一类非线性变分不等式解的强收敛定理

井 冈山大学学报（ 自然科 学版）
３
２ （ 一
一 一 ， ）
以下是定义 了｛ ），用数学归纳法证明
Ｆ（ ） ＩＫ（） ） ｎ ， Ｖ Ｓ ｎＦ （ ｕ， ｃ Ｔ ｎ＝０１ ， 。 ， ２… ，
此外， ＝ （ Ｌ ｘ） 由 （ 一 Ｔ，， ） ， 满足七 Ｌ ｓ ｉ 一 ｉｃ ｔ ｐ ｈｚ
张 映射 ，使得
ＦＳＮＩ （ ， ≠ （）Ｖ（ ｕ Ｔ ， Ｋ ）１
则算法（） Ａ生成的序列｛ ，｛ ，｛ ） ） ） Ｚ 强收敛到 ｎ
（ ｎ７ （ 。 ｝ 州 ） （
证 明 显然 ＣＪ ， ，Ｑ， 闭 凸集 ，任意 ，＝Ｏ１ ， 是 ｚ ，２… ，
我们 给 出 以下 的算法 ： 迭 代算 法（ ： Ａ）
＋ Ｐ Ｑ Ｘ， ｌ＝ ｑｎ
，．
． Ｉ 一， 一 （ ｙ， 一 １ ｌ ｙｌ ２ ｔ ｘ ， －， ｆ一 ， ｌ ， ， ， ）
Ｉ － １ ２， ， ＝ ， ＋ （ 一 ） ． １
一
Ｖ， ＝０ １２， ． ？ ，， …
ｌ Ｉ一 一 一 ＋ 『ｌ －， ｘ
别表示 上 的范数 与 内积 ， 尸 Ｈ） 示 Ｈ 中非 空 ， ｆ 表 闭 凸子 集全 体 。 设单值 映射 ｍ： － Ｈ ， Ｋ Ｈ ， Ｈ － ｝ Ｔ：
（ — ｖｆ１≥ ，Ｖ， Ｋ． Ｔ Ｔ， ， ０ ｕ ∈ ｕ ｚ ） 一 Ｖ
定 义 ２ 映射 Ｔ： Ｋ Ｈ 称 为 ｋＬｐ ｃｉ 连续 － ｉｓｈｔ ｚ
则称ｚ “ 是 在Ｋ上的投影， 记为Ｚ （） 称 为 ＝ “，
Ｈ到Ｋ上的投影。易知 为Ｈ剑 Ｋ上的非扩张映
射 ， ｘ∈Ｋ ，同时对 任意 ｘ∈Ｈ １ Ｙ∈Ｋ 有如 一 等 价条件 ：
｛ Ｈ： －ｌｌ 一Ｉ ｚ ｌ ｚ ｌ ｚ， ∈ ｚ －￣ ｝ ￣ ￣ ｘ ｛∈ （ ｚ —ｎ ０， ｚＨ： ， Ｘ ） 一 ）
ｔｅ ｒ ｍ ｈｏｅ
１ 预 备 知识
记这 类变分 式问 解集为 （ ， ， 不等 题 （ Ｔ ））
记映射Ｓ 的不动点集为Ｆ Ｓ 。 （１
定 义 １ １映射 Ｔ： １ １ Ｋ 称 为 单调 的 ， 如 果
以 均设Ｈ是实Ｈｌｒ 下 ｉｅ 空间， Ｉ（） ｂｔ 符号 ｌ・分 、， ・
２
井 冈山大学学报（ 自然科学版）
定义 ５ 】映射 Ｓ： Ｋ 称 为伪压缩 映射 ，如 【 Ｋ
迭代 算 法（ ） ｃ：
Ｘ ｏ
＝
￣ｌ ｖ －＂ ｖ ＋ ｌ ｓｌ １一ｉ ｓ ｕ ｔ ｉ ￣
∈Ｈ ・
ｌ－ ）一 一 ）， ， Ｋ 。 Ｉ Ｓ￣（ ｓ ｌ ｕ ∈ （ Ｉ ， ｖＶ Ｖ
．
Ｖ ＝， ， ｕ ＦＳＮＩ （，） ｎ ０，…。Ｖ ∈ （ Ｖ（ ｕＴ， １ ２ ） Ｋ ）
Ｘ ＋ Ｐ ｎｏ， ｎ１＝ ｃ ， ｘ，
因 是 调 且“ Ｖ ＫｕＴ， 为 单 的 ∈Ｉ （ ， （ ））
则 由（．） １ 有 ２
门 ＝ ０．， ． ． １２ …
迭代 算法（ ） Ｂ：
锥，Ｃ ｕ＝ （） Ｃ。则对任意的 ，∈ ，有 （ ｍ ｕ＋ ） ｖ
、 （ ＋ ｖ （） ｖ “ （一 “ ， ＝ ） ）
