第5章 时变电磁场 (全)

而电场中某一点的电位移矢量随时间的变化率为该点位 移电流密度，即
Jd = ¶D ¶t
通过引入位移电流，并用它们代替极板间中断的电流， 则整个回路电流连续。 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义
全电流连续性定理
根据电荷守恒定律
炎 J = ¶r ¶t
和高斯定理 炎 D = r ，得
骣 ¶D ÷ çJ + ÷= 炎 J t = 0 炎ç ÷ ç ÷ ¶t 桫
时变电磁场的位方程及其解
位于原点的时变点电荷的电标位为 骣 r÷ 1 çt - ÷dv d F (r , t ) = rç ÷ 4per ç 桫 v÷ 式中r为体元 dv 至场点的距离。 位于V'中的体电荷ρdv'在 r处产生的电标位为
,t r
z
r r v
位 移 电 流
设极板面积为 S ，若充放电某一时刻极板上的电量和面 电荷密度分别为 q 和 r s ，则导线内的传导电流满足
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
麦 克 斯 韦 方 程
积分形式 ① ② ③ ④ ⑤ 微分形式
汛 H = J + ¶D ¶t
全电流定律
ÑH ?dl 蝌
C
骣 ¶D ÷ ç ÷ ds çJ + ÷ Sç ÷ t ¶ 桫
ÑE ?dl 蝌
C
S
-
S
¶B ds ¶t
0
q
汛 E = -
¶B ¶t
电磁感应定律
Ò B ?ds 蝌
Ò D ?ds 蝌
S
时变电磁场的位方程及其解
根据静态场结果，采用类比方法推出其解。 先求解时变点电荷的位函数，再利用迭加原理导出分布 的时变体电荷的位函数。 当时变点电荷位于坐标原点时，其场分布与 q 和 f 无关。 那么，在除坐标原点以外整个无源空间，电标位 F 满足 的方程式为
z
r ,t
2 骣2 F ÷ 1 抖ç F ÷ r m e = 0 ç ÷ 2 2 ç ÷ r桫 r r 抖 ¶t
2 (r F ) 1 抖 - 2 2 r v 抖 2
0< r <
r
x
y
(r F ) = 0 2 t
0< r <
v=
1 me
时变电磁场的位方程及其解
上式为函数 (r F ) 的一维齐次波动方程，其通解为
骣 r鼢 骣 r r F = f1 珑 t- 鼢 + f2 t + 珑 鼢 鼢 珑 桫 v 桫 v
汛 汛 A = 蜒( ?A )
2
A
两式又可表示为
? A
2
蜒 (
?A )
2 骣 A 抖 F÷ ç ÷ mJ + ? me ç ÷ 2 ç ÷ ç ¶t ¶t 桫
? 2F
¶ r (炎 A ) = e ¶t
时变电磁场的位方程及其解
已定义了矢场 A 的旋度，汛 A = B，必须再规定其散 度才能唯一确定A。为简化计算，令 ¶F 炎 A = - me ¶t 则位函数的微分方程简化为
R
dv V
r
r ,t
y
r
骣 r - r ¢÷ ç ÷ ¢ rç t , r ÷ ç ÷ ç ÷ v ç 1 桫 F (r , t ) = dv ¢ ò 4pe V ¢ r - r¢
x
时变电磁场的位方程及其解
将矢量位方程在直角坐标系中展开，则磁矢位A的各个 分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式
? A
2
洛仑兹规范
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
是磁矢位A和电标位Φ满足的非齐次波动方程（达朗贝尔 方程）。通过引入位函数，两个相互耦合的方程变为两 个独立的方程。 静态场情况下洛仑兹规范退化为库仑规范
时变电磁场的位方程及其解
不借助位函数，电磁场满足的矢量微分方程为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
与极板间电场强度方向一致，放电时
具有电流密度的量纲。
位 移 电 流
麦克斯韦引入了位移电流的概念，他定义：穿过电场中 某一截面的电通量随时间的变化率为通过该截面的位移 电流强度，即
id = d Ye dt
骣 ¶D ÷ ç ÷ ?ds çJ + 乙 ÷ 蝌 Sç ÷ ¶t 桫
蝌J
S
t
?ds
0
其中 J t = J + J d 称为全电流，J 为传导电流 J c 或运流电
J d 为位移电流。全电流在任何情况下都是连续 流J v ，
的。
全 电 流 定 律
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，安培环路定律可 推广至时变场情况，即全电流定律
时变电磁场的位方程及其解
由v=
1 me
可见，电磁波的传播速度与介质特性有关。
v= 1 e0m0 淮 3 108 m/s
真空中
这就是光速，通常以 c 表示。 若某一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原 来产生的空间场仍然存在，这就表明源已将电磁能量释 放到空间，这种现象称为电磁辐射。 静止电荷或恒定电流一旦消失，它们产生的场也随之失 去，因而静态场称为束缚场，没有辐射作用。
ˆ× n (B 1 - B 2 ) = 0
任何边界上磁感应强度的法向分量连续
h
B1
理想导体的边界条件
E ¹ 0 H ¹ 0 J ¹ 0
