基于线性规划在证券投资组合模型中的应用

基于线性规划在证券投资组合模型中的应用作者：杨静冯乐乐张庆樊灿
来源：《山东青年》2014年第12期
摘要：证券投资组合是指投资者根据风险程度和收益情况下，参照以前的证券投资规律，选择一种低风险的投资策略。

由此马科维茨的“均值-方差组合模型”则显得备受欢迎。

然而，事实并非如此，“均值-方差组合模型”在计算上并不被人们认可，所以不能大范围的推广，在实际生活中的应用少之又少。

为了解决这个问题，本文在分析了马科维茨模型后，提出了一种新的证券投资组合模型，即“基于线性规划的投资组合模型”。

该模型通过建立与求解证券投资组合中风险最小化线性规划模型及收益最大化线性规划模型，以求寻找一种更加优化的证券投资组合，做出正确的投资策略。

关键词：线性规划;证券投资;马科维茨;收益;风险
一、绪论
1、文献概述
马科维茨（Markowitz）于1952年提出投资组合理论，开创了金融数理分析的先河，是现代经济学的一个不可或缺的理论基础。

在马科维茨的投资组合模型中，数学期望代表着预期收益，方差代表着风险，协方差代表着资产之间的相互关系。

投资组合的数学期望为投资组合中所有资产收益的加权平均数，而资产组合的方差为各资产方方差及其协方差的加权平均[1]。

利用马科维茨模型确定最小方差投资组合，首先要得到构成投河组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算投资组合的收益和风险。

基于此，方可根据投资者投资决策的基本准则确定来最小方差投资组合。

基于马科维茨投资组合的基本思想，我们不难知道在资产完全不相关的情况下，投资组合的风险会随着资产数量的增加而趋于无穷小，甚至可变为零。

而在现实生活中，资产完全不相关或完全相关的情况并不多见，其中大部分都处于不完全相关状态，所以资产之间的协方差就成了投资组合方差的决定因素，而协方差是不能依靠投资组合的多元化来降低的。

2、提出问题
在进行证券投资时，投资者必须确保在获得一定的收益时使得风险降到最低，或在可接受的风险水平下使得获得利益达到最大[2]。

为了达到这个目标，并创造出更多可供选择的投资组合情形。

虽然投资收益的证券，可获得较高的收益;但是，高收益也意味着要承担的风险更高。

如果投资者只是投资于某一种市场有价证券，那么一旦该有价证券的市场价格有较大的波动，投资者将承受很大的损失。

所以，好的投资方法就是将资金发散地投资到各种不同收益和风险证券上，以“证券投资组合”的方式来降低投资风险[3]。

3、研究的主要内容
针对“均值-方差组合模型”的理论缺陷，我们做了简要的研究和评价。

针对带交易费的最佳投资组合的选择问题可以表示为不可微分非线性规划模型，当然其求解是比较困难的，因此我们提出了一种新的解决方法，只需一次变换就可将该类不可微分非线性规划模型转化为一个线性规划模型，不仅使求解过程得到很大程度上的简化，而且减少了该模型的变量个数。

最后，根据统计数据表明的资产收益率并不一定服从正态分布，来选择度量风险的标准。

二、马科维茨模型的基本概念与理论
1、“均值—方差”模型的基本假设
（1）投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一特定时间内的证券收益的概率分布。

（2）投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。

（3）在一定的风险水平上，投资者期望收益最大;相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。

2、“均值—方差”模型的基本内容
根据以上三条假设，马科维茨确定了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的“均值—方差”模型：
目标函数：minσ2（rp）ΣΣixjCOV（ri-rj）
rp=Σxiri
限制条件：1=Σxi （允许为空）
或0≤Σxi
其中rp为组合收益， ri为第i只股票的收益，xi、xj为证券 i、j的投资比例，σ2（rp）为投资组合方差，COV（ri 、rj）为证券i与j之间的协方差。

该模型为现代证券投资理论奠定了基础。

上式中，在限制条件下求解Xi 证券收益率使风险组合б2（rp）达到最小，可以通过拉格朗日目标函数实现。

其经济学意义是，投资者可以先确定一个期望收益，通过上式确定投资者在每个投资项目上的投资比例，使其总投资风险达到最小[4]。

不同的期望收益有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集。

3、资产收益及风险特征
资产收益是一个不确定因素，在不同的经济状况及社会各界影响下，我们对资产收益作出了不同的估计。

每一种经济状况及在该种状况下的资产收益率的发生，都有各自不同的概率，把所有可能出现的资产收益率按其发生的概率进行加权平均求值计算，便对这一资产未来可能出现的资产收益率有了一个比较客观的综合估计，这便是预期收益率的含义所在[5]。

也就是说，预期收益率并不代表将来可能获得的资产收益，只能反应出未来最有可能的资产收益情况。

数学期望为估计资产收益提供了一个重要的科学的工具。

在不同的经济状况下，我们可对资产收益作出不同的合理估计，每一种估计的发生都有不同的概率，二者的加权平均就是数学期望，其公式为E（r）=Σni=1hiri，式中ri为第i种收益预期，hi为ri发生的概率，E（r）为预期收益率。

