A 错误．对于B，设，则，此时与的关系不能确定，故函数的奇偶性不确立．所以 B 错误．对于C，设，，故函数为奇函数．所以 C 错误．所以正确选项为 D．事实上，对于D，设，，故函数为偶函数．所以 D 正确．．题二答案：．详解因为函数是奇函数，且，所以依据奇函数图象的对称性，能够画出图象（如图），联合图象能够求出解集为．题三答案：1．详解：考虑，显然为奇函数．由题意知在上有最大值3，所以在上有最小值3，故在上有最小值1．。
2019-2020学年人教A版必修 第一册3.1.1 函数的概念 学案
【新教材】3.1.1函数的概念（人教A版）1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
一、预习导入阅读课本60-65页，填写。
1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（ ） (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（ ） (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) 2．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B．[－1,0)C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0) 3．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________． (2){x |x ＞1}用区间表示为________．题型一 函数的定义例1下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=( )2,g(x)= ;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)= -,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)= ),g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 题型三 区间例3已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=)| |-; (2)f(x)=- -- .跟踪训练四1.求函数y= -的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 题型五 求函数值（域） 例5(1)已知f(x)＝(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1；②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝；④y ＝2x － .跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ ＋1；(2)y ＝.1．对于集合 ， ，由下列图形给出的对应 中，不能构成从 到 的函数有（ ）个A. 个B. 个C. 个D. 个2．函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．a <0D ．a <13．函数f （x ）=的定义域为 A ． 或 B ． C ． D ．4．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A.B.C.D.5．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）A ．()()2,2f x x g x x =-=-B ．()()32,f x x g x ==C ．()()22,2x f x g x x x=+=+D ．()()22,1x x x f x g x x x-==- 6．集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．7．已知函数8()2f x x =-（1）求函数()f x 的定义域； （2）求(2)f -及(6)f 的值． 8．求下列函数的值域： （1）f （x ）=211x x -+；（2）f （x ）=x ．答案小试牛刀1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）× 2．C 3．D4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞) 自主探究 例1【答案】D 跟踪训练一【答案】C 例2 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=( )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)= 的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 跟踪训练二【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.例3【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].跟踪训练三【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0)(2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足,||-,即-,||,解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足-,-,即,故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].跟踪训练四【答案】(1)-,且(2)-,【解析】(1)要使函数有意义,需 ,- , ,解得-≤x<2,且x ≠0,所以函数y=-的定义域为 -,且 .(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤. ∴函数f(2x+1)的定义域是 - ,. 例5【答案】（1）13 17 （2）① R ② [2,6)③ {y|y ∈R 且y≠3}④⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞【解析】(1) ∵f(x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x 2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6， ∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.跟踪训练五【答案】(1) [1，＋∞) (2) －【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 当堂检测1-5．CADCD 6．(,1)(1,5]-∞7．【答案】（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f = 【解析】（1）依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞.（2）()82122f -=+=---，()86562f ==-. 8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）； （2）[–54，+∞）. 【解析】（1）因为f （x ）=()2131x x +-+=2–31x +，所以f （x ）≠2， 所以函数f （x ）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．（2（t≥0），则x=t 2–1，所以y=t 2–t –1（t≥0）． 因为抛物线y=t 2–t –1开口向上，对称轴为直线t=12∈[0，+∞），所以当t=12时，y取得最小值为–54，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–54，+∞）．。
