通信原理 第十章 数字信号的最佳接收

p(n) = p(n1 ) ⋅ p(n2 )L p(nk ) =
2 σ n 为噪声功率， 为噪声功率，
(
1 2πσ n
)
k
1 k 2 exp − 2 ∑ ni 2σ n i =1
带限信道可表示为： 带限信道可表示为： 信道可表示为
p(n) =
(
1 2πσ n
)
k
1 exp − n0
∫
∞
−∞
S (ω ) H (ω )e jωt d ω
3) 输出端信号瞬时功率与噪声平均功率之比
s0 (t0 )
2 n0 (t ) 2
r=
=
1 2π
∫
∞
2
−∞
S (ω ) H (ω )e jωt0 d ω
n0 4π
∫
∞
−∞
H (ω ) dω
2
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
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4)
最大输出信噪比
施瓦兹不等式: 施瓦兹不等式
线性滤波器的输出端
x(t)
H(ω) h(t)
y(t)
y(t) = s0 (t) + n0(t) 其中， 是输出噪声， 其中， n0(t) 是输出噪声，功率谱密度为 s0(t)为输出信号， 为输出信号， 为输出信号
s0 (t ) = s (t ) * h(t ) = 1 2π
n0 2 H (ω ) 2
1 2π 1 X (ω )Y (ω )dω ≤ ∫−∞ 2π
2
∞ 2
∫
∞
−∞
1 X (ω ) dω ⋅ 2π
2
∫
∞
−∞
Y (ω ) d ω
2
只有当 X (ω ) = KY * (ω ) 时等式成立。 X ( ω ) = H (ω ) ; Y (ω ) = S (ω ) e 时等式成立。
r= 1 2π
∫
T
0
n (t )dt
2
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(4) 观察空间： 观察空间：
X =S+N
信号 噪声
维高斯白噪声， 的概率密度函数： 噪声为 k 维高斯白噪声，发送 si 时，x 的概率密度函数：
1 f ( x | si ) = exp − k ( 2πσ n ) n0 1 ∫0 [ x(t ) − si (t )] dt
y1<y2 判为 2(t) 判为s
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2、用相关器实现 、 × x(t)
S1(t)
∫
输出 y(t) 比较器
×
S2(t)
∫
y1>y2 判为 1(t) 判为s y1<y2 判为 2(t) 判为s 匹配滤波器输出信号为输入信号的自相关函数， 匹配滤波器输出信号为输入信号的自相关函数，因而匹配滤波
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例10-1 10t0 的取值 S(t) S(-t) -T T t t t0<T t t0=T T=t0 t0 >T t0 t t
h(t)= s (t0－ t)
-T+t0
h(t) h(t) h(t) t0 -T
为了获得物理上可实现的匹配滤波器，要求t<0时，h(t) = 0 因此， t0 的最小取值是输入信号的结束时间T。
H(ω) S*(ω) e-jωt
0
h(t)
s 0(t)
Rs (t0 - t)
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rmax 2E/n0
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s (t0 - t)
二、匹配滤波器的性质
1、匹配滤波器可以输出最大的瞬时功率信噪比，等于2E/n0，此 值只取决于输入信号能量和白噪声的功率密度谱，而与输入信号 的波形无关。增加输入信号能量，便可提高瞬时输出功率信噪比。 2、不考虑噪声时匹配滤波器的输出 s0(t) = Rs (t −t0 ) ,是输入有用信 号的自相关函数。t=t0时，取得最大值 s 0 (t0 ) = Rs (0) 。 考虑噪声时匹配滤波器的输出 y (t ) = Rxs (t − t0 ) ,是输入混合波形和 输入信号的互相关函数。 匹配滤波器与相关器是等效的！ 匹配滤波器与相关器是等效的！
从统计学观点将数字通信系统用统计模型来表示
消息空间 D 信号空间 S + 观察空间 X 判决准则 判决空间 Y
n 噪声空间
消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消 消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消 空间 第 2 页 信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的集合。 所有可能状态的集合。 息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的集合2012-5-9
