用空间向量求点到面的距离
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用向量方法求点到平面的距离时：
1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个法向量
4、代入公式—通过公式 d | A P n | 代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1， PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB， BC的中点．求点D到平面PEF的距离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)， ∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
求法向量
GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
则n·EF ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
用空间向量求点到面的距离
P
一、求点到平面的距离
一般方法：d利ຫໍສະໝຸດ 定义先作出过这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d| AP|sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n |
n
O
A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
________．
解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分 别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 求向量
如图,建立空间直角坐 标系，
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用向量方法求点到平面的距离时：
1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个法向量
4、代入公式—通过公式 d | A P n | 代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1， PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB， BC的中点．求点D到平面PEF的距离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)， ∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
求法向量
GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
则n·EF ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
用空间向量求点到面的距离
P
一、求点到平面的距离
一般方法：d利ຫໍສະໝຸດ 定义先作出过这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d| AP|sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n |
n
O
A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
________．
解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分 别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 求向量
如图,建立空间直角坐 标系，