2019-2020年高中数学 函数的解析式教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学函数的解析式教案新人教A版必修1教学目标：1、掌握函数解析式的求法；2、掌握复合函数解析式的求法及应用。
教学重、难点：①函数解析式的求法②复合函数解析式的求法及应用教学过程：一、例题讲解：例1、(1)已知f(x)=x2，g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大．若f[g(x)]=4x2-20x+25，求g(x)的解析式解：(1)∵g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大故可设g(x)=ax+b(a＞0)∵f[g(x)]=4x2-20x+25∴(ax+b)2=4x2-20x+25即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25解得 a=2，b=-5故g(x)=2x-5于是有t的象是t2-1，即f(t)=t2-1(t≥1)故f(x)=x2-1(x≥1)∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1)小结：对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之．求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如(2))，解方程组等．例2、如图1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾角为60°．(1)求横断面积y与底宽x的函数关系式；小结：本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系．二、练习1、 已知函数f(x)=x 2+1,则f(3x+2)=__________________2、 已知函数f(x+1)=2x-1 ，则f(1-x)=__________________3、 下列函数表示同一函数的是（ ）A 、f(x)=x ，g(x)=()2；B f(x)=x ，g(x)=2；C 、 f(x)=1，g(x)=；D 、f(x)=x ，g(x)=4、 已知f (x-1)=2x 2-1,则f(0)=__________________ f(1)=___________________5、 已知函数f (x)=⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0(0)0()0(1x x x x π，则f{f[f(-1)]}=__________________6、 如图，植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两临边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长未30 米，设垂直于底边的腰长为x 米，则苗圃面积S 关于x 的函数解析式为______.7、 已知函数F(x)=f(x)+g(x)，其中f （x ）是x 的正比例函数，g （x ）是x 的反比例函数，且F(1/3)=16，F(1)=8，求F(x)的表达式。
2019-2020学年高一数学人教A版必修第一册教案：3.1.1 函数的概念 Word版含答案
姓名，年级：时间：第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学设计一、教学目标1.知识与技能掌握函数的概念，理解构成函数的三要素，明确函数的定义域和值域;2.过程与方法通过对具体问题的思考,分析，引导学生抽象概括出函数的概念,培养学生抽象概括的能力以及对函数抽象符号的认识与使用；3.情感态度与价值观通过师生共同探索出函数的概念，总结出函数的要素，激发学生学习数学的兴趣，培养学生刻苦钻研的精神.二、教学重难点1.教学重点体会函数是描述两个变量之间的对应关系的重要数学模型，从集合的观点正确理解函数的概念.2.教学难点对函数概念及符号意义的理解，以及用区间表示函数的定义域和值域.三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图（4）你能指出变量t和S的取值范围吗?分别用集合A和集合B表示出来.（5)在新写出的对应关系中,是不是对于数集A中的任一时间t，在数集B中都有唯一确定的路程S和它对应?问题2 (1)写出w和d的对应关系式;(2）指出变量d和w的取值范围。
分别用集合A和集合B表示出来。
（3）思考:问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？出:要限定S和t的变化范围。
（4）；(5）启发学生发现：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个路程S与之对应。
结合问题1，学生独立思考，自由发言，教师总结。
（1）w=350d；（2）；.（3)不同，因为变量的取值范围不通过问题1,让学生独立解答问题2，加深学生对知识的理解.通过小组讨论，让每个学生都能参与到教学活2。
分析、归纳以上实例，它们有什么共同特点？答：(1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系;(3)对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。
3。
总结归纳函数的定义，引进符号f统一表示对应关系:一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x)，x∈A。
3.1.1 函数的概念-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)
3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念【学习目标】1. 函数的概念 (1)函数的定义设A ，B 是 ，如果对于集合A 中的 ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 . (2)函数的定义域与值域函数y ＝f (x )中，x 叫做 ， A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的 ． (3)对应关系f ：除解析式、图象表格外，还有其他表示 对应关系的方法，引进符号f 统一表示对应关系． 注意：判断对应关系是否为函数的2个条件 ①A 、B 必须是非空数集．①A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应． 2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为： 、 和 。
