梁的刚度校核计算

σ max
(
)
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
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(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 ql 2 = = 0.125ql 2 8 5ql 4 ql 4 = = 0.0130 384 EI EI
2 = 104 000 mm 3
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* S z ,max 的值也可按下式得出： 当然，
* z , max
S
(100 − 11) mm 11 = 73 mm × 11 mm × 100 − mm + (100 − 11) mm × 7 mm × 2 2 = 104000 mm 3
(
)
(
)
( ) ( (40 ×10 N )(0.9 m)× (3 × 2.4 m (12 ×10 N )(0.6 m)× (3 × 2.4 m
3 2 3 2
2
2
) − 4 × 0.9 m ) + − 4 × 0.6 m )]
2 2 2 2
1671× 103 N ⋅ m 2 = = 4.66 ×10 −3 m 48 210 ×109 Pa 2 ×1 780 × 10 −8 m 4
其值小于许用切应力[τ]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
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应力强度条件。
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3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截 面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座 的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计 算公式为 Fb 3l 2 − 4b 2 wC = 48EI
梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)：
wmax w ≤ l l
θ max ≤ [θ ]
w 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠 l 跨比)，[θ]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 于是
τ max =
( FS,max / 2) S z∗,max Izd
(69 × 103 N) × 104 × 10-6 m 3 = (1780 ×10-8 m 4 )(7 × 10 −3 m)
= 57.6 × 106 Pa = 57.6 MPa
FS,max 2 138 kN = = 69 × 103 N 2
每根20a号槽钢其横截面在中性轴一 侧的面积对中性轴的静矩，根据该号 槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：
* z , max
S
(100 − 11) mm = (73 mm ×100 mm × 50 mm ) − (100 − 11) mm × (73 − 7 ) mm ×
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1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩 图如图c和图e。最大弯矩 在距左支座0.8 m处， Mmax=62.4 kN·m。梁所需 的弯曲截面系数为 Wz ≥ M max 62.4 × 103 N ⋅ m = = 367 × 10 −6 m 3 170 × 106 Pa
(
)(
)
而许可挠度为
1 w [w] = × l = × 2.4 m = 6 ×10−3 m 400 l
由于wmax<[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。
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Ⅱ. 提高梁的刚度的措施 (1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增 大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截 面。
[σ ]
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而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应 力[σ]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验： 62.4 × 103 N ⋅ m = = 175 ×106 Pa = 175 MPa 2 × 178 × 10 −6 m 3
(
) )
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可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为 Fa 3l 2 − 4a 2 wC = 48EI
(
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于是由叠加原理可得 1 wmax ≈ wC = [ 120 × 103 N (0.4 m )× 3 × 2.4 2 m 2 − 4 × 0.4 2 m 2 + 48EI 30 ×103 N (0.8 m )× 3 × 2.4 2 m 2 − 4 × 0.82 m 2 +
条件。
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1 1 w ~ 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， = 。在 l 250 1000 机械工程中，对于主要的轴， w = 1 ~ 1 ；对于传动轴还 l 5000 10000
要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，θ ] = 0.005 ~ 0.001 rad 。 [
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例题1 例题1 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既 满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[σ]=170
1 w 。 MPa，[τ]=100 MPa，E=210 GPa， = l 400
•
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解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型 号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然 后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作 更改。