数字信号处理(第二版) 第1章-离散时间信号与系统2

n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k) h(1-k)
n=1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k) h(2-k)
x(n) 1
01 23 4 n 对 h(n)绕纵轴折叠，得h(-n)
h(n) 1/2
0 1 2 3 4 5n
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
对 h(-k)移位得 h(n-k)
y(n)
2.5 2 1.5 1 0.5Βιβλιοθήκη 012 3 4 567 8 9
n
h(0-k)
x(k)
n=0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1.3 离散时间系统
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输 出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个 运算。
y(n)= T[x(n)]
对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系 统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。
1.3.1 线性系统（满足迭加原理的系统）
若 系 统 的 输 入 为 x1(n) 和 x2(n) 时 ， 输 出 分 别 为 y1(n)和y2(n)， 即 y1(n)=T[x1(n)]， y2(n)=T[x2(n)]
如果系统输入为ax1(n)+bx2(n)时， 输出为ay1(n)+by2(n)，
其中a， b为任意常数，则该系统为线性系统。
n
x(k)
n=9
h(9-k)
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
令m′=n-m，做变量代换，则卷积公式变为
y(n) x(m)h(n m) x(n m)h(m) h(n) * x(n)
m
m
因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调。（即 输入为x(n)、单位脉冲响应为h(n)的线性时 不 变 系 统 与 输 入 为 h(n) 、 单 位 脉 冲 响 应 为 x(n)的线性时不变系统具有同样的输出）
则系统对任一输入序列x(n)的响应为
y(n) T[x(n)]
T
k
x(k
)
(n
k
)
由于系统是线性的，满足迭加定理
y(n) x(k)T (n k)
k
又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于 单位脉冲响应的移位。
T (n k) h(n k)
注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示
线性时不变系统简称为：LTI
1.3.3 线性时不变系统
线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。
我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和
x(n) x(k ) (n k )
k
如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应， h(n)=T[δ(n)]
因此 y(n) x(k )h(n k ) x(n) * h(n)
k
该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单 位脉冲响应h（n）来表示。这个公式和模拟系统的卷积是 类似的，称为离散卷积、卷积和或线性卷积。
卷积过程： ① 对 h(k)绕纵轴折叠，得h(-k)； ② 对 h(-k)移位得 h(n-k)； ③ 将 x(k)和 h(n-k)所有对应项相乘之后相加，得离散 卷积结果 y(n)。
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k)
h(8-k) n=8
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
y(n)
将 x(m)和 h(n-m)
所有对应项相乘之后相加， 2.5
得离散卷积结果 y（n）
2
1.5
1
0.5
012 3 4 567 8 9
所以，线性系统的条件为 T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
=ay1(n)+by2(n) 线性系统对信号的处满足 可迭加性。
例: 设一系统的输入输出关系为 y(n)=x2(n)
试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x (n)产生的输出信号T{x (n)}为
T[x (n)]=x2(n) 输入信号ax(n)产生的输出信号T{ax (n)}为
012 3 4 567 8 9
n
x(k) h(4-k) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n=4
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k)
h(5-k)
n=5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
y(n)
离散卷积也称为“线性卷积”或“卷积和
”，以区别其他种类的卷积。
例：用MATLAB函数conv计算两个序列的离散卷积。
{x(n)} {1, 0, 1, 1, 0, 1} {h(n)} {1 0, 2, 1, 1 }
%输入x(n)及其下标
x=[1,0,-1,1,0,1]; kx=-2:3; %输入h(n)及其下标
T[ax (n)]= a2x2(n) 除了a=0,1情况，T[ax (n)] aT[x (n)]。故系统不满 足线性系统的定义，所以系统是非线性系统。
1.3.2 时不变系统 如果 T[x(n)]=y(n)， 则 T[x(n-n0)]=y(n-n0) （ n0为任意整数）
即系统的特性不随时间而变化。
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k)
h(6-k)
n=6
-1 0 1 2 3 4 5 6
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k)
h(7-k)
n=7
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n=2
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k) h(3-k) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n=3
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5