3．相同函数值域是由 和 决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数． 4. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示.设a ，b ①R ，且a <b ，规定如下：{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号【小试牛刀】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．()(5)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．()(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．()(7)函数f(2x－1)的定义域指2x－1的取值范围．()【经典例题】题型一函数关系的判定例1(1) 若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是()(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？①f：把x对应到3x＋1；①g：把x对应到|x|＋1；①h：把x对应到1x；①r：把x对应到x.[跟踪训练] 1 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是()题型二已知函数的解析式求定义域求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．例2 求下列函数的定义域．（1）y＝2＋3x－2；(2)y＝x2－2x－3；(3)y＝3－x·x－1；(4)y＝(x－1)0＋2x＋1；[跟踪训练] 2 求下列函数的定义域：(1)y＝(x＋1)2x＋1－－x2－x＋6. (2)y＝10－x2|x|－3.题型三函数相同判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.例3下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；①f(x)＝xx，g(x)＝xx；①f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；①f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；①汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).[跟踪训练] 3 （1）与函数y＝x－1为同一函数的是()A．y＝x2－xx B．m＝(n－1)2C．y＝x－x0D．y＝3(t－1)3（2）判断以下各组函数是否表示相等函数：①f(x)＝(x)2；g(x)＝x2.①f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.题型四求抽象函数的定义域两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域.例4 (1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．注意：定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1是相对应的．例5 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.[跟踪训练] 5（1）函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．(2)函数f(1－x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域。
北京市101中学高中数学《指数函数及其性质(二)》学案 新人教A版必修1
北京市101中学2012-2013学年高中数学《指数函数及其性质（二）》学案 新人教A 版必修1学科：数学专题：指数函数及其性质（二）主要考点梳理1．指数函数的定义形如的函数叫做指数函数．2定义域： 值域：过点，即时，；时，．；．金题精讲 题一题面：图中曲线表示指数函数①，②，③，④的图象，则与的关系是（）．．．．．题二题面：用表示三个数中的最小值．设，则的最大值为（）．A．4 B．5 C．6 D．7题三题面：已知函数，函数，求满足的实数的取值范围．题四题面：讨论函数的单调性，并求其值域．题五题面：已知函数，，定义域为，且．（1）求函数的解析表达式；（2）判断函数的奇偶性．课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：若函数（且，为实数）的图象恒过定点(1，2)，则______．题二题面：函数的图象（）．A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称题三题面：已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤其中不可能成立的关系式有（）．个．个．个．个题四题面：已知函数（且).(1)讨论的奇偶性；(2)当时，判断的单调性.讲义参考答案金题精讲题一答案：B．题二答案：C．题三答案：．题四答案：在上单调递增，在上单调递减；值域为．题五答案：（1）；（2）偶函数．课后拓展练习题一答案：．详解：由，得，所以．题二答案：D．详解：因为，是偶函数，图像关于y轴对称．题三答案：B．详解：函数与的图象如图所示，满足等式的实数的关系可以是，或，或，所以选．题四答案：（1）奇函数；（2）增函数．详解：（1）因为，所以是奇函数．（2）．当时，为增函数，且，所以为减函数，从而为增函数，故为增函数，即为增函数．。
北京市101中学2020学年高中数学《函数的单调性与最值(一)》学案 新人教A版必修1
北京市101中学2020学年高中数学《函数的单调性与最值（一）》学案新人教A版必修1学科：数学专题：函数的单调性与最值（一）主要知识点梳理1．函数的单调性设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．易混易错点：这里的必须是区间上任意的两个值，而不是具体的两个值．即对于上具体的两个值，即便有（或），也不能断定在区间上是增函数（或减函数）．2．函数的单调区间如果函数在区间上是增函数（或减函数）就说在区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．易混易错点：注意函数的单调性和单调区间的区别．函数在某区间上具有单调性是指这个函数在这个区间上所具有的单调趋势，而函数的单调区间是指这个函数具有某种单调趋势的自变量的取值区间．3．函数的最大值与最小值一般地，设函数的定义域为．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最大值．同样地．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最小值．易混易错点：常常因为不注意定义中的任意性以及的存在性，而导致判断失误．