函数及其表示方法-提高

函数及其表示方法-提高
【巩固练习】 1．函数1y x x =-+
的定义域是( )
A ．{}|1x x ≤
B ．{}|0x x ≥
C ．{}|10x x x ≤≥或
D ．{}|01x x ≤≤ 2．（2014 福建南安期中）函数2
43,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ）
A ．[0,3]
B ．[-1,0]
C ．[-1,3]
D ．[0,2] 3．对于集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论 ( )
①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同；
③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有 ( )个．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．（2014 浙江台州期末）设函数2, 0,
()1, 0,x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩
则))1((-f f 的值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
6．已知函数)2(+=x f y 定义域是]21[，-，则y f x =-()21的定义域是( )
A ．]2
51[， B ． [1
4]-， C ． []-55， D ． []-37， 7．向高为H 的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水
瓶的形状是图中的（ ）
8
．
已
知
函
数
2
2
()1x f x x =
+，则
1111
(1)(2)()(3)()(4)()(2010)()2342010
f f f f f f f f f +++++++⋅⋅⋅++的值是（ ）
A ．2008
B ．2009
C ． 1
20092
D ． 2010
9．若函数()y f x =的定义域是[]0,1，则函数()()()(2)01F x f x a f x a a =+++<<的定义域是 ．
10．已知⎩⎨
⎧<-≥=0
,10
,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 ．
11．设函数2()4,(),
()2(),()(),().g x x x g x g x x x R f x g x x x g x ++<⎧=-∈=⎨-≥⎩
则()f x 的值域是（ ）．
12
．
已
知
*
,a b N ∈，
()()(),(1)2,
f a b f a f b f +==则
(2)(3)(4)(2011)
(1)(2)(3)(2010)
f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+= ． 13．当m 为何值时，方程2
4||5,x x m -+=（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．
14．已知函数2
()f x ax bx c =++，且满足(0)0,(1)()1,f f x f x x =+-=+求()f x 的值域． 15．设,A B 两地相距260km ，汽车以52/km h 的速度从A 地到B 地，在B 地停留1.5h 后，再以65/km h 的速度返回到A 地．试将汽车离开A 地后行走的路程s 表示为时间t 的函数． 16．（2014 湖南张家界期末）设函数kx x x x f ++-=2
2|1|)( ． （1）若2=k ，求方程0)(=x f 的解；
（2）若函数)(x f 在()2,0上有两个不同的零点21,x x ，求k 的取值范围；并证明： 4112
1<+x x ． 【答案与解析】 1．【答案】D ．
【解析】由题意1-x ≥0且x ≥0，解得01x ≤≤，故选D ． 2．【答案】C
【解析】2
2
43(2)1,y x x x =-+=-- 又[0,3]x ∈， ∴ 当x =2时，y =－1
当x =0时，y =3
∴ －1≤y ≤3 即 [1,3]y ∈-，故选C
3．【答案】A ．
【解析】由映射的概念知，只有③正确． 4．【答案】A ．
【解析】由函数的定义知选A ． 5．【答案】D
【解析】该分段函数的二段各自的值域为(](),0,1,-∞+∞， ∴ ()()()11112f
f f -==+=，故选D ．
6．【答案】A ．
【解析】 5
12,124,1214,12
x x x x -≤≤≤+≤≤-≤≤≤
； 7．【答案】B.
【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A 、C 、D 都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度h 的增加，体积V 也增加，并且随单位高度h 的增加，选项A 的体积V 的增加量变大；选项B 的体积V 的增加量变小；选项C 的体积V 的增加量先变小后变大；选项D 的体积V 的增加量不变，故选B.
8．【答案】C ．
【解析】
11(2)()1,(3)()1,23f f f f +=+=⋅⋅⋅，11
(1)20092009200922
f ∴=+=+=原式．
9．【答案】1,22a a -⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
解不等式组01,02 1.x a x a ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩得1,122
a x a a a x -≤≤-⎧⎪
⎨--≤≤⎪⎩，又11,
1,2222a a a a a a x ---<-<-∴-≤≤． 10．【答案】3
(,]2
-∞ 【解析】
当320,2,(2)1,25,2,2
x x f x x x x +≥≥-+=++≤-≤≤
即则 当20,2,(2)1,25,2x x f x x x x +<<-+=---≤<-即则恒成立，即， ∴32
x ≤
. 11．【答案】 【解析】()9,02,4⎡⎤
-
+∞⎢⎥⎣⎦
．
令()x g x <，即2
20x x -->，解得1x <-或2x >．令()x g x ≥，而2
20x x --≤，解得12x -≤≤，
故函数22
2(12),
()2(12).
x x x x f x x x x ⎧++<->⎪=⎨---≤≤⎪⎩或当1x <-或2x >时，函数()(1)2f x f >-=；当12x -≤≤时，函数1()()(1)2
f f x f ≤≤-，即9()04f x -≤≤．故函数()f x 的值域是()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦
．
12．【答案】4020
【解析】 令,1a x b ==，则由()()(),(1)2,f a b f a f b f +== 可得(1)(1)()2(),f x f f x f x +==即
(1)
2,()
f x f x +=分别令1,2,3,,2010x =⋅⋅⋅， 则
(2)(3)(4)(2011)
(1)(2)(3)(2010)
f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+ =2+2+2+…+2=2010×2=4020
13．【解析】设2124||5,y x x y m =-+=，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个
数问题来处理．
设2
14||5,y x x =-+
则21245,0,45,0.
x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩
画出函数的图象，如右图．
再画出函数2y m =的图象．由图象可以看出：
（1）当1m <时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．
（2）当1m =或5m >时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解． （3）当5m =时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解． （4）当15m <<时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解． 14．【答案】1
,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】由(0)0f =得0c =，从而2
()f x ax bx =+
由(1)()1,f x f x x +-=+得2
2
(1)(1)1,a x b x ax bx x +++--=+ 整理得21ax a b x ++=+，
x R ∈，21,1
a a
b =⎧∴⎨
+=⎩，解得1
2a b ==.
2211111()()22228f x x x x ∴=
+=+-，()f x 的值域为1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 15．【答案】52,260,5 6.526065( 6.5),6.510.5t s t t t ≤⎧⎪
=≤≤⎨⎪+-<≤⎩
0t<5
16．【答案】（1）2
3
1--=
x 或21-=x ；（2）略
【解析】（1）2=k 时：x x x x f 2|1|)(2
2
++-=
当1≥x 时，122)(2
-+=x x x f ，由0122)(2
=-+=x x x f
得231,231+-=±-=
x x （舍去）， 故2
3
1--=x 当1<x 时，12)(+=x x f ， 由012)(=+=x x f 得2
1
-
=x 故当2=k 时，方程0)(=x f 的解是2
3
1--=x 或21-=x
（2）不妨设2021<<<x x ，
⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-+=++-=)1(1)1(12|1|)(2
2
2x kx x kx x kx x x x f
若[)2121，
，∈x x ，与2
1
21-=⋅x x 矛盾，()[)2,1,0121∈∈∴x x 且有 011=+kx ① ， 01222
2=-+kx x ②
由①得：111-<-
=x k ， 由②得：⎥⎦
⎤ ⎝⎛--∈-=1,272122x x k k ∴的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛--1,27
联立①、②消去k 得：01)1
(221
2
2=-⋅-+x x x [))2,1(4211222
1∈<=+∴
x x x x。