2020年高考数学 题根选载20 多面体,向四面体寻根

《高中数学题根选载》 题根20.多面体，向四面体寻根

我国恢复高考始于1977年，可是高考数学中的立体几何试题，却是1979年开始面世。就是那道试题，向全国教育战线发出了重大信息：培养学生的空间想象能力是中学数学教育的极其重要的任务，而学好立体几何，则应从最简单的几何图形——四面体开始。

一.题根案例

【根题】（1979，全国卷，六题）设三棱锥 V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角

求证：△ABC 是锐角三角形

【证法1】如图1-1，作VD ⊥BC 于D ，∵△VBC 中∠BVC=90°. ∴点D 必在斜边BC 上。∵VA ⊥VB 且VA ⊥VC,∴VA ⊥平面VBC ， 故VA ⊥BC.所作BC ⊥VD,∴BC ⊥平面VAD,从而BC ⊥AD 。故

∠ABC,∠ACB 为锐角，同理∠BAC 为锐角，故△ABC 为锐角三角形. 【证法2】建立如图1-2的空间直角坐标系，设

.,VA aVB b VC c ===，有()()(),0,0,0,,0,0,0,A a B b C c ，

()()2,,0,,0,,,AB a b AC a c AB AC a =-=-∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r

Q

2

cos 0AB AC a A bc AB AC

⋅==

>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故∠BAC 为锐角，同理 ∠ABC,∠BCA 为锐角，故△ABC 为锐角三角形.

评注：在1979年的条件下，向量知识还远未进入中学数学。那

时本题的另一标准证法是利用余弦定理，即在设△ABC 的3边依次为,,a b c 的条件下，证明每个角的余弦之值为正。可惜的是，那时能够顺利证明这道题的考生实在太少。

二、理论基础

1.空间不共面的4点确定一个四面体。每个四面体必定有4个顶点，6条棱和4个三角形表面。

2.一个表面是正三角形，另一个顶点在此表面的射影是此正三角形 中心的四面体，叫做正三棱锥。正三棱锥的3个侧面都是等腰三角形；

3.侧棱与底面边长相等的正三棱锥，叫做正四面体。 正四面体的每个表面都是正三角形；

4.将一个长方体任意截下一个角块如图2，我们称截得四面体为“直角四面体”。直角四面体具有如下性质：

（1）它的3条侧棱两两垂直，从而3个侧面也两两垂直； （2）它的底面三角形ABC 必定是锐角三角形； （3）它的3组对棱都互相垂直；

（4）如果它的侧棱,,,PA a PB b PC c ===，则它的体积1

6

V abc =

。 （5）如果它的3个侧面积依次为123,,,S S S 底面积为,S ，那么

222

2123S S S S =++。这个结论是2020年高考全国文科卷一道考题的答案，可视为勾股定理在空间的推广。

（6）如果它的侧棱,,,PA a PB b PC c ===底面上的高为,h 那么

2222

1111

h a b c =++。 以上（5），（6）两结论的证明，请参看本书题根27：“连年勾股，连年风流”。 5.正方体中的四面体.

如图3，依次连结正方体ABCD-EFGH 的4个顶点A,C,F,H,即将 原正方体分割为5个四面体。其中分别以B,D,E,G 为一个顶点的四面体都是直角四面体，而6条面对角线组成的四面体ACFH ，则是正四面体。

若设正方体的棱长为,a 则其体积为3a ，每个直角四面体的体积都是

316a ，所以这个正四面体的体积31

3

ACFH V a =四面体. 反之，若设正四面体ACFH 的棱长为,a 2

，其体积3

32224a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

，于是33

1223412ACFH V a a =⋅=四面体. 如同边长为a 的正三角形面积为

234a 一样，棱长为a 的正四面体体积必定是3

212

a . 以上说明，正四面体无非是正方体的一个“零件”，同样，任何四面体都可以看成某多面体的一个“零件”.于是我们认定：多面体的根在四面体。学好空间几何，应当从学好四面体开始。

三、考场精彩

【题1】（2020， 全国Ⅰ卷，1 5题）如图4-1，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、BCF ∆均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）

图3

2343.

.32

A B C D 【解析】如图4-2，延长EA 、FB 交于G ，又延长FC 、ED 交于H ，由三角形中位线性质知：多面体EFGH 是棱长为2的正四面体，其体积

32222,123EFGH V =

⨯=正四面体112222233

EFGH ABCDEF V V A ∴===∴多面体正四面体选 评注：本题是当年高考中，难倒大批考生的“大难题”。一般考生都是采用割补法作的，其计算量之大让人苦不堪言。本解看出原多面体只不过是正四面体的一个“零件”，以下的计算就简便多了。

【题2】（2020.江苏卷，8题）在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱

ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V .

【解析】如图5，连11,,A B AC 显然121

3

A ABC V V -= ∵面DEF 是三棱锥1A A BC -的中截面，1

11.8

A ABC V V -∴=

从而12124V V =

, 即121

:24

V V =

。 评注：在平面几何中，两相似三角形的面积比等于其相似比的平方。 这一结论推广到空间：两相似三棱锥的体积比等于其相似比的立方。

图5中，由于D,E,F 分别是1,,AA AC AB 的中点，所以三棱锥 A-DEF 与A-BCA 1可视为相似三棱锥，其相似比为

1

2

。 【题3】（2020年武汉市二月调考）在四面体ABCD 34,41,5.则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为（ ）

5

.52.52.42

A B C D