复变函数与积分变换 第五章第二节留数的计算方法

成洛朗级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那末
Res[
f
(z),
z0
]
lim
zz0
(z
z0
)
f
(z).
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•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
Res[
f
(z), z0]
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
2ic1 洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
1
c1
2i
C
f
(z)dz
Res[ f (z), z0 ] f (z)在 z0的留数
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
在 z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
dn1 dz n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
12
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则3得
Res[
f
(
z),0]
可直接展开洛朗级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6 :
Res
f
(z),0
(6
1
d5
lim 1)! z0
dz
5
z
6
z
sin z6
z
1 5!
.
15
例4
计算积分
C
z
(
ez z
P(z)
Res[
f
( z ), z0 ]
lim(z
zz0
z0 )
f
(z)
lim
zz0
Q(z)
Q(z0 )
P(z0 ) . Q(z0 )
z z0
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四、典型例题
例1
求
f
(z)
ez zn
在
z
0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
ez zn
,0
(n
1
lim 1)! z0
1)2
dz
,
C为正向圆周: z 2.
解 z 0 为一级极点, z 1为二级极点,
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
所以 z0 为 f (z) 的一级极点,
z1 . .z2
D
1 2i
C1
f
( z )dz
1 2i
C2
f
( z )dz
1 2i
Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
k 1
[证毕]
6
2.留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则Res[ f (z), z0 ] 0. (2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
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两边求 m 1 阶导数,
得
dm1 dz m 1
[(z
z0
)m
f (z)]
(m 1)!c1 +(含有 z z0 正幂的项)
dm1
lim
z z0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)]
(m
1)!c1,
所以 Res[ f (z), z0 ] c1
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
[证毕]
9
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0 为
f (z) 的一级极点,
且有
Res[
f
( z ),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
.
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
dz
m1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
证 f (z) cm (z z0 )m c2(z z0 )2
c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 )
(z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0(z z0 )m c1(z z0 )m1
(3
1 lim
1)! z0Hale Waihona Puke Baidu
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
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解 如果利用洛朗展开式求c1 较方便:
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z3 z5 , 3! 5!
Res
z
sin z6
z
,0
c1
1 . 5!
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说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
C
以 2i 后所得的数称为 f (z)在 z0 的留数.
记作 Res[ f (z), z0 ]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
二、利用留数求积分
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤
立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
(高阶导数公式)
2i
0
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
C
C
C
0 (柯西-古萨基本定理)
点的一条正向简单闭曲线, 那末
n
f (z)dz 2i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
说明: 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求
被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
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证 如图
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且