线性规划的对偶问题_5256

s.t.
…………………………
a 1 n y 1 a 2 n y 2 a m y m n c n
y1,y2, ,ym0
3
二、对称形式下对偶问题的一般形式
LP1：s.t.
n
MaxZ cj xj
n
j1
aijxj bi
i1,2, ,m
j1
xj 0
j1,2, ,n
16
一、单纯形算法的矩阵描述
LP2的初始单纯形表及经过若干步迭代后某一步的
单纯形表如下：
x1 x2 x3 4
st
.
3
2 x2
x1
x2 x3
9
x3

x4

1
x1~ 3 0
13
-3 0 1 0 0 0 0
C B
基
b
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x5 4 1 1 1 0 1 0 0
0 x6 1 -2 1 -1 -1 0 1 0
n
MaxZ cj xj
n
j1
aijxj bi
i1,2, ,m
j1
xj 0
j1,2, ,n
LP2：s.t.
m
MinW bi yi i1
m
aij yi cj
i1
j1,2, ,n
yi 0
i1,2, ,m
12
对称形式的线性规划问题：
max z 3 x1 x3
s.t. ………………………… a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m x n n b m x1,x2, ,xn0
注：对称形式的LP问 题,对b没有非负要求。
其对偶问题为(LP2) ：
M W b 1 i y 1 n b 2 y 2 b m y m
a 1 y 1 1 a 2 y 2 1 a m 1 y m c 1 a 1 y 1 2 a 2 y 2 2 a m 2 y m c 2
LP2：s.t.
m
MinW bi yi i1
m
aij yi cj
i1
j1,2, ,n
yi 0
i1,2, ,m
MaZxCX AXb
s.t.
X 0
MinY'b
A'YC'
s.t.
Y0
4
二、对称形式下对偶问题的一般形式
项目
A b C 目标函数 约束条件 决策变量
原问题
n
aij x j bi
j 1
j1
n
a ij x j b i j1
n
5. 约束方程若为” ≥”， aij x j bi j 1
n
6. 则两侧同乘以“-1”，aijxj bi j1
8
三、非对称形式的原--对偶问题的关系
P50 例题 2. 线性规划原问题同对偶问题的对应关系如下：
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
max z x1 2 x2 3 x3
x1 x2 x3 4
st
.
x1 x1

2 x2 2 x2

3x3 3x3

5 6
x1 0, x2无约束 , x3 0
10
2.2 对偶问题的基本性质
本节讨论的问题假定原问题及对偶问题为对称形式
LP1：s.t.
C B
基
b
x5 x2 x1 x3 x4 x5 x6 x7
B 0 x5 4 1 1 1 1 0 1 0 0
0 x6 1 0 1 -2 -1 -1 0 1 0
0 x7j 9 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 -3 1 0 0 0 0
……
0 x5 0 1 0 0 0 -1/2 1 B1/-2 -1/2 0 x2 3 0 1 0 1/3 0 0 10 1/3
原问题
对偶问题
目标函数 Max
目标函数 Min
约
m个
m个
决
束

0
策
条

0
变
件
=
无约束
量
决
n个
n个
约
策
0

束
变
0

条
量
无约束
=
件
资源向量 b
价值系数 b‘
价值系数 C
资源向量 C’
约束条件系数矩阵 A 约束条件系数矩阵 A ‘
9
三、非对称形式的原--对偶问题的关系 练习: 给出下述LP问题的对偶问题:
线性规划的对偶问题
2.1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
支持对偶理论的基本思想是：每一个线性规划问题都存 在一个与其对偶的问题。在求一个问题的解的同时，也 给出了另一个问题的解。
例：
二、对称形式下对偶问题的一般形式
线性规划问题具有对称形式，若： 变量非负
目标函数求极大值时，约束方程均为≤
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
-3 x1j 1 0 0 1 2/3 1/2 0 -1/2 1/6
0 0 0 3 0 0 -3/2 1/2
15
一、单纯形算法的矩阵描述
MaZxCX
对称形式的LP： AXb
s.t.
X 0
加上松驰变量Xs后为(LP2)：
MZ a xC X0Xs s.t. AXIXs b
X0 Xs0
对偶问题
约束系数矩阵 约束系数矩阵的转置
资源向量
价格系数
价格系数
资源向量
max z=CX
min w=Y’b
AX≤b
A’Y ≥C’
X≥0Leabharlann Y≥05二、对称形式下对偶问题的一般形式
练习: 给出下述LP问题的对偶问题:
max z 2 x1 4 x 2 3 x 3
3 x1 4 x 2 2 x3 60
0 x7j 9 0 3 1 0 0 0 1 -3 0 1 0 0 0 0
……
0 x5 0 0 0 0 -1/2 1 1/2 -1/2
0 x2 3 0 1 1/3 0 0 0 1/3
-3 x1j 1 1 0 2/3 1/2 0 -1/2 1/6
0 0 3 0 0 -3/2 1/2
14
0 -3 0 1 0 0 0 0
st
.
2 x1 x1 3
x2 x2

2 2
x3 x3

40 80
x1~ 3 0
6
三、非对称形式的原--对偶问题的关系
1. 非对称转化为对称LP问题的步骤
2. 目标函数及变量约束的转化同标准形式的转化；
3. 约束方程若为等式
4. 则令: n a ij x j b i