弹性力学应力张量的定义

弹性力学应力张量的定义

一个任意形状的三维物体，受到任意外力F作用，如下图所示。

●9这个应力分量可以简记为：

⎤

⎡⎥⎥⎤⎢⎡131211σσσττσxz xy x ⎥⎥⎥⎦

⎢⎢

⎢⎣=⎥⎦⎢⎢⎣=3332

31232221σσσσσσστττστσz zy zx yz y yx ij 这9个应力分量的整体构成了一个二阶对称张量，称

为应力张量。

其中，是弹性力学中应用非常广泛的一种张3311,,σσ 量记法，采用该记法能够极大地方便复杂弹性力学公式的书写和记忆。

●后面将证明，这9个应力分量（只有6个独立）可以表示出弹性体内任一点M 的所有截面上的应力。也就是σ说，在弹性力学里，将采用上面的作为应力的度量。

ij

●类似地，可以定义出弹性力学里的应变张量和位移矢量。

{}

T

xy xz yz z y x ij τττσσσσ=6个独立的应力分量{}

T

xy xz yz z

y x ij εεεεεεε=6个独立的应变分量{}

T

w v u u i =3个独立的位移分量

●弹性力学的主要任务就是建立这15个变量所应满足的关系式（方程式），并用这些控制方程去求解实际一些弹性体的受力和变形。

为了加深对某一点M过任一微分面的应力矢量的理解。特别地，让我们来看如下特例中定义的，过同一点的、不同方向截面的应力矢量：