（2）风险—方差
方差反应的是随机变量中数学期望这一性质的离散程度，由于我们把投资风险定义成实际收益偏离预期收益的潜在可能性，因此，我们可以将预期收益的方差作为标准来衡量风险的大小，其公式为σ2=Σni=1hi[ri-E（r）]2和σ=Σni=1hi[ri-E（r）]2。

方差的平方根为标准离差，标准离差越大，随机变量与数学期望的偏离就越大，风险也就越大。

从经济学的角度考虑，离差[ri-E（r）]也是也有正负，正离差对投资者是有利的，而负离差才是我们要计算的风险值[3]。

因此，有人提出过半方差的标准，但随机变量的分布是系统性的，正负相当，所以没有必要太精细。

而且在大量的运算中，要把负离差都挑选出来也是一个不小的工作量。

（3）样本均值与方差
在实际生活中，一个事件发生的概率是事先不知道的，资产收益率尤其如此，这就需要用到样本来估计未来收益的风险，计算样本均值与方差。

在计算资产收益的样本均值与方差时，我们可以将之前的收益作为样本，并可假设资产收益的分布概率是不变的[5]。

样本均值与方差给我们提供了一个评价资产收益的方法，但在进行资产比较时要注意，风险不同的资产收益率是不可以直接进行比较的。

三、数学模型及优化
1、基本假设及符号说明
①用于投资的资金数额足够大;
②总体风险可用总投资的资产中最大的一个风险来度量;
③各种资产投资风险相互独立。

（2）符号说明
Si：第i种资产（i=1，2，3，...，n，n+1）， ; 其中Sn+1表示存入银行;
ri：Si的平均收益率;
qi：Si的风险损失率;
pi：Si的交易费率;
M：资金总额;
Xi：投资Si占总额的比重（不含交易费），以下简称投资;
Yi：投资Si的交易费占总额的比重，以下简称交易费;
f1：净收益;
f2：总体风险;
λ：权因子;
2、建立模型
（1）基本模型
我们的目的在各种资产投资之后，不仅要获得尽可能大的收益，而且要使投资风险降到最低，所以我们的目标函数为收益和风险两个函数。

并且在一段时间内的各种资产的平均收益率和风险损失率均已由财务人员分析出来了，所以我们可以建立以下数学模型：
目标1 maxf1= Σn+1 i=1（RiXi-Yi）
目标2 minf2=max1≤i≤n（qiXi）
S.t.Σn+1 i=1（Xi+Yi）其中Yi=0Xi=0
uiMPi 0
XiPIXi>uiM
这是一个多目标线性规划模型，并且f1不是Xi的连续函数，求解时比较麻烦。

因此我们将它转化为一个线性规划模型。

（2）目标函数的确定
将多目标规划变为单目标问题进行求解，有很多种方法。

在这里，我们使用现行加权法。

总目标函数; ; min f=λf2+（1-λ）（-f1）
λ反映了风险投资中投资者的主观因素，λ越小表示投资风险越大。

特别地，λ=0表示只顾利益不顾风险，这样的人有可能取得最大收益;λ=1表示只顾风险而不顾收益，这样的人会将所有资金存入银行。

（3）近似于线性化的交易费函数
现将Yi近似为Xi的线性函数，即
Yi=piXi
当投资规模充分大时，对优化结果不会有明显影响。

一方面，对于i=1，2，3，...，n，若Si的投资很小，会白白浪费交易费，对优化不利，最优解一般不会小于Xi;另一方面，当投资总额很大时，不足购买费阈值的追加费用对目标函数影响不大。

四、结果
令Xn+2=f2，那么必有qiXi≤Xn+2 ;（i=1，2，3，...，n）。

由于目标函数优化f，从而最优解必可使max1≤i≤n（qiXi）达到Xn+2 ，如此便得到证券投资组合的线性规划模型，即：
minf=（1-λ）Σn+1 i=1（pi-ri）Xi+λXn+2
S.t. Σn+1 i=1（1+pi）Xi=1
qiXi-Xn+2≤0i-1，2，3，…，n
x1≥0i=1，2，3，…，n+2
这就是所要寻找的线性规划模型，可将其应用于最优证券投资组合。

[参考文献]
[1]马娟.风险控制投资模型与最大获益研究[J].科技情报开发与经济社，2008
[2]房勇，汪寿阳.模糊投资组合优化理论与方法[M].北京：高等教育出版社，2005
[3]刘红忠.投资学[M].北京：高等教育出版社，2003
[4]于海，周欢.项目投资决策的模型选择[J].北京：技术经济与管理研究社，2005
[5]威廉.夏普，赵军.投资学[M].北京：中国人民大学出版社，1998。

*致谢：感谢华北科技学院基础部孙士国老师对本文的悉心指导！
（作者单位：华北科技学院基础部，北京 101601）。