(优选)矩阵对策的解法详解.
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矩阵对策的解法
3.1 公式法、图解法和方程组法
1. 2×2 对策的公式法
2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2 阶的, 即
A
a11 a21
a12
a22
如果 A 有鞍点, 则很快可求出各局中人的最优纯策略; 如果
A 没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的 xi* , yj* 均 大于零。于是, 由定理 6 可知, 为求最优混合策略可求下列
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 y*.
（6）根据定理6的结论计算 x* 的值。
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10
例14
用图解法求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
2 7
A
6
6
11 2
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11
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12
例 15
求解赢得矩阵A 的矩阵对策
A 4 1
8
3 5
4 5
2 7
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13
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3. 线性方程组方法
根据定理4 , 求解矩阵对策解( x*, y* ) 的问题等价于求解不 等式组，又根据定理5 和定理6 , 如果假设最优策略中的 xi* 和 yj* 均不为零, 即可将上述两个不等式组的求解问题转化 成求解下面两个方程组的问题:
(1) i
i
aij xi v, j 1,2,...,n
xi 1
(2)
j j
aij y j v,i 1,2,...,m yj 1
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15
3. 线性方程组方法
例16
求解矩阵对策——“齐王赛马”
3 1 1 1 1 1
1
3
1
1
1
1
1 1 3 1 1 1
A 1 1
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根据定理11, 不等式组(1) 等价于以下线性规划问题:
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 x*.
（6）根据定理6的结论计算 y* 的值。
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6
例13
考虑矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A}, 其中
A
2 7
3 5
11
2
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7
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8
如上图，由最小最大原则确定 B 点所对应的横坐标为所求， 故联立经过该点的两条直线方程：
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2. 2× n 或m×2 对策的图解法
m×2对策的解题步骤：
（1）在直角坐标系(横坐标为 y)中作直线 I：y = 0；II：y = 1；
（2）在直线I处按矩阵第2列的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1列 的值标纵坐标；其意义是指当局中人二采用其中一个纯策略时，局 中人一各策略相对应的赢得值；
j
aij y j v, i 1,2,...,m
(2) y j 1
j
y
j
0,
j
1,2,...,n
其中
v maxmin E(x, y) min max E(x, y)
xS1* yS2*
yS2* xS1*
就是对策的值VG 。
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定理11 设矩阵对策G= { S1 , S2 ; A}的值为 VG , 则
1
3
1
1
1 1 1 1 3 1
1 1 1 1 1 3
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例17
某厂用三种不同的设备 1 、 2 、 3 加工三种不同的产品 1 、 2 、 3 , 已知三种设备分别加工三种产品时, 单位时间
内创造的价值由下表给出。
被加工产品
使用设备
1
2
3
1
3-24来自2-14
2
3
2
2
6
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VG
max min E(x,
xS1* 1 jn
j)
min max E(i,
yS2* 1im
y)
矩阵对策的线性规划方法
作变换: xi = xi / v, i = 1 , ⋯ , m,则不等式组(1)变为
aij xi 1, j 1,2,...,n
i
(1) xi 1/ v
i xi 0,i 1,2,...,m
（3）按行的方向将各对应横坐标值连成直线；
（4）令 0 < y < 1，即局中人二采用混合策略，按最大最小原则，在 图中找出局中人二的最优策略；具体方法是：让 y 在(0, 1)内变动， 找出经过点(y, 0)的垂线与上述直线交点中纵坐标最大的点集(某些线 段)，然后再从中找出纵坐标最小的点 P 所对应的横坐标即为所求；
2× n 对策的解题步骤：
（1）在直角坐标系中作直线 I：x = 0；II：x = 1；
（2）在直线I处按矩阵第2行的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1行 的值标纵坐标；其意义是指当局中人一采用其中一个纯策略时，局 中人二各策略相对应的赢得值；
（3）按列的方向将各对应纵坐标值连成直线；
（4）令 0 < x < 1，即局中人一采用混合策略，按最小最大原则，在 图中找出局中人一的最优策略；具体方法是：让 x 在(0, 1)内变动， 找出经过点(x, 0)的垂线与上述直线交点中纵坐标最小的点集(某些线 段)，然后再从中找出纵坐标最大的点 P 所对应的横坐标即为所求；
等式组:
(1)aa1121xx11
a21x2 a22 x2
v v
x1 x2 1
(2)aa1211yy11
a12 y2 a22 y2
v v
y1 y2 1
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4
例12
求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
A
1 4
3 2
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5
2. 2× n 或m×2 对策的图解法
3x 5(1 x) v 11x 2(1 x) v
x 3 ,v 49 11 11
即得 x1* = 3/11, x2* = 8/11，又因它们均大于零，故由定理6
又有：
2 7
y1* y1*
3
y
* 2
5 y2*
11y3* v 2 y3* v
y1*
y
* 2
y3*
1
又因为 2x1* + 7x2* = 62/11 > v, 所以又定理6的结果知 y1* = 0， 从而由上述方程可解出 y2* = 9/11, y3* = 2/11.