其中 ｆ ｆ是Ｃ到Ｃｕ上的投影。 ， １ （ ） ２ 主要 结 果
根 据 Ｎ． ｄｚ ｋｎ Ｎａ ｅｈ ｉ ａ和 ｗ． ａｈ ｓ ｉ Ｔ ｋ ａｈｔ 的算 法 ，
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｆｒ ｔ ｎＣ ｉａ ｓＮｏｍ ｌ ｎｖ ｒ ｔ， ａ ｃ ｏ ｇ Ｓｃ ｎ ｎ ３ ０ ２Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ Ｍａ ｍａ ｃ ａ ｄ ｎ ｏｍａｉ ｈｎ ｔ ｒ ａ Ｕ ｉｅｓ ｙ Ｎ ｎ ｈ ｎ ， ｉｈ ａ ７ ０ ， ｈ ） ｏ ｈ ｉ Ｉ ｏ Ｗｅ ｉ ６ ｎ
ｃ ｒｅ ｐｏ ｉ ｇｒ ｓ ｌｓ ｏ ｒ ｓ ｎｄ ｎ ｅ ｕ ｔ． Ｋｅ ｒ ｓ ｖａ ｉｔｏ ｌｉ ｅ ａ ｉ ｆｘｅ ｉ ｔ ｍｏ ｏ ｏ ｅｍａ ｐ ｎ ｎ ｎ ｘ ｎｓｖｅｍａ ｐ ｎ ｓｒ ｎ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｙｗｏ ｄ ： ｒａ ｉｎａ ｎ ｑｕ ｌ ｙ； ｔ ｉ ｄｐｏ ｎ ； ｎ ｔ ｎ ｐ ｉ ｇ； ｏ ｅ ｐａ ｉ ｐ ｉ ｇ； ｔｏ ｇ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ
ｓｒ ｎ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ｉ ｐ ｏ ｅ ａ ｅ ｎ ａｐ ｏ ｏ ｅ ｅａ ｉ ｅ ａｇ ｒ ｈ ， ｉｈ ｅ ｔ ｎ ｓａ ｄ ｉ ｒ ｖ ｓｔ ｅ ｔ ｇ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ｒ ｖ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｒ ｐ ｓ ｄ ｉ ｒ ｔ ｌ ｏ ｉ ｍ ｗｈ ｃ ｘ ｅ ｄ ｎ ｏ ｓ ｔ ｖ ｔ ｍｐ ｏ ｅ ｈ
定义 ３ 映射 Ｔ： ［ Ｋ 称 为 强单调 的 ，如果
Ｋ Ｐｋ ￣Ｉ） （ （ ，定义 ＝ （ ＋ ， ｅ （ “ ＫＶ Ｈ。非线性变 ） ） ｕ
（Ｌ Ｉ求ｂ Ｈ， Ｎ Ｖ） ／ 满足“ Ｋ ｕ 使得 ： ∈ ∈ （１
（ —ｖ 一） ｌ ～ 『 Ｔ Ｔ甜 ｌ ｌ ，∈ ． ｕ ， ，
一
（１ １） ． （２ １） ．
ｌ 一 Ｉ ｌ— ｘ Ｉ ｌ ｙ ≥ ＋ ｌ ｌ
定理２ ． １设Ｋ∈ ， （ ， ： Ｈ， 尸 ） Ｈ （ ） Ｔ 是单调
的且满 足 ｋ— ｉｓ ｈｔ 连 续 的 ， Ｓ： Ｌｐ ｃ ｉ ｚ Ｋ ２ 为非扩
引理 １ 设 Ｃ是 一实 Ｈ ｌｅｔ 间中之 一非 空 ｔ ｉ ｒ空 ｂ
第３ ２卷第 ３期
２１年 ０１ ５ 月
、０ ．２ ，１ ＮＯ ３ ３ ．
Ｍａ ｙ ２ １ ０１