对函数最大值与最小值的理解，应注意如下两点：①注意定义中的任意性．即对于定义域内的所有的，都必须满足不等式或．②注意定义中的存在性．即是函数的一个函数值．易错小题考考你题一题面：已知函数在区间上定义，并且，则在上递增．以上判断正确吗？为什么？题二题面：已知函数，，判断下列结论正确与否：（1）在区间上是增函数；（2）的增区间是．金题精讲题一题面：下列函数中在区间上为增函数的是（）．A．B．C．D．题二题面：定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（）．A．函数先递增后递减 B．函数先递减后递增C．在上是增函数D．在上是减函数题三题面：如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）．A. B. C.D.题四题面：已知函数，判断的单调性，并求的最大值和最小值．课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：函数在实数集上是增函数，则（）．A．B．C．D．题二题面：已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）．A. B. C.D.题三题面：已知函数，若在区间是增函数，求实数的取值范围．讲义参考答案易错小题考考你题一答案：不正确．因为0，1只是区间上两个具体的值，不具有任意性．例如，对于函数，显然有，但在上递减，在上递增，所以在区间上不单调．题二答案：（1）正确．（2）错误．正确回答是：的增区间是．若把原题中的结论改成“的一个增区间是”，那么结论就正确了．金题精讲题一答案：B题二答案：C题三答案: A题四答案: 函数在区间上是增函数；，．课后拓展练习题一答案：A详解：由，得．因此选A．题二答案：C详解：因为为R上的减函数，且，所以，所以，所以，或．以此选C．。
北京市101中学高中数学《函数的单调性与最值(一)》学案 新人教A版必修1
学科：数学专题：函数的单调性与最值（一）主要知识点梳理1．函数的单调性设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．易混易错点：这里的必须是区间上任意的两个值，而不是具体的两个值．即对于上具体的两个值，即便有（或），也不能断定在区间上是增函数（或减函数）．2．函数的单调区间如果函数在区间上是增函数（或减函数）就说在区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．易混易错点：注意函数的单调性和单调区间的区别．函数在某区间上具有单调性是指这个函数在这个区间上所具有的单调趋势，而函数的单调区间是指这个函数具有某种单调趋势的自变量的取值区间．3．函数的最大值与最小值一般地，设函数的定义域为．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最大值．同样地．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最小值．易混易错点：常常因为不注意定义中的任意性以及的存在性，而导致判断失误．对函数最大值与最小值的理解，应注意如下两点：①注意定义中的任意性．即对于定义域内的所有的，都必须满足不等式或．②注意定义中的存在性．即是函数的一个函数值．易错小题考考你题一题面：已知函数在区间上定义，并且，则在上递增．以上判断正确吗？为什么？题二题面：已知函数，，判断下列结论正确与否：（1）在区间上是增函数；（2）的增区间是．金题精讲题一题面：下列函数中在区间上为增函数的是（）．A． B．C． D．题二题面：定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（）．A．函数先递增后递减 B．函数先递减后递增C．在上是增函数 D．在上是减函数题三题面：如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）．A. B. C. D.题四题面：已知函数，判断的单调性，并求的最大值和最小值．课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：函数在实数集上是增函数，则（）．A． B． C． D．题二题面：已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）．A. B. C. D.题三题面：已知函数，若在区间是增函数，求实数的取值范围．讲义参考答案易错小题考考你题一答案：不正确．因为0，1只是区间上两个具体的值，不具有任意性．例如，对于函数，显然有，但在上递减，在上递增，所以在区间上不单调．题二答案：（1）正确．（2）错误．正确回答是：的增区间是．若把原题中的结论改成“的一个增区间是”，那么结论就正确了．金题精讲题一答案：B题二答案：C题三答案: A题四答案: 函数在区间上是增函数；，．课后拓展练习题一答案：A详解：由，得．因此选A．题二答案：C详解：因为为R上的减函数，且，所以，所以，所以，或．以此选C．题三答案：详解：设，，由得，．要使在区间是增函数只需，即恒成立，即恒成立，则．故实数的取值范围是．。
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 第1课时 函数的表示法学案(含解析)新人教A版必修第
3．1.2 函数的表示法第1课时函数的表示法[目标] 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点] 函数解析式的求法及函数图象的画法．[难点] 求函数解析式的两种通法．知识点函数的表示法[填一填]函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．[答一答]1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．函数的三种表示方法各有什么优点？提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：类型一列表法表示函数[例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.[分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.[答案]1 1列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.[变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g (f (2))＝1；f (g (2))＝3.解析：(2)∵f (2)＝3，g (2)＝2，∴g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (2))＝f (2)＝3.类型二 图象法表示函数[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[分析] 列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察图象 求得值域. [解] (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345描点，作出图象(如图)．当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x 2 3 4 5 … y1231225…描点，作出图象(如图)．