概率论数学期望

▲ E ( X ) 的计算：当 X 的可能取值为有限时， 则计算有穷和；当 X 的可能取值为无限时， 则计算级数的和。 ▲若
x
k 1

k
pk 不绝对收敛，则称 E ( X ) 不存在
概率统计
例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望.
n 1
(n 1) t t p q
n1 t t (n 1) t np ( p q ) np C k p q 1
n 1
np[ p (1 p)] np
概率统计
k 0
n1
即: E ( X ) np
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为： 0,1, 2, 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：

e

( x )2 2 2
dx
y2 2
令:y
x


ye
y 2
2
2
概率统计



dy 2
2
1
( y )e
dy



e
y2 2
dy
2 0 2 即: E ( X )
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.
P( X k )

k e
k!
k 0,1, 2, 即: X～P ( )
则: E(X) k
令：K-1=j
k 0

k
k!
e

e
k 1

k 1
(k 1)!
E(X ) e
即: E(X)
概率统计

k


k
0
j !
e e
令:k-1=t
n! pk q n k k 1 ( k 1)!( n k )! n (n 1)! np pk 1q( n1)( k 1) k 1 ( k 1)! ( n 1) ( k 1) !
(n 1)! np ![(n 1) t]! t0 t
概率统计
推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即 Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）
概率统计
例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区 间［a，b］内，求球体积的数学期望. 解 设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依 题意，X的概率密度为
球体积
，由（4.6）式得
概率统计
定义2 设 连续型随机变量X的概率密度函数 为 f (x)，若积分


x f(x ) dx 收敛，则称此积分的值

为连续型随机变量 X 的数学期望，记为：
E ( X ) x f ( x )dx

也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的积分.
概率统计
二.随机变量的函数的数学期望 定理4.1 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x) 是连续函数。
概率统计
例4.4 设随机变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概 率密度为
试证E（X）不存在.
证 由于
故E（X）不存在.
概率统计
2.连续性随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望的引出 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 在数 轴上取很密的分点 x0 <x1 < x2 < …，则 X 落在小区 间 [ xi , xi+1) 的概率是：
概率统计
(5). 指数分布
若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
( 0)
EX
x x e dx 0 x x x ' e dx x(e ) dx x(e ) 0 0 0 1 x 1 e 0
阴影面积近似为

x i 1 xi
f ( x ) dx
f ( x i ) x i
f ( x i )( x i 1 x i ) f ( x i ) x i
概率统计
小区间[xi , xi+1 )
由于 xi 与 xi+1 很接近, 所以区间[ xi , xi+1 )中 注意到： 的值可以用 xi 来近似代替.
概率统计
证明： 设随机变量（X,Y）的概率密度是f(x,y)， 其边缘概率密度为 fX ，则 (x ),fY(y )
E(X Y )






(X Y ) f（x ,y）dxdy





xf(x ,y ) dxdy





k k P( X k ) Cn p (1 p ) n k , k 0,1,2 n
概率统计
则： n n k k nk E(X)= k cn p q k
k 0 n
k 1
k 0 时 k pk 0
n! pk q n k k !( n k )!

x ( x)dx

概率统计
(6). 正态分布
若随机变量 X 的概率密度为：
f ( x)
1
2 即 : X ~ N ( , 2 )

e

( x )2 2 2
, x

则: E ( X )
x f ( x )dx

x
1 2
的和为随机变量 X 的数学期望，记为：
E ( X ) x k pk
k 1
也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的级数的和.
概率统计
注： ▲ E ( X ) 是个(实)数。它形式上是X的可能取值 的加权平均值；本质上体现了X的真正的平 均，故常称 E ( X ) 为 X 的均值；物理上表示 了一个质点系的重心坐标。
数学期望
一.数学期望的定义 二.随机变量的函数的数学期望 三.数学期望的性质 四.常见分布的数学期望
概率统计
一.数学期望的定义
定义1
1.离散型随机变量的数学期望 设 离散型随机变量X的分布律为:
P( X= xk ) = pk ,
若正项级数
x
k 1Leabharlann k=1, 2, …k
pk 收敛， 则称此级数





xyf X(x ) fY(y)dxdy



xfX(x)dx



yfY(y ) dy E(X)E(Y)
性质（4）得证！
概率统计
例4.9 设一电路中电流I（安）与电阻R（欧）是两个 相互独立的随机变量，其概率密度分别为
试求电压V=IR的均值.
解
概率统计
四. 常见分布的数学期望 (1) (0—1)分布 (2) 二项分布 E（X）=0×(1p)+1×p=p.
三. 数学期望的性质
1. 设 c 是常数，则： E (c ) c
设 c 是常数，X 是随机变量，则：
2. E (c X ) c E ( X ) 3. X,Y是两个随机变量，则：
E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
4. X,Y是两个相互独立的随机变量，则：
yf (x ,y ) dxdy




xfX(x ) dx



yfY(y ) dy E(X ) E(Y )
则性质（3）得证！
概率统计
若X和Y相互独立，则 f (x ,y ) 故有 ：
E(XY)
fX(x ) fY(y ),




xyf (x ,y ) dxdy
概率统计
解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知 它的分布律为
X pk 10000 0.0001 1000 0.0015 100 0.0134 10 0.1 1 0.885
因此， E（X）=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134 +10×0.1+1×0.885 =5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足 6 元 . 这个值 对商店作计划预算时是很重要的.
(3) 泊松分布
(4) 均匀分布 (5) 指数分布
概率统计
(1) (0 1) 分布 若随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布 律为:
P( X k ) p (1 p)
k
(1 k )
k 0,1. 0 p 1
则： E(X) 0 q 1 p p (2) 二项分布 设随机变量 X 服从参数为 ( n, p ) 的二项分布， 即 X ~ B (n, p), 它的分布律为:
(4). 均匀分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
1 f ( x) b a 0 a xb
则 : E( X )


其 它
x f ( x )dx a
b
即 X ~ U [a , b]
1 x dx ba

ab 2
ab 即: E ( X ) 2
因此 X 与以概率 f ( x i ) x i 取值 xi 的离散型随机 变量近似，该离散型随机变量 的数学期望为：
阴影面积近似为
x f ( x ) x
i i i
f ( x i ) x i
i
这正是



x f ( x )dx
小区间[xi , xi+1 )
的渐近和式.
概率统计
由此启发引进如下定义2.
概率统计