17
3. 2 线性规划方法
由定理5知, 任一矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A}的求解均 等价于一对互为对偶的线性规划问题, 而定理4 表明, 对策 G 的解 x* 和 y* 等价于下面两个不等式组的解。
i
aij xi v, j 1,2,...,n
(1) xi 1
i
xi 0,i 1,2,...,m
3.1 公式法、图解法和方程组法
1. 2×2 对策的公式法
2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2 阶的, 即
A
a11 a21
a12
a22
如果 A 有鞍点, 则很快可求出各局中人的最优纯策略; 如果
A 没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的 xi* , yj* 均 大于零。于是, 由定理 6 可知, 为求最优混合策略可求下列
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 y*.
（6）根据定理6的结论计算 x* 的值。
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例14
用图解法求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
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A
6
6
11 2
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例 15
求解赢得矩阵A 的矩阵对策
A 4 1
8
3 5
4 5
2 7
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3. 线性方程组方法
根据定理4 , 求解矩阵对策解( x*, y* ) 的问题等价于求解不 等式组，又根据定理5 和定理6 , 如果假设最优策略中的 xi* 和 yj* 均不为零, 即可将上述两个不等式组的求解问题转化 成求解下面两个方程组的问题:
(1) i
i
aij xi v, j 1,2,...,n
xi 1
(2)
j j
aij y j v,i 1,2,...,m yj 1
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3. 线性方程组方法
例16
求解矩阵对策——“齐王赛马”
3 1 1 1 1 1
1
3
1
1
1
1
1 1 3 1 1 1
A 1 1
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根据定理11, 不等式组(1) 等价于以下线性规划问题:
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 x*.
（6）根据定理6的结论计算 y* 的值。
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例13
考虑矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A}, 其中
A
2 7
3 5
11
2
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8
如上图，由最小最大原则确定 B 点所对应的横坐标为所求， 故联立经过该点的两条直线方程：
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2. 2× n 或m×2 对策的图解法
m×2对策的解题步骤：
（1）在直角坐标系(横坐标为 y)中作直线 I：y = 0；II：y = 1；
（2）在直线I处按矩阵第2列的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1列 的值标纵坐标；其意义是指当局中人二采用其中一个纯策略时，局 中人一各策略相对应的赢得值；
j
aij y j v, i 1,2,...,m
(2) y j 1
j
y
j
0,
j
1,2,...,n
其中
v maxmin E(x, y) min max E(x, y)
xS1* yS2*
yS2* xS1*
就是对策的值VG 。
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定理11 设矩阵对策G= { S1 , S2 ; A}的值为 VG , 则
1
3
1
1
1 1 1 1 3 1
1 1 1 1 1 3
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16
例17
某厂用三种不同的设备 1 、 2 、 3 加工三种不同的产品 1 、 2 、 3 , 已知三种设备分别加工三种产品时, 单位时间
内创造的价值由下表给出。
被加工产品
使用设备
1
2
3
1
3-24来自2-14
2
3
2
2
6
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VG
max min E(x,
xS1* 1 jn
j)
min max E(i,
yS2* 1im
y)
矩阵对策的线性规划方法
作变换: xi = xi / v, i = 1 , ⋯ , m,则不等式组(1)变为
aij xi 1, j 1,2,...,n
i
(1) xi 1/ v
i xi 0,i 1,2,...,m
（3）按行的方向将各对应横坐标值连成直线；
（4）令 0 < y < 1，即局中人二采用混合策略，按最大最小原则，在 图中找出局中人二的最优策略；具体方法是：让 y 在(0, 1)内变动， 找出经过点(y, 0)的垂线与上述直线交点中纵坐标最大的点集(某些线 段)，然后再从中找出纵坐标最小的点 P 所对应的横坐标即为所求；
2× n 对策的解题步骤：
（1）在直角坐标系中作直线 I：x = 0；II：x = 1；
（2）在直线I处按矩阵第2行的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1行 的值标纵坐标；其意义是指当局中人一采用其中一个纯策略时，局 中人二各策略相对应的赢得值；
（3）按列的方向将各对应纵坐标值连成直线；
（4）令 0 < x < 1，即局中人一采用混合策略，按最小最大原则，在 图中找出局中人一的最优策略；具体方法是：让 x 在(0, 1)内变动， 找出经过点(x, 0)的垂线与上述直线交点中纵坐标最小的点集(某些线 段)，然后再从中找出纵坐标最大的点 P 所对应的横坐标即为所求；
等式组:
(1)aa1121xx11
a21x2 a22 x2
v v
x1 x2 1
(2)aa1211yy11
a12 y2 a22 y2
v v
y1 y2 1
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例12
求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
A
1 4
3 2
2020/7/19
5
2. 2× n 或m×2 对策的图解法
3x 5(1 x) v 11x 2(1 x) v
x 3 ,v 49 11 11
即得 x1* = 3/11, x2* = 8/11，又因它们均大于零，故由定理6
又有：
2 7
y1* y1*
3
y
* 2
5 y2*
11y3* v 2 y3* v
y1*
y
* 2
y3*
1
又因为 2x1* + 7x2* = 62/11 > v, 所以又定理6的结果知 y1* = 0， 从而由上述方程可解出 y2* = 9/11, y3* = 2/11.
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3. 2 线性规划方法
由定理5知, 任一矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A}的求解均 等价于一对互为对偶的线性规划问题, 而定理4 表明, 对策 G 的解 x* 和 y* 等价于下面两个不等式组的解。
i
aij xi v, j 1,2,...,n
(1) xi 1
i
xi 0,i 1,2,...,m