当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138描点，作出图象(如图)，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数图象应注意：(1)在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.[变式训练2]作出下列函数图象，并求其值域．(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y∈[－5,3)．类型三 解析法表示函数[例3] 求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (3)已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． [解] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法1：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法2：(换元法) 令x ＋1＝t (t ≥1)． 则x ＝(t －1)2(t ≥1)． 所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的方法：(1)代入法：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式常用代入法.(2)配凑法：已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式时，可先从f [g (x )]的解析式中拼凑出“g (x )”，即把“g (x )”作为整体，再将解析式的两边的g (x )用x 代替即可求得f (x )的解析式.(3)换元法：已知f [g (x )]的解析式，要求f (x )的解析式时，可令t ＝g (x )，利用t 表示出x ，然后代入f [g (x )]中，最后把t 换为x 即可.注意换元后新元的范围.(4)待定系数法：已知f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.[变式训练3] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x 2，求f (x )；(2)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t1－⎝⎛⎭⎫1t 2＝tt 2－1(t ≠0)， 故f (x )＝x x 2－1(x ≠0)．(2)由g (x )为一次函数， 设g (x )＝ax ＋b (a >0)，∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5(x ∈R )．1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为( D ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x ＋1解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，f (x )＝－x ＋1.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图所示的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))＝( B )x 1 2 3 f (x )23A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由函数图象可知g (2)＝1，由表格可知f (1)＝2，故f (g (2))＝2. 3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋2. 解析：解法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，∴f (x )＝3x ＋2.解法二：∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是y ＝80x 2＋800x,_x ∈(0，＋∞)．解析：由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0，化简为：y ＝80x 2＋800x ，x ∈(0，＋∞)．5．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．解：用列表法表示如下：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000 用图象法表示，如图所示．用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．——本课须掌握的三大问题1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．。
北京市101中学2012-2013学年高中数学《函数的解析式与函数求值》学案新人教A版必修1
北京市 101中学2012-2013 学年高中数学《函数的分析式与函数求值》教案新人教A版必修1学科：数学专题：函数的分析式与函数求值主要知识点梳理1．函数求值依据函数的表达式求，只要把换成即可．2．函数的分析式假如一个函数中的两个变量之间的对应关系能够用一个数学表达式来表示，那么这个数学表达式就称作这个函数的分析式．金题精讲题一题面：已知函数，那么题二题面：函数的定义域为R+，若对于定义域内随意的x，y 均有，又已知，用、表示的值，．题三题面：设表示数的整数部分（即小于等于的最大整数），比如，那么函数（）的值域为．题四题面：已知，则．题五题面：在边长为4的正方形的边上有动点从点开始，沿折线向点挪动，而且使得三点两两相连真实组成三角形．设点挪动的行程为，△的面积为，求函数的分析式，并求的值．课后拓展练习注：此部分为老师依据本授课程内容为大家优选的课下拓展题目，故不在讲堂中解说，请同学们课下自己练习并比较详解进行自测.题一题面：设，则( )(A)－(B)0(C)(D) 1题二题面：已知，求．题三题面：函数对于随意实数知足条件，若则__________ ．题四题面：动点从边长为1的正方形的极点A出发按序经过、、再回到．设表示点的行程，表示的长，求对于的函数分析式．讲义参照答案金题精讲题一答案：题二答案：题三答案 :题四答案 :题五答案：课后拓展练习题一答案： D详解：，故．题二答案：详解：设，则，故，所以．题三答案：详解：由得，因此，则．题四答案：详解：明显当在上时，；当在上时，；当在上时，；当在上时，．因此。
北京市101中学高中数学《函数的图象和性质》学案 新人教A版必修1
