知识讲解 正态分布

正态分布

【学习目标】

1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

2. 了解正态曲线与正态分布的性质。 【要点梳理】

要点诠释：

要点一、概率密度曲线与概率密度函数

1．概念：

对于连续型随机变量X ，位于x 轴上方，X 落在任一区间（a ，b]内的概率等于它与x 轴、直线x a =与直线x b =所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X 的概率密度曲线，以其作为图象的函数()f x 叫做X 的概率密度函数。

2、性质：

①概率密度函数所取的每个值均是非负的。

②夹于概率密度的曲线与x 轴之间的“平面图形”的面积为1

③()P a X b <<的值等于由直线x a =，x b =与概率密度曲线、x 轴所围成的“平面图形”的面积。 要点二、正态分布

1.正态变量的概率密度函数

正态变量的概率密度函数表达式为：22

()2,()(R)2x x x μσμσϕπσ

--

=

∈，（0,σμ>-∞<<+∞）

其中x 是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；σ是正态变量的标准差.

2．正态分布 （1）定义

如果对于任何实数,()a b a b <随机变量X 满足：,()()b

a

P a X b x dx μσϕ<≤=⎰，

则称随机变量X 服从正态分布。记为2

(,)X N μσ:。 （2）正态分布的期望与方差

若2

(,)X N μσ:，则X 的期望与方差分别为：EX μ=，2

DX σ=。

要点诠释：

（1）正态分布由参数μ和σ确定。

参数μ是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。σ是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。

（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它

就服从或近似服从正态分布．

在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．

要点三、正态曲线及其性质：

1. 正态曲线

如果随机变量X 的概率密度函数为22

()21

()(R)2x f x e x μσπσ

--

=

∈，其中实数μ和σ为参数

（0,σμ>-∞<<+∞），则称函数()f x 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

2．正态曲线的性质：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称； ③曲线在μ=x 时达到峰值

2πσ

； ④当μx 时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近.

⑤曲线与x 轴之间的面积为1； ⑥μ决定曲线的位置和对称性；

当σ一定时，曲线的对称轴位置由μ确定；如下图所示，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移。

⑦σ确定曲线的形状；

当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，

曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。

要点诠释：

性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在x=μ时取最值；性质⑦说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中．

要点四、求正态分布在给定区间上的概率 1. 随机变量取值的概率与面积的关系

若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，那么对于任意实数a 、b （a ＜b ），当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的图形的面积相等．如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a ，b]上取值的概率．

一般地，当随机变量在区间（－∞，a ）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a 左侧以及x 轴围成图形的面积，如图（2）．随机变量在（a ，+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a 右侧以及x 轴围成图形的面积，如图（3）．

根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．

2、正态分布在三个特殊区间的概率值：

()0.683P X μσμσ-<≤+=； (22)0.954P X μσμσ-<<+=； (33)0.997P X μσμσ-<≤+=。

上述结果可用下图表示：

要点诠释：

若随机变量X 服从正态分布2

(,)N μσ，则X 落在(3,3)μσμσ-+内的概率约为，落在

(3,3)μσμσ-+之外的概率约为，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不

可能发生。

一般的，服从于正态分布2

(,)N μσ的随机变量X 通常只取(3,3)μσμσ-+之间的值，简称为3σ原则。

3、求正态分布在给定区间上的概率方法

（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与x 轴之间面积为1。 ①正态曲线关于直线x μ=对称，与x μ=对称的区间上的概率相等。 例如()()P X P X μσμσ<-=>+； ②()1()P X a P X a <=-≥； ③若b μ<，则1()

()2

P b X b P X b μμ--<<+<=

。

(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率： ①()0.6826P X μσμσ-<≤+=； ②(22)0.9544P X μσμσ-<<+=； ③(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=。 【典型例题】

类型一、正态分布的概率密度函数 例1. 下列函数是正态密度函数的是（ ）．

A ．22

()2()2x P x μσπσ

-=

μ，σ（0σ>）都是实数

B ．2

22()x P x π-= C ．2

(1)4()22x P x π--= D ．2

2()e 2x P x π

=