第七章复杂应力和强度理论.

第七章复杂应力和强度理论

本章重点内容及对学生的要求：

（1）主平面、主应力以及一点处的应力状态的概念和三种应力状态；

（2）构件在二向应力状态下的解析法应力分析；

（3）第一、第三和第四强度理论的概念以及相当应力的表达式；

（4）弯扭组合的强度计算。

第一节应力状态与二向应力状态分析

1、问题的引出（questions）

前几章我们讨论构件的拉压、弯曲、剪切与扭转的强度时，计算的是杆横截面上的应力，受力状态比较简单，而当构件内危险点处的应力不是单一的一种应力，或者是过该点的两个相互垂直的截面内都有正应力，我们该怎么处理？（利用教材Page.120的例子和相关的图形进行说明）

2、一点的应力状态（state of stress at a given point）

一点处的应力状况就是指构件受力后，过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。

3、单元体

常采用围绕所要研究点的周围取出一个微小的正六面体，单元体，在知道了单元体的三个相互垂直的平面上的应力后，单元体上的任一斜截面上的应力都可以通过截面法求出。

单元体定义：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用正六面体。

单元体的性质：a、在两个相互平行面上，应力均布；

b、在两个相互平行面上，应力相等。

如果单元体的截取方法改变，那么单元体上的应力也随之改变（如图7－1所示），但是之间存在一定的关系，我们可以从一个单元体上的应力求出另一个与其方位不同的单元体上的应力。此即本节的理论基础。即主要解决从利用静力平衡求得已知应力状态的构件横截面相关的单元体确定主平面的位置和应力状况。

图7－1 不同方位截取的单元体上的应力图7－2三个主应力表示一点的应力状态

4、一点处的应力表达和主平面

在单元体上的三个相互垂直的平面上即可能是正应力，剪应力或者二者的组合。

◆ 主单元体（the principal body ）：各个侧面上的剪切应力均为零的单元体； ◆ 主平面（the principal plane ）：单元体上没有切应力的面称为主平面； ◆ 主应力（the principal stress ）：作用在主平面上的正应力，分别用321,,σσσ表示； ◆ 主应力的大小规定：①主平面上没有剪应力，由三对主平面构成的单元体来表示一点

的应力状态时，便于各种受力构件的比较，所以截取单元体时，就不任意截取，而是

截取由三个主平面构成的单元体，该单元体称为主应力单元，且规定321σσσ≥≥。②比较时有正负号的规定。

5、应力状态分类

✧ 单向应力状态（Unidirectional State of Stress ）：两个主应力为零，例如受轴向拉压

的直杆及纯弯曲直梁内各点的应力状况； ✧ 平面（二向）应力状态（Plane State of Stress ）：一个主应力为零，化工容器器壁各

点的应力状态，以及受横力弯曲（剪切弯曲）的梁内除了上下边缘各点以外其他各点的应力状态，受扭的圆轴，除了轴线上各点以外任意点的受力状态； ✧ 空间（三向）应力状态（Three —Dimensional State of Stress ）：三个主应力均不为零；

6、二向应力状态分析

（1）斜截面上的应力

列平衡方程：

∑=0 n

F

sin )sin (cos )sin (cos )cos (sin )cos (=-+-+αασααταασαατσαdA dA dA dA dA y yx x xy

∑=0 t

F

0cos )sin (sin )sin (sin )cos (cos )cos (=++--αασααταασαατταdA dA dA dA dA y yx x xy 利用三角函数公式⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧=-=+=ααααααα2sin cos sin 2)2cos 1(21sin )2cos 1(21cos 2

2

并利用剪应力互等定律xy yx ττ=可得：

ατασσσσσα2sin 2cos )(21)(21xy y x y x --++=

ατασστα2cos 2sin )(2

1

xy y x +-=

正负号规定：

✧ 正应力：拉为正；反之为负；

✧ 切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负；

✧ α角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。

在分析二向应力，可以采取解析法和作图法，教材中给出的是作图法，本讲义主要以介绍解析法为主，作图法留给学生自学。 （2）解析法分析二向应力状态 确定正应力极值：ατασσσσσα2sin 2cos )(2

1

)(21xy y x y x --++=

从上式知，任一斜截面上ασ和a τ均为α的函数，故最大正应力和最小正应力所在平面，有：

02cos 22sin )(=---=ατασσα

σα

xy y x d d 设α＝0α时，上式值为零，即：02cos 22sin )(00=---ατασσxy y x

02τcos2ατsin2α2)σ(σ20

α0x y 0y x =-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-- 即最大及最小正应力所在的平面就是剪应力等于零的平面，也就是主平面。

y

x xy

σστα--

=22tan 0

由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。

()22

max 42

1

2

xy

y x y

x τ

σσσσσ+-++=

，()2

2

min 42

12

xy y x y

x τσσσσσ+--

+=

（3）例题1：一点处的平面应力状态如图所示。

已知：，MPa 60=x σMPa,30-=xy τ,MPa 40-=y σ。

30-=α

试求（1）α 斜面上的应力；（2

）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。