0
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3、匹配滤波器的冲激响应 、
H(ω)=S*(ω) e-jωt
运用傅里叶变换的性质
0
S*(ω) S (ω) ejωt
0
s (-t) s (t0 + t)
h(t)= s (t0－ t)
匹配滤波器的冲激响应为输入信号s(t)的镜像s(-t)再平移t0得到。
问题：t0如何选取？ 问题： 如何选取？
(1) 消息空间
m x2 x3 L xm x1 离散消息源 {X}: ， ∑ P ( xi ) = 1 i =1 P ( x1 ) P( x2 ) P( x3 ) L P( xm )
若 m=2，则为二进制数字通信系统。 ，则为二进制数字通信系统。
(2) 信号空间 发送信号和消息之间通常是一一对应的。 发送信号和消息之间通常是一一对应的。
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三、匹配滤波器最佳接收机
1、用匹配滤波器实现 、 h(t) = s1(Tb-t) (0 < t < Tb) y1(t) 输出 y(t) 比较器 h(t) = s2(Tb-t) ( 0 < t < Tb)
x(t)
y2(t)
二进制系统，以持续时间为Tb的两种信号s1(t)和s2(t)来表示 两个传输符号，希望接收机在噪声背景中对两个可能的信号作 出正确判决。
jω t0
∫
∞
−∞
S (ω ) H (ω )e jωt0 d ω
n0 4π
∫
∞
−∞
H (ω ) d ω
2
1 ≤ 2π
rmax = 2E/n0
5) 匹配滤波器传输函数
1 ∞ jωt0 2 ∫−∞ H (ω ) dω ⋅ 2π ∫−∞ S (ω )e dω 2E = n0 ∞ 2 n0 H (ω ) d ω 4π ∫−∞ ∞ 2 1 ∞ E= S (ω ) d ω = ∫ s 2 ( t )dt −∞ 2π ∫−∞
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3、匹配滤波器是针对某一种波形的匹配。即对信号s(t)匹配的 滤波器，也对所有与之波形相同、仅幅度和时延不同的信号 as(t-τ) 相匹配。不同波形对应不同的匹配滤波器。 4、若信号的结束时间为T，为了充分利用输入信号的能量， 又能迅速判决，通常采样时刻t0选择在信号持续时间末尾，即 t0 = T。
器与相关器是等效的。 器与相关器是等效的。
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例10-3 设到达接收机输入端的二进制信号码元s (t)和s (t)如图 10- 设到达接收机输入端的二进制信号码元 和 2 如图 1 输入高斯噪声功率谱密度为n 所，输入高斯噪声功率谱密度为 0/2 W/Hz 1、 画出匹配滤波器形式的最佳接收机； 、 画出匹配滤波器形式的最佳接收机； 2、 确定匹配滤波器的单位冲击响应及可能的输出波形。 、 确定匹配滤波器的单位冲击响应及可能的输出波形。 s1(t)
−∞
∞
即输出信号为输入信号的自相关函数。 即输出信号为输入信号的自相关函数。
s t=t0 时， 0 (t0 ) = Rs (0) 取得最大值。 取得最大值。
问题：输出信号有无失真？ 问题：
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例10-2 10-
单个矩形波信号， 单个矩形波信号，求其匹配滤波器的冲激响应及输出 波形。 波形。
最佳的概念是相对的，按某种判决准则建立的接收机，在其它 最佳的概念是相对的， 某种判决准则建立的接收机， 建立的接收机 2012-5-9 第 6 页 判决准则情况下就不一定仍是最佳的。 判决准则情况下就不一定仍是最佳的。
第十章 数字信号的最佳接收
10.1 最佳接收准则
10.2 匹配滤波式的最佳接收机
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根据信源和噪声的统计特性，可以确定一系列最佳准则， 根据信源和噪声的统计特性，可以确定一系列最佳准则， 目的就是在噪声背景中有利于对信号的识别和判决。 目的就是在噪声背景中有利于对信号的识别和判决。 通信系统中 在通信系统中，最常用的最佳判决准则是 最小错误概率准则 最大似然准则 最大输出信噪比准则
m s2 s3 L sm s1 发送信号 {S}: ， ∑ P ( si ) = 1 i =1 P ( s1 ) P( s2 ) P ( s3 ) L P ( sm )