学科：数学专题：函数的图象和性质主要考点梳理1．函数图象变换（1）函数的图象可以由的图象向左（时）平移或向右（时）平移||个单位而得到．（2）函数的图象可以由的图象向上（时）平移或向下（时）平移||个单位而得到．（3）函数的图象可以看作是保持在轴上方的图象不变，并把在轴下方的图象翻折到轴上方而得到．（4）函数的图象可以看作是擦掉在轴左侧的图象，然后把在轴右侧的图象沿轴翻折到轴左侧，并保持原先在轴右侧的图象不变而得到．（5）若函数满足：对于定义域内任意的一个值，都有，则函数的图象关于直线对称．（6）如果函数对于定义域内的任意一个，都有（为非零常数）成立，那么的图象每过个单位重复出现一次．易混易错点：形如的函数图象向左或向右平移若干个单位后的解析式容易写错．2．函数单调性与奇偶性的几个结论（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称；反之，图象关于原点对称的函数为奇函数，图象关于轴对称的函数为偶函数．（2）奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性．偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．易混易错点：由于对函数的定义缺乏深刻的理解，因此，常常误认为“关于原点对称的图象一定是奇函数的图象，关于轴对称的图象一定是偶函数的图象”．易错小题考考你题一题面：把函数的函数图象向右平移3个单位，则所得的函数的解析式是_________________________.题二题面：观察右图可看出，图中曲线关于轴对称，因此这条曲线是偶函数的图象．这个判断正确吗？为什么？金题精讲题一题面：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）．题二题面：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是．题三题面：确定函数的单调区间．题四题面：设函数满足，则的图象可能是（）．题五题面：函数的图象为，而关于直线对称的图象为，将向左平移1个单位后得到的图象为，则所对应的函数为（）．（A）（B）（C）（D）题面：已知函数的图象如图所示则（）．（A）（B）（C）（D）课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：如图是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的和，任意，恒成立”的是（）．A．和 B． C．和 D．题二题面：客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是（）．讲义参考答案易错小题考考你题一答案：所求的函数的解析式是．题二答案：这个判断错误．金题精讲题一答案：A．题二答案：．题三答案：增区间是（-∞，0]∪[1，+∞），减区间是[0，1]．题四答案：B．题五答案：B．题六答案：A．课后拓展练习题一答案：A．详解：由题意，观察四个函数：中的图象先降后升是一凸函数，满足要求；中的函数是先升后降是一凹函数，不满足要求；中的图象直线上升，不是凹函数，满足要求；中的函数图象凸、凹函数各一部分．不满足要求；考察定义：对[0，1]中任意的x1和x2，任意λ∈[0，1]，f[λx1+(1λ)x2]≤λf（x1）+（1λ）f（x2）恒成立知，此函数在[0，1]不是凹函数，由上分析知只有和符合题意．故答案为：和故选A．题二答案：C．详解：从甲地到达丙地最终路程是140km，故否定A；从1小时到1.5小时所经过的路程都是60 km，图象应是一段平行于轴的线段，故否定B；在D选项中，从乙地到达丙地所用的时间超过了1小时，故否定D．从而选C．。
北京市101中学高中数学《函数的概念及其表示法》学案 新人教A版必修1
学科：数学专题：函数的概念及其表示法主要考点梳理1．函数定义设是非空数集，如果按照某个确定的对应关系，使对应集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作．其中叫自变量，取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然值域是集合的子集．2．区间设是两个实数，而且，我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．（4）满足，，，的实数的集合分别表示为，，，．3．函数的表示法（1）解析法：用数学式子来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：用列出表格来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做列表法．（3）图象法：用图象来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做图象法．易混易错点：1．表示是的函数，与之间不是相乘的关系，符号“”表示对变量所施行的运算法则．2．函数三要素：①函数的定义域；②函数的值域；③对应法则．其中对应法则是核心，定义域和值域都必须是非空的数集．按照对应法则，与自变量所对应的函数值必须唯一．易错小题考考你题一题面：设，求，．题二题面：已知两个变量与之间满足关系式，则是的函数吗？金题精讲题一题面：下列说法中正确的是（）A．变量、满足，则是的函数B．变量、满足，则是的函数C．变量、满足，则是的函数D．变量、满足，则是的函数题二题面：已知下列四组函数，其中表示同一函数的是（）．A． B．C． D．题三题面：已知（1）求；（2）若，求．题四题面：求下列函数的定义域（）；（）；（）；（）．课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：下列各对函数中，是同一函数的一对是（）．（A）与（B）与（C）与（D）与难度：容易题题二题面：求下列函数中自变量的取值范围：（1）；（2）．难度：容易题题三题面：判断下列说法是否正确：（1）长方形的宽一定时，面积是长的函数；（2）等腰三角形的面积是底边长的函数；（3）某人的身高是年龄的函数；（4）关系式中的是的函数．难度：中等题题四题面：已知函数若，则；若，则；．难度：中等题讲义参考答案易错小题考考你题一答案：，题二答案：不是的函数．金题精讲题一答案：D题二答案：B题三答案：（1）；（2）题四答案：（1）（2）（3）（4）课后拓展练习题一答案：C．详解：A选项中两个函数的值域不同，B选项中的两个函数的定义域不同，D选项中的两个函数的定义域也不同，故A、B、D都错误，因此选C．题二答案：（1）是；（2）．详解：（1）由得，所以的取值范围是．（2）由得，所以的取值范围是．题三答案：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误．详解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以面积是长的函数．（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积还因受高的影响而不能有唯一确定的值和底的取值相对应，所以面积不是底边长函数．（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之对应，所以这个人的身高是年龄函数．（4）当时，，此时，不唯一．所以不是的函数．题四答案：（1）；（2）；（3）．详解：当时，，则．当时，，，则，．。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A版必修第一册