井 冈山大 学学报 （ 自然科 学版ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｊｕｎ ｌｏ ｉｇ ａ ｇｈ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒａ ｆＪ ｇｎ ｓａ ｉｅｓ ｙ（ ｔ ａ ｃ ｃ） ｎ ｔ ｕ ｅ
定义６ 设 是实Ｈｌｒ空间， 尸 Ｈ ， ｉｅ ｂｔ Ｋ∈ ， （ ） ｆ ）
∈ 是 给定 的点 。如果 存在 Ｚ∈ 使得 Ｈ Ｋ
（ ） 一 ， ＝ ｎ （一 ） （ Ｘ＋１ 一
＝ ＝
） ，
ｌ １＝～ －ｌ Ｚ ． ｒ ｌ ｖ， －Ｉ ａ ｕ ｌ ／ ｉ ｌ ｎ
ＡＬ （
。
＋ １＝
，
Ｖ胛 ＝ ０ １２ … ． ．． 。
其中｛ ｃ 】 ，∈０／ ，％∈０］ ） 【６，口 （１） ６ ， ｋ 【ｃ， ， ｃ 【１。 ∈０） ，
利 用 上述 算法 ，可 以得 到儿个 （ ＶＩ 的强 收 ＮＬ ） 解
敛定理 。
（一 ， — ） Ｙ ０
集值映射Ｓ Ｋ ２ 。设｛ ｃＨ，∈ ， 强、 ： ｝ Ｘ ｛ ｝
弱 收 敛 于 分 别 用 符 号 ｘ－ ｘ， － － ＞
分不 等式 问题 即为
的，如 果存在 ∈ ，使 得 Ｒ
来 表 示 。设
Ｉ 一 ｌ尼 一ｌ Ｌ ∈ ｌ ｌ ｌ ｖ， ／ Ｋ ≤ｌ Ｉ ． ｖ
ｚ＝ （一 ） （ （ 一 Ｔ．， ｘ＋１ ｓ ｘ Ｚ ｙ ） ）
＝ ＝
Ｖ ＝ ，２ 令 ＝ （， ， ０ ，…。 １， （ 一 ） ） ，
｛ （）ｚ ｅ ｌ—ｌ ｚ ： －ｌ ｅ， ∈ ｌ ｌ ￣ ｌ ｝ ｛ （） 一， Ｘ ） ｚ ： ｚ —ｎ ｏ ∈ （ ） ，
Ｘｏ ∈ ・
因 Ｑ＝ｚ （） 一，－ｎ ） ，｛∈ ： ｚ Ｘ ０ （ Ｘ ）
ｊ Ｘ—，一 ，Ｖ ∈ 。 ｊ ｎ ｚ ）０ ｚ ！ ｕ（
由（．有 Ｘ ＝ 口 １ ） ｎ 尸Ｈ １ 。
＝ （ （ 一 ）
） ，
第 １ 证 明 Ｆ（ ） ＩＫ（ ） ） Ｊ 步， Ｓ ＮＶ （ ｕ， ｃ ｃＩ Ｔ ，
ＳＴＲｏ ＮＧ ＣｏＮＶ ＥＲＧ ＥＮＣＥ ＴＨ ＥｏＲＥＭ ＦｏＲ ＳｏＭ Ｅ ＳｏＬＵ ＴＩ Ｎ ｏ ｏＦ
ＮＯＮＬ ＮＥ Ｉ ＡＲ ＡＲＩ Ｉ Ｖ ＡＴ ＯＮＡＬ Ｉ ＮＥＱＵＡＬＩ Ｙ Ｔ
Ｔ Ｎ ａ ｕ ， ＨＥＺ ｏ ｇｑ ａ Ａ Ｈｕ － ｎ ｊ ｈ ｎ ｕ ｎ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｗ ｅ ｓｕ ｙ ｈ ｏ ｖ ｒ ｎ ｅ ｏ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｆｓ ｍｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｖ ｒａ ｉ ｎ ｌｉ ｑ ａ ｉｙ ｉ ｌ ａ ｐａ ｅ Ａ ｔａｔ ｔ ｄ ｔ ｅｃ ｎ ｅ ｇｅ ｃ ｆｔ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｏ ｏ ｌｎ ａ ａ ｉ ｔｏ ａ ｎｅ ｕ ｌｔ ｎ Ｈｉ ｈ ｂｅ ｓ ｃ ．