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(3) 噪声空间 噪声为加性高斯白噪声，且其各抽样值相互独立，在（0, T）观察时 噪声为加性高斯白噪声，且其各抽样值相互独立， ） 个噪声样值均为正态分布， 间的 K 个噪声样值均为正态分布，则噪声 n 的统计特性用多维联合 概率密度函数表示： 概率密度函数表示：
10.3 最佳接收机的性能
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10.2
1、定义 、
匹配滤波式最佳接收
一、匹配滤波器的导出
白噪声为背景的情况下 匹配滤波器就是指在白噪声为背景的情况下， 匹配滤波器就是指在白噪声为背景的情况下，输出信噪比 最大的线性滤波器 的线性滤波器。 最大的线性滤波器。 2、匹配滤波器的传递函数 、 1) 线性滤波器的输入端
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采用匹配滤波法接收，则接收机内应该具有两个分别对 s1(t)和s2(t)相匹配的滤波器，冲激响应分别为h1(t) = s1(Tb-t)和 h2(t) = s2 (Tb-t)。
Tb时刻对两个匹配滤波器的输出比较 时刻对两个匹配滤波器的输出比较
y1>y2 判为 1(t) 判为s
T 2
（i=1，2….m） ）
m=2 时，
1
似然函数
1 T 2 f ( x | s0 ) = exp − ∫ [ x(t )] dt s0 (t ) = 0 k 0 ( 2πσ n ) n0 1 T 1 f ( x | s1 ) = exp − ∫ [ x(t ) − 1]2 dt s1 (t ) = 1 0 ( 2πσ n ) k n0
第十章 数字信号的最佳接收
10.1 最佳接收准则
10.2 匹配滤波式的最佳接收机
10.3 最佳接收机的性能
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10.1
最佳接收准则
接收波形是一个伴有噪声的随机波形， 接收波形是一个伴有噪声的随机波形，收信者不能肯定接 收到的究竟是发送信号中的哪一个。但是，用概率论的观点看， 收到的究竟是发送信号中的哪一个。但是，用概率论的观点看， 只要掌握接收波形的统计特性，就可以用统计判决的方法 统计判决的方法获得 只要掌握接收波形的统计特性，就可以用统计判决的方法获得 满意的接收效果。 满意的接收效果。
s(t) 1
1 0≤t ≤T s(t ) = 其他 0
1 t
h(t) t 0 T
0
T s0(t) T T
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2T
t
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5、重要结论 、 在背景噪声为白噪声时，匹配滤波器能够提供最大的输 出信噪比，这里是指信号的瞬时功率和噪声的平均功率之比。 匹配滤波器的本质是使在t0时刻，输出信号的各频率分 量都具有相同的相位，各分量的幅度按代数相加，产生最大 瞬时功率。
x(t)
H(ω) h(t)
y(t)
x(t) = s(t) + n(t) 其中， 白噪声，有均匀功率谱密度为n 其中， n(t) 是白噪声，有均匀功率谱密度为 0/2 s(t)为信号，频谱为 S (ω ) = ∫ s (t )e− jωt dt 为信号， 为信号 −∞
∞
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2)
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4、匹配滤波器的输出信号： 、匹配滤波器的输出信号：
s 0 (t ) = s(t ) ∗ h(t ) = ∫ s(t −τ )h(τ )dτ
−∞
∞
将 h (t ) = s (t 0 − t ) 代 入
s 0 (t ) = ∫ s(t −τ )s(t0 −τ )dτ = Rs (t − t0 )
2
∞
H(ω)=KS*(ω) e-jωt
0
在白噪声的背景下，线性滤波器能获得最大输出信噪比，因此是最大 输出信噪比意义下的最佳！令K=1。
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6)
匹配滤波器的物理解释
H(ω)=S*(ω) e-jωt
0
• |H(ω)|=|S(ω)|，匹配滤波器和有用信号的幅度特性是一致 ，
的，因此，带外噪声完全被抑制，信号幅度特性较小处的 噪声也受到相应的抑制。 • H(ω) ~ S*(ω)，说明如果信号相位超前多少，则滤波器相 ， 位滞后多少；反之亦然。因此，输出信号的各频率分量是 零相位同相迭加，各分量的幅度按代数相加。因此，输出 信号幅度最大。 • e-jωt 其中 t0是时延，应为信号结束时间，此时信号全部 进入滤波器，此时能量最大，最利于判决。