第二章-导数与微分
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的几何意义
思考题：导数与导函数的关系.
授课章节
第二章导数与微分第二节导数的求导法则
目的要求
会求导数
重点难点
复合函数的求导问题
第二节导数的求导法则
一、函数的导数四则运算公式
1定理1u(x),v(x)是可导函数，则
推广：
推广：
特例：
2举例
例① ，求
例② ，
例③ ，求
例④ ，求
例⑤ ，求
同理可求得
二、反函数的求导法则
存在，则称y=f(x)在点x0可导，且称该极限值为y=f(x)在点x0的导数，记 等。说明：①导数的等价形式
② ,导数不存在，但称为导数为无穷大。
③导函数（简称导数）
左可导 、
右可导 。
2求导数举：
例① 的导数
注：“n”换成任意实数上述结论仍然成立。
例② 的导数
同理可求 的导数。
例③ 的导数
特别是 的导数。
6．由参数方程所确定的函数的导数
分析：由 可得
7．二阶导数导数（注意：二阶导数导数是把译介导函数看成是新函数，在求一次导）
例7已知椭圆参数方程 ，求在点 相应的点处的切线方程。
例8计算参数方程 的二阶导数。
（可补充例题，把相关变化率放在下一次课讲）
三、相关变化率
对于参数方程 ， 与 相互依赖的变化关系称为相关变化率。
如
500mv=140m/min(分)
0500m
一个气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速度为140m/分当气球高度为500m时，观察员视线的仰角 增加率是多少？
分析：
内容小结：高阶导数、隐函数求导、参数方程求导
思考题：若 的导数存在,
授课章节
第二章导数与微分第五节函数的微分
目的要求
了解微分的计算公式及几何意义
2．隐函数：如
3．隐函数的显化：如
4．隐函数的导数：举例
例7求由 所确定的隐函数的导数。
例8求由 所确定的隐函数在 处的导数。
例9求椭圆 在点（2， ）处的切线方程。
例10求由 所确定的隐函数的二阶导数导数。
例11求 的导数。
求 的导数。
二、由参数方程所确定的函数的导数
5．参数方程：
如抛射体的运动轨迹 ，其中v1为水平方向初速度，v2为垂直方向初速度。
例⑾
例⑿
例⒀设x>0,证明 (可不讲)
例⒁
例⒂ , (自己做)
内容小结：导数的求导法则
思考题：常数导数为零的几何意义.
授课章节
第二章导数与微分第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率
目的要求
导数计算
重点难点
隐函数求导、参数方程求导
第三节高阶导数
（首先复习一下初等函数的求导公式）
例3已知函数 ，求 。
例4已知函数 ，求 。
例5在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
（1）d( )=xdx
（1）d( )=coswxdx
六、微分在近似计算中的应用
（略）
内容小结：函数的微分
思考题：什么叫一阶微分形式不变性.
1定理2如果函数 在区间Iy内单调、可导，且 ，则它的反函数 在对应区间Ix内单调、可导,且
分析：
2举例
例⑥ ，求
同理可求其它三个反函数的导数。
三、复合函数求导法则
1定理3如果 在点x可导， 在点 可导，则复合函数 在点x可导，且其导数为
注： 与 的区别。
分析：
2举例,求下列各函数的
例⑦
例⑧
例⑨
例⑩
授课章节
第二章导数与微分第一节导数的概念
目的要求
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导数定义
2．导数的几何意义
重点难点
导数定义
第一节导数的概念
一、引例
1变速直线运动的速度：
由 推出瞬时速度概念。
2曲线切线斜率：
由 推出切线斜率概念。
二、导数定义
给出函数y=f(x)增量的概念： 自变量增量；
函数增量。
1导数定义：设f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且
重点难点
微分的计算公式
第五节函数的微分
一、引例
一、微分定义
定义：设函数 在某区域内有定义，x0及x0+△x在这区间内如果函数的增量为 可表示为 ，其中A是不依赖于 的常数，则称函数 在点x0是可微的， 称为函数 的微分，记dy，即 。
二、可微条件及计算公式
函数 在点x0是可微的充分必要条件是函数 在点x0是可导，且
分析：
注：
1． ，称 为 的线性主部。
2． →函数增量； →值变量增量，且 。
3．由于 ，称导数为微商。
三、微分的几何意义
（画图，简介用微分近似等于函数增量的近似计算方法。）
四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
（书上P114）
五、举例
例1求函数 在x=1和x=3处的微分。
例2求函数 当 的微分。
例④ 的导数
特别是 的导数。
例⑤ 的可导性
三、导数的几何意义：
①曲线在x0点的切线斜率：
②过x0点的切线方程：
③过x0点的法线方程：
例⑥求等边双曲线 在点（1/2，2）处的切线方程及法线方程
例⑦求 通过点（0，－4）的切线方程
四、函数可导性与连续性的关系
可导一定连续，而连续不一定可导。（简单分析）
内容小结：导数定义
一、高阶导数
二阶导数；记法。
n阶导数；记法。
二、举例
例① ，求
例② ，求
例③证明函数 满足关系式
例④求指数函数 的n阶导数
例⑤求 的n阶导数（ ）
例⑥求 的n阶导数
例⑦ 的n阶导数
三、莱布尼茨公式
（只做作业中的一道题练习）
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率
一、隐函数的导数
1．显函数：如
思考题：导数与导函数的关系.
