盲目反卷积光谱图超分辨复原算法_杨怀栋

(1)
其中 r(o(k)(n))是松弛因子 , 可采用多种形式 , (1)式中则是
常用形式 。引入松弛因子是为了 对抗噪 声 。光 谱图反 卷积旨
在恢复放大高频 细 节信 息 , 这 样同 处高 频 的噪 声也 将 被放
大 , 而且往往 淹没 有 用信 号 , 但 噪 声 一般 形 不成 固 定信 号
(FT F)· h = FT · g
(9)
h =(FT F)-1 FT · g
(1 0)
虽然此时已能求解 h, 但如果 解不准 确则对 后续迭 代有
坏的影响 。解决办法是转而求 h 的增量 Δh , 因 为增量 Δh 准
确与否会影响收敛 速度 , 但不会 影响最 终收敛 。h 的增量 估
计满足下式
Wiener 滤波实质是反滤波器 , 它首先求出估计光谱的频
谱 , 再通过反傅里叶变换求出估计光谱 , 公式为 :
O(w)=
G(w)H ＊(w) H ＊(w) 2 + n/ o
(2)
其中 G, O, H 分别为观测 光谱 , 物光谱 估计和 点扩散 函数的
傅里叶频谱 , 0 , n 分别为信号和噪声的功率谱 , 维纳滤波可 以由公式(3)近似计算 ,
第 2 7 卷 , 第 7 期 光 谱 学 与 光 谱 分 析 2 0 0 7 年 7 月 Spectro sco py and Spectr al Analy sis
V ol.27 , N o.7 , pp1249-1 253 July , 2007
合效果趋近于高斯函数 。因此 , 可选择 观测光 谱序列 中最细
锐的谱线 , 对它 进行 高 斯拟 合 后得 到卷 积 核函 数的 初 始猜
测。
(2)估计物光谱 。当认为 点扩散 函数已 知时 , 对物 光谱
的估计就成为常规反卷积问题 , 而充分利 用现有的 光谱图常
规反卷积方法来解决它 可能是 捷径 , 较稳定 的 Jansso n 空域 迭代反卷积和 Wiener 频域滤波方法[ 7] 则是合适备选对象 。
(13)式
第 7 期 光谱学与光谱分析
关键词 光谱 ;超分辨 ;盲目反卷积 中图分类号 :O 433 文献标识码 :A 文章编号 :1000-0593(2007)07-1249-05
引 言
分辨率是光谱测量中至关重要的指标 , 它表示 将波长极 为接近的谱线分 开 的能 力 , 反 映光 谱超 精 细结 构测 量 的程 度 。两条相邻的光谱能否被分辨 , 主要 取决于 观测到 的两谱 线的强度分布轮廓和它们的相对位 置 。当相对位 置一定 , 如 色散率恒定时 , 分辨率就主要取决于观测 到的谱线 强度轮廓 了 , 而谱线轮廓的增宽和畸变则成为导致 分辨率下 降的首要 因素[ 1] 。
里叶变换获得 , 详情见文献[ 5] , 这里不再赘述 。我们在 研究
中发现通过 具 体分 析 信号 和 噪 声特 点 估计 S N R 则更 为 合
理 、 准确 , 有关内容将另文介绍 。
W iener 滤波比较适合光谱反卷积 的应用 , 特别是在观测
光谱接近高斯信号与白 噪声叠加时 , 性能 优良 , 而且它 是非
(1)依据 g 和 h(k)进 行常规 反卷积 , 求出 原函 数的估 计 o(k);
收稿日期 :2006-02-13 , 修订日期 :2006-05-16 基金项目 :国家自然科学基金项目(60378016 , 60578002)和教育部科学技术研究重点项目(106014)资助 作者简介 :杨怀栋 , 1976 年生 , 清华大学精仪系光学工程助理研究员 e-mail :yang hd @t singhua .edu .cn
盲目反卷积光谱图超分辨复原算法
杨怀栋 , 徐 立 , 陈科新 , 黄星月 , 何庆声 , 谭峭峰 , 金国藩
清华大学精密测试技术与仪器国家重点实验室 , 北京 100084
