振动理论 第六讲 有阻尼自由振动举例

n 0.5 25 12.5
系统自由振动的位移表达式为
x(t ) A exp(12.5t ) sin(21.65t )
由边界条件确定其他未知量
例、3 确定使水准仪不发生振动的阻尼系数（42页例3）

cy
m x gAx
m
y l x L
力矩平衡：
cy l m L gAx L 0 x cl 2 x m L gAx L 0 x L
x (t ) A1e A2 e
s1t
s2t
x 0） x 0 （ x 0） x 0 （
1 x (t ) s1 s 2
( x
0
x0 s2 ) e
s1 t
ห้องสมุดไป่ตู้
( x 0 s1 x 0 ) e
s2 t

振动特性
•无阻尼 0：
简谐运动 •弱阻尼 0 < <1： 振幅按指数衰减的准周期振动 •临界阻尼 =1：
系统的无阻尼固有频率为
k 5 1000 n 25rad/s m 8 系统的临界阻尼系数为
c c 2mn 2 8 25 400N.s / m
系统的阻尼比为
c 0.2 0.5 c c 0.4
系统为弱阻尼系统，有阻尼固有频率为
d 1 0.52 25 21.65rad/s
系统对初始扰动的响应 讨论 (3)
1
s2t
方程的解
x (t ) A1 A2 t e
x 0） x0 （ x 0） x0 （
x (t )e [ x0 ( x0 x0 s ) t ]
st
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (4) 1 方程的解
c0 2 mk
c c c0 2 m k
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (1)
0
方程的解
x (t ) A cos n t ） （
A
0 / n ) 2 x (x
2 0
x 0 n x0 π arc tan x0 n
衰减运动，在初始扰动下回零时间最短
•过阻尼 >1： 衰减运动
问题处理思路
画自由体受力图
d 2x dx m 2 c kx 0 得到运动方程 dt dt d 2 x c dx k 把方程化为标准形式 dt 2 m dt m x 0
识别参数 n 和 :
d 2 x c dx k x0 2 dt m dt m
首先从形状可 以判断其为弱 阻尼振动，因 而有
x n Ae
n tn
cos ( d tn ) cos ( d tn1 ) cos ( d tn )
tn1 tn d
x n1 Ae
n t n1
x n1 Ae
n ( t n d )
m L2 cl 2 x L2 gAx 0 x
临界阻尼：
2 (ccl 2 )2 4(mL )(L2 gA)
L cc l
2
4mgA
L c cc l
2
4mgA
2012年3月15日
振动微分方程
m c x k x 0 x
设 有
x (t ) A e s t
特征方程
c2 k 2 4m m
m s2 c s k 0
s1, 2 n n 2 1
阻尼比或阻尼因子
s1, 2
c 2m
定义 临界阻尼系数

x0 n x0 arc tan d x0 x0 n x0 arc tan d x0
x0 0 x0 0
特征值
s1, 2 n n 2 1
对数衰减率
exp( nt n ) ln ln x n 1 exp[ n (t n d )] xn n d n 2


4 2 2
d
n
2
n 1 2

2 1
2
小阻尼
2
例、2 有一阻尼系统，质量8千克, 弹簧常数5N/mm， c=0.2N.s/mm。确定振动位移表达式。
2 n
2 n
针对不同的 写出一般解： 弱阻尼 临界阻尼 过阻尼
0 1 x(t ) Xent sin (nt )
1 x(t ) (C1 C2t )ent
1
x(t ) C1e
1 t
C2e
2 t
施加初始条件确定相应的参数
例、1 有一阻尼系统，质量为 m, 弹簧常数为 k，测得 其振动数据，试确定其阻尼大小。
arc tan
x0
x0 0 x0 0
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (2) 0 1
方程的解
x (t ) Ae
A
2 0
n t
cos ( d t )

2
x0 n x0 x d