授课章节
第二章导数与微分第二节导数的求导法则
目的要求
会求导数
重点难点
复合函数的求导问题
第二节导数的求导法则
一、函数的导数四则运算公式
1定理1u(x),v(x)是可导函数，则
推广：
推广：
特例：
2举例
例① ，求
例② ，
例③ ，求
例④ ，求
例⑤ ，求
同理可求得
二、反函数的求导法则
存在，则称y=f(x)在点x0可导，且称该极限值为y=f(x)在点x0的导数，记 等。说明：①导数的等价形式
② ,导数不存在，但称为导数为无穷大。
③导函数（简称导数）
左可导 、
右可导 。
2求导数举：
例① 的导数
注：“n”换成任意实数上述结论仍然成立。
例② 的导数
同理可求 的导数。
例③ 的导数
特别是 的导数。
6．由参数方程所确定的函数的导数
分析：由 可得
7．二阶导数导数（注意：二阶导数导数是把译介导函数看成是新函数，在求一次导）
例7已知椭圆参数方程 ，求在点 相应的点处的切线方程。
例8计算参数方程 的二阶导数。
（可补充例题，把相关变化率放在下一次课讲）
三、相关变化率
对于参数方程 ， 与 相互依赖的变化关系称为相关变化率。
如
500mv=140m/min(分)
0500m
一个气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速度为140m/分当气球高度为500m时，观察员视线的仰角 增加率是多少？
分析：
内容小结：高阶导数、隐函数求导、参数方程求导
思考题：若 的导数存在,
授课章节
第二章导数与微分第五节函数的微分
目的要求
了解微分的计算公式及几何意义
2．隐函数：如
3．隐函数的显化：如
4．隐函数的导数：举例
例7求由 所确定的隐函数的导数。
例8求由 所确定的隐函数在 处的导数。
例9求椭圆 在点（2， ）处的切线方程。
例10求由 所确定的隐函数的二阶导数导数。
例11求 的导数。
求 的导数。
二、由参数方程所确定的函数的导数
5．参数方程：
如抛射体的运动轨迹 ，其中v1为水平方向初速度，v2为垂直方向初速度。
例⑾
例⑿
例⒀设x>0,证明 (可不讲)
例⒁
例⒂ , (自己做)
内容小结：导数的求导法则
思考题：常数导数为零的几何意义.
授课章节
第二章导数与微分第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率
目的要求
导数计算
重点难点
隐函数求导、参数方程求导
第三节高阶导数
（首先复习一下初等函数的求导公式）
例3已知函数 ，求 。
例4已知函数 ，求 。
例5在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
（1）d( )=xdx
（1）d( )=coswxdx
六、微分在近似计算中的应用
（略）
内容小结：函数的微分
思考题：什么叫一阶微分形式不变性.
1定理2如果函数 在区间Iy内单调、可导，且 ，则它的反函数 在对应区间Ix内单调、可导,且
分析：
2举例
例⑥ ，求
同理可求其它三个反函数的导数。
三、复合函数求导法则
1定理3如果 在点x可导， 在点 可导，则复合函数 在点x可导，且其导数为
注： 与 的区别。
分析：
2举例,求下列各函数的
例⑦
例⑧
例⑨
例⑩
授课章节
第二章导数与微分第一节导数的概念
目的要求
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导数定义
2．导数的几何意义
重点难点
导数定义
第一节导数的概念
一、引例
1变速直线运动的速度：
由 推出瞬时速度概念。
2曲线切线斜率：
由 推出切线斜率概念。
二、导数定义
给出函数y=f(x)增量的概念： 自变量增量；
函数增量。
1导数定义：设f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且
重点难点
微分的计算公式
第五节函数的微分
一、引例
一、微分定义
定义：设函数 在某区域内有定义，x0及x0+△x在这区间内如果函数的增量为 可表示为 ，其中A是不依赖于 的常数，则称函数 在点x0是可微的， 称为函数 的微分，记dy，即 。
二、可微条件及计算公式
函数 在点x0是可微的充分必要条件是函数 在点x0是可导，且
分析：
注：
1． ，称 为 的线性主部。
2． →函数增量； →值变量增量，且 。
3．由于 ，称导数为微商。
三、微分的几何意义
（画图，简介用微分近似等于函数增量的近似计算方法。）
四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
（书上P114）
五、举例
例1求函数 在x=1和x=3处的微分。
例2求函数 当 的微分。
例④ 的导数
特别是 的导数。
例⑤ 的可导性
三、导数的几何意义：
①曲线在x0点的切线斜率：
②过x0点的切线方程：
③过x0点的法线方程：
例⑥求等边双曲线 在点（1/2，2）处的切线方程及法线方程
例⑦求 通过点（0，－4）的切线方程
四、函数可导性与连续性的关系
可导一定连续，而连续不一定可导。（简单分析）
内容小结：导数定义
一、高阶导数
二阶导数；记法。
n阶导数；记法。
二、举例
例① ，求
例② ，求
例③证明函数 满足关系式
例④求指数函数 的n阶导数
例⑤求 的n阶导数（ ）
例⑥求 的n阶导数
例⑦ 的n阶导数
三、莱布尼茨公式
（只做作业中的一道题练习）
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率
一、隐函数的导数
1．显函数：如