摘 要 反卷积是实现光谱图超分辨复原的重要 手段 , 与常 规反卷 积相比 , 盲目 反卷积 具有不 需要预 先准 确获取卷积核函数的优势 。着眼于充分 利用光谱信号 的特点 和已有 的光谱图 反卷积 成果 , 详细 讨论了 空域 迭代盲目反卷积方法用于光谱图反卷积时的算法 实现问 题 , 并在分 析光谱图 卷积退 化过程 的基础 上 , 针对 光谱图反卷积算法特点 , 提出了光谱图 卷积退化简化 计算模 型和最 小二乘高 斯拟合 模型 , 以解 决算法 中相 应的计算问题 。基于 M atlab 平台的仿真表明 , 对于所用的高斯 型谱线和点 扩散函 数 , 空 域迭代 盲目反 卷积 算法效果良好 , 在信噪比为 50 dB 时 , 分辨率提高约 30 %。
迭代方法 , 在盲目反卷积算法的整 体简洁 方面有优 势 , 可考
虑优先选用 。
(3)估计点 扩 散函 数 。显 然 这 也是 一 个常 规 反卷 积 问
题 , 可以用上述的反卷积方法求解 。但因 为点扩 散函数 的估
计对整个盲目反卷积而 言尤为重要 , 为增 加求解精 度 , 可根
据光谱卷积退化模型将 常规反卷积问题转化为最小二乘拟合
1 空域迭代盲目反卷积方法与算法实 现
空域迭代盲目反卷 积方法与常规反卷积方法不同之处在 于 , 它不需要事先确定卷积核函数 , 而是 从一个 初始猜 测开 始 , 迭代的估计两个卷积因子 , 直到收敛 , 方法的步骤如下 :
由观测函数 g 估计一个卷积 核函数 的起始 猜测 h (0), 并 开始以下迭代过程(其中 k =0, 1 , 2 , …):
自身特点和现有光谱图常规反卷积方面的积 累 , 光 谱图空域
迭代盲目反卷积就可采 用如下 方案 实现 。(为与 光谱图 反卷
积相适应 , 在后文中将由物光谱 、 观测 光谱和 点扩散 函数与
前述原函数 、 观测函数和卷积核函数相对应 。)
(1)初始猜测 。光谱图中细锐的谱 线通常 接近点 扩散函
数 , 而长期的光谱分析研究表明 , 众来自百度文库 展宽和 畸变因 素的综
为提高分辨率 , 研究光谱的 超精细 结构 , 人们提 出了很 多方法消除谱线的展宽和畸变 。最直接的 方法是针 对它的各 种来源 , 从物理上消除 , 如控制实验条件 , 改进光谱仪 器等 。 这些方法注 重硬件 的改进 , 既 受技术 、 设备 、 加 工工艺 , 使 用环境等条件限制 , 也不适合强 调微小 型 、 智 能化和 高性价 比的场合 。应运而生的是光谱图 的超分 辨复原技 术 。它注重 发挥现代信号处理技术的优势 , 强调通过 深入挖掘 现有光谱 观测所含的信息来克服 各种 缺憾 , 重现 高分 辨率的 光谱 图 , 而针对理想光谱图卷积退化过程的光谱图反卷积方法则是它 的重要分支[ 4] 。常规的反卷积方 法已取 得了长足 的进展 , 研
峰 , 会随迭代过程不断增大 , 松弛因子 强制解 回到有 效区间
[ A, B] 内 , 相当于不断削弱噪声的影响 。Ja nsson 空域迭代反
卷积方法性能优良 , 既能有效利 用光谱 信号的先 验知识 , 迭
代中采用不同的预处理 方法 后 , 又能用 于低 信噪比 的场 合 ,
但它的迭代过程会增加盲目反卷积的复杂性 。
Ng
[ f 1 f 2 … f Nh ] , 则(6)式对应的矩 阵形式为 g =F · h
(8)
由于矩 阵 F 列满秩 , 所 以向量 fj 线性 无关 , 则关 于参数 列
向量
h 的最小二乘拟合 问题min ‖ F·
h
-g
‖
2 2
有 唯一解 ,
对
h
应的法方程和解分别为 (9), (10)式
Jansson 空域迭代反卷积的 实质是 将反 卷积 问题转 化为
约束的非线性优化问题 , 并迭代的求解 , 其公式为 :
o(k+1)(n)= o(k)(n)+r(o(k)(n))[ g(n)- h(n)×o(k)(n)]
r(o(k)(n))= C0 ·[ 1 -2·
(B - A)-1 o(k)(n)-(A +B)/ 2 ]