（ 一 Ｙ一 ，一 ＝ Ｘ Ｔ ．ｆ Ｙ ｎ ． ） （ 一 一 ＋ 一 ， ） （
） ，
＝ （ （ 一 ）
Ｚ＝ ＋１ ） ） ｎ （一 （ 一
＝
ｌ 一Ｉ Ｉ 一 Ｉ ２ ， ＝ “ 一 Ｉ （ ～ ） Ｉ ＋
一
＝Ｚ （） 一ｌｌ—ｌ ∈ ： ｚ ｋ ｅ， １ － １ ＜ ｌ ｝ ｛ （） 一， Ｘ ） ｚ ： ｚ —ｎ ０ ∈ （ ） ，
并 推 广 了引 文 中 相 应 的 结 果 。
关键词：变 分不等式 ；不 动点；单 调映象 ；非扩 张映象 ；强收敛定理 中图分类号：０１７ １ ７． ９ 文献标 识码 ：Ａ ＤＯ ： ． ６ ￣ｉ ｎ１ ７— ０ ５ ０ １ ３ ０ Ｉ ０３ ９ ．ｓ．６ ４ ８ ８ ． １． ． １ １ ９ ｓ ２ ００
定义 ４ 映射 Ｓ： ［ Ｋ ２ 为非 扩张 映射 ，如 称
（ ， ≥ ，Ｖ ∈ （ 。 Ｔ ｖ ）０ ｖＫｕ ｕ一 １
￣ｌ 一 ｌｌ ｖ Ｖ，∈ ｌ ≤ ｌ ｕ Ｋ． ｓ ． 一Ｉ ｖ ，
收稿 日期：２ １— ２２ ；修 改 日期 ：２ １０ —０ ０ ０ １～ ８ 叭 — ４２ 基 金项 目： 四川省 教育 厅重 点课题 基 金项 目（７ Ａ１ ３ ０Ｚ ２） 作者简 介：谭 华军 （９ ５） 男，四川 重庆 人 ，硕士 生 ，主要 从事 非线 性分 析研 究（－ ｉ ｃｈｔ ＠１３ｃｒ ： １８一， Ｅｍａｌ ｑ ａ ｊ ６ ． ｎ ： ｈ ｏ） ｝ ｑ ： ９ ５） 何 ￣ （ ５一，男 ，四 川南充 人 ，教授 ，主 要从 事非 线性 分析 研究（— ｉ ｌｇｉｎｈｎｈｉ ２ ． ｍ） １ Ｅｍａ ：ｉ ｊ ｓａｓｕ＠１６ ｏ ． ｌ ｎ ａ ｃ
文章编号：１ ７ —０ ５２ １）３０ ０ ．５ ６ ４８ ８（０ ０ －０ １０ １
一
类非线性 变分不等式解 的强收敛定理
谭 华 军 ， 何 中全
（ 西华师 范大 学数 学与信 息 学院 ， 四川 ，南充 ６ ７０ ） ３０ ０
摘
要 ： 究了 Ｈｉ ｅ 研 ｌ ￣空间中一类非线性变分不等式 问题 。 ｂ 运用迭代算法证 明了一个 强收敛定理 。其结果改进
Ｘ ｏ ∈Ｈ ・
ｌ一 ｌ ｌ 一 ｆ 。 Ｉ 『 ≤ Ｊ ，
） ，
一ｌ ｌ 一 ， Ｉ 一 一Ｉ ｌ１ ＝
ｌ 一ｌ Ｉ 一 ｌ ２ （ －ｕ 一 ＋ ｘ ｌ 一 ， ｌ （ Ｔ， ） ， ＋ 甜
（ “ ） （ ， ） ，一 ＋７ 一 ） ≤
连 续 的 ，则 由（－ 和 引理 ｌ １１ ） 有
１ ）当 ， ｚ ＝０时 ，有 Ｑ ＝Ｋ（） ｏ ｕ ，则 Ｆ（ ） ＩＫ（） ） ｏ ｏ Ｓ ｎ Ｖ （ ｕ， ［Ｃ Ｑ 。 Ｔ ｎ
２ ）假 设 ，＝ｋｋ≥ｎ， ？ （ ｏｋ∈Ｎ 时 ，有 ） Ｆ（ ） ＩＫ（） ） 成 立 。 Ｓ ｎＶ （ ｕ ， ｃ Ｃ ｎ Ｔ