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一 函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集． 注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二 函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三 区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点． 实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”． 我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四 同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ， 于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二 已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值． 解 由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三 已知自变量的值求函数值 例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值． 解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四 求函数的值域 例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五 相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析 要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。
北京市101中学2020学年高中数学《二次函数的图象和性质》学案 新人教A版必修1
北京市101中学2020学年高中数学《二次函数的图象和性质》学案新人教A版必修1学科：数学专题：二次函数的图象和性质主要考点梳理1．二次函数的定义形如（）的函数叫做的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是开口向上或开口向下的一条抛物线。
3．二次函数的性质（1）顶点坐标及对称性顶点坐标：，对称轴方程：。
（2）开口方向、单调性及最值① 当时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；在对称轴的左侧，即在区间上，函数单调递减；在对称轴的右侧，即在区间上，函数单调递增．抛物线有最低点，当时，有最小值，并且．②当时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；在对称轴的左侧，即在区间上，函数单调递增；在对称轴的右侧，即在区间上，函数单调递减．抛物线有最高点，当时，有最大值，并且．4．二次函数的几种常见形式一般式：；顶点式：，顶点坐标是，其中；双根式：，其中是一元二次方程的两个实数根．金题精讲题一题面：已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .题二题面：如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）．A．8 B．6 C．10 D．4题三题面：设，二次函数的图象为下列之一则的值为（）．A．B．C．D．题四题面：定义[]为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图象的顶点坐标是(，)；② 当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；③ 当时，在上，为减函数；④ 当时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）．A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④题五题面：如图，已知二次函数的图象经过两点．（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；（Ⅱ）设该二次函数的对称轴与轴交于点，连结，求的面积．课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：如果二次函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是_________________________．题二题面：如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为30o，两点相距8米．（Ⅰ）求出点的坐标及直线的解析式；（Ⅱ）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（Ⅲ）判断小明这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞点．讲义参考答案金题精讲题一答案：．题二答案：A．题三答案：B．题四答案：B．题五答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．课后拓展练习题一答案：．详解：因为二次函数在区间上是增函数，则必有．又对称轴方程为直线，故，即，解得，或．注意到，故．所以实数的取值范围是．题二答案：（Ⅰ）点的坐标为（12，），的解析式为；（Ⅱ）；（Ⅲ）不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．详解：（Ⅰ）在中，因为，，所以，．所以点的坐标为（12，）．设的解析式为，把点（12，）的坐标代入，得，解得．所以的解析式为．(Ⅱ) 因为顶点的坐标是（9，12），点的坐标是（0，0），故可设抛物线的解析式为，把点的坐标代入得：。
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学科：数学
专题：函数的解析式与函数求值
主要知识点梳理
1．函数求值
根据函数的表达式求，只需把换成即可．
2．函数的解析式
如果一个函数中的两个变量之间的对应关系可以用一个数学表达式来表示，那么这个数学表达式就称作这个函数的解析式．
金题精讲
题一
题面：已知函数，
那么
题二
题面：函数的定义域为R+，若对于定义域内任意的x，y均有，
又已知，用、表示的值，．
题三
题面：设表示数的整数部分（即小于等于的最大整数），例如，那么函数（）的值域为．
题四
题面：已知，则．
题五
题面：在边长为4的正方形的边上有动点从点开始，沿折线向点移动，并且使得三点两两相连真正构成三角形．设点移动的路程为，△的面积为
，求函数的解析式，并求的值．
课后拓展练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一
题面：设，则 ( )
(A) － (B)0 (C) (D) 1
题二
题面：已知，求．
题三
题面：函数对于任意实数满足条件，若则
__________ ．
题四
题面：动点从边长为1的正方形的顶点A出发顺次经过、、再回到．设表示点的行程，表示的长，求关于的函数解析式．
讲义参考答案
金题精讲
题一
答案：
题二
答案：
题三
答案:
题四
答案:
题五
答案：
课后拓展练习
题一
答案：D
详解：，故．
题二
答案：
详解：设，则，
故，
所以．
题三
答案：
详解：由得，所以，
则．
题四
答案：
详解：显然当在上时，；当在上时，；当在上时，；当在上时，．
所以。