究出了 Wiener 滤 波 、 Jansson 迭代等方 法[2] 。这类 方法要 求 卷积核函数(即表征退化特点的卷积因 子 , 也 称为点/ 线 扩散 函数)已知 , 可是通过 理论 分析或 测量 等手段 准确 获取卷 积 核函数并非易事 。而且卷积核函数 因仪器 而异 , 往往随 使用 环境 、 年限等变化 , 这 导致算 法缺乏通 用性 , 限制 了应用 范 围 。盲目反卷积方法则不需要卷积 核函数 准确已知 , 在 这方 面略胜一筹 , 但光谱图盲目反卷积研究远不 如常规反卷 积成 熟 。邹谋炎等基于二变量多项式盲目分解问 题的研究提 出了 空间域迭代盲目反卷积 方法 , 也在应用于光 谱图盲目反 卷积 方面进行了初步的原理 性尝试[ 5, 6] 。着眼 于光谱 图反卷 积的 应用研究 , 本文首先详细论述了光谱图迭代 盲目反卷积 的算 法实现问题 , 随后针对光谱图盲目 反卷积 的实际应 用 , 提出 了光谱图卷积退化的简 化计算模型和点扩散函数的高斯拟合 方法 , 并进行了基于 matlab 平台的算法仿真 。
问题求解 。光谱卷积退化过程可表示为
∫ g(x)= o(x′)h(x - x′)dx′= o(x)×h(x)
当考虑有限离散光谱 , 令
(5)
g =[ g(1), g(2), … , g(N g)] T , o =[ o(1), o(2), … , o(No)] T ,
h =[ h(1), h(2), … , h(N h)] T
O(w)=
G(w)H ＊(w) H(w) 2 +1/ SN R
(3)
S N R 为信噪比 , 可由经验公式(4)估计[ 5] , SN R = Es/ En
kf
∑ Es =
G(i) 2
i =1
∑ En
=
0.7 5 N N/ 2 -k
f
N/2 i =k f
G(i) 2
(4)
kf 是估计的信号截止 频率 , 可以通 过观测 光谱 g 的 N 点 傅
F(h -h)= g -F · h
(1 1)
将已知估计 o(k)和 h(k)分别代入 F 和 h , 可得
Fo(k)Δh(k) = g -Fo(k )h(k) = s
(1 2)
求解关于 Δh 的最小二乘拟合问题的法方程为
(FoT(k )Fo(k))Δh(k) = FoT(k)s
(1 3)
进一步为克服问题的病 态 , 可进行 规整化 , 即用(14)式 代替
12 50
光谱 学与光谱分析 第 27 卷
(2)依据 g 和 o(k)进行 常规 反卷积 , 求 出卷 积核函 数的 估计 h(k +1);
(3)判断终止 条件 , 如 不满足 , 继 续迭代 过程 , 满 足则
停止迭代 , 并接受当前 k 值所对应 o(k)和 h(k)为真实函数和卷 积核函数的估计 。
No
∑ g(n)= o(i)h(n -i) i =1
N g = N o +N h -1
(6)
设 f i 是 N g 维列向量 , 其元素 f j(i)满足下列关 系 :
f j(i)=
o(n) n = i - j +1 , n ∈ [ 1, 2, … , N o] 0 其他
(7)
T
即 , f j = 0… o(1) o(2) … o(N 0) 0 … , 并令 F = j -1
空域迭代盲目反卷积方法原理步骤简洁 , 但应 用时要充
分考虑所针对问题的特点 , 以便 寻求合 适的实现 方案 , 达到
事半功倍的效果 。光谱通常为一 维离散 信号峰 , 对它 有多种
先验知识 , 如正性 、 卷积核 函数形 式大体已 知等 。而且 光谱
图常规反卷积也有多个较成熟的方 法 。这样 , 结合光 谱信号
有多种机制导致观测谱线轮廓增宽和畸 变 , 可 归纳为内 在因素和外在因素 。内在因素有 谱线的 自然展宽 、 碰 撞展宽 和多普勒展宽等 。外在因素有光 谱仪器 的衍射 、 孔径 几何宽 度 、 光学 像 差 及 其 他 不 完 善 , 探 测 器 和 电 路 的 低 通 特 性 等[ 2] 。这些增宽和畸变因素的综合影响在 研究中常 常被归结 为理想光谱线的卷积退化过程[3] 。