E D
S
H B
J = sE = ¥
E ¹ 0 H ¹ 0
E t H t J t 0
理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电 流，它们只可能分布在理想导电体的表面。 理想导电体表面支持面电流和面电荷分布，此时，磁场 强度的切向分量和电位移矢量的法向分量不再连续。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
h
D1
时变电磁场H边界条件
ˆ n S
m1 m2
H1 H2
DS
ˆ l 1 ˆ l 2
Dl
ÑH ?dl 蝌
C
骣 ¶D ÷ ç ÷ ds J + ç ÷ ç S桫 ¶t ÷
轾 ˆDl + H l ˆ Dl = u ˆ ˆ状 H鬃 dl = H 1 l n Ñ ò 1 2 2 犏 臌 Dh® 0 lim
l
(H 1 - H 2 ) =
I Dl
ˆ ´ (H 1 - H 2 ) = J s n
除理想导体外，任何边界上磁场强度的切向分量连续
时变电磁场B边界条件
ˆ S n
S
1
2
B2
dS ÒB× 蝌
S Dh® 0
= 0
lim
dS ÒB× 蝌
S
ˆDS - B 2 n ˆDS = 0 = B1 鬃 n
B 1n = B 2n
骣 r - r ¢÷ ç ÷ ç t ÷ 空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻 ç 的 ÷ ç ÷ v ÷ ç 桫
源分布进行求积。 这就表明，位于 r ¢处的源产生的场传到 r处需要一段时 间，这段时差就是
r - r¢ v
。
r - r ¢ 为源点至场点的距离，因此 v代表电磁波的传播 速度。
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
? H
2
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
场源关系复杂，且两个方程相互耦合
时变电磁场的位方程及其解
引入标量位与矢量位可简化时变电磁场的求解。 由 炎 B = 0，B可表示为矢量场A的旋度，即
B = 汛 A
式中A称为矢量位，将上式代入
时变电磁场E边界条件
ˆ n
S
1
2
E2
S
ˆ l 2
l
ÑE ?dl 蝌
C
-
Dh® 0
lim
dl = ÑE 鬃 ò
C
ˆDl + E E1 l 1 2
¶B ds S ¶t 轾 ˆ Dl = u ˆ状 ˆ l n 2 犏 ë
(E
h
1
E1
ˆ l 1
- E 2) = 0 û
ˆ ´ (E 1 - E 2 ) = 0 n
E 1t = E 2t
任何边界上电场强度的切向分量连续
时变电磁场D边界条件
ˆ S n
S
1
2
D2
dS ÒD× 蝌
S Dh® 0
= q
lim
Ò D ×dS 蝌
S
ˆDS - D 2 n ˆDS = q = D1 鬃 n
D1n - D 2n = r s
ˆ× n (D 1 - D 2 ) = r s
除导体外，任何边界上电位移矢量的法向分量连续
电磁场与电磁波
第五章 时变电磁场
毫米波国家重点实验室 信息科学与工程学院 东南大学
位 移 电 流
C
s
s
s
s
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i
i
S1 S 2
充电
id
R
放电
id
R
对S 1 面应用安培环路定律 对S 2 面应用安培环路定律
ÑH ?dl 蝌
C
S1
J ?ds J ?ds
i 0
ÑH ?dl 蝌
C
S2
安培环路定律不适于非恒定磁场
¶D 汛 H = Jt = J + ¶t
dl ÑH ?= 蝌
C
it
骣 ç + çJ Sç è
¶D ÷ ÷ ds ÷ ÷ ¶t ø
时变磁场由传导电流、运流电流和位移电流共同产生， 而位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场 可产生时变磁场。 电磁感应定律表明时变磁场可产生时变电场。因此，麦 克斯韦引入位移电流后，预见到时变电场与时变磁场可 以在空间中相互转化，进而形成电磁波。
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
汛 E = ¶B ¶t
得
抖 (汛 A ) 扪 汛 E = t 抖
骣 A÷ ç ÷ = 0 E+ ç ÷ ç t ÷ 桫
时变电磁场的位方程及其解

骣 ¶A ÷ ç ÷ E + ç 矢量场ç 为无旋场，因此可表示为任意标量场Φ的 ÷ ¶t ÷ 桫
梯度，即
E+
¶A = ¶t
F
式中Φ称为标量位，进而求得 ¶A E = ¶t 当场量与时间无关时
? 2A x me ¶ 2A x ¶t
2
= - mJ x
? 2A y
me
¶ 2A y ¶t
2
= - mJ y
? 2A z
me
¶ 2A z ¶t
2
= - mJ z
每个分量的解结构同前。磁矢位A 的解为
骣 r - r ¢÷ ç ÷ Jç r¢ ,t ÷ ç ÷ ç ÷ v ç m 桫 A (r , t ) = dv ¢ ò 4p V ¢ r - r¢
F
E = -
F
B = 汛 A
故 F 称为电标位，A 称为磁矢位。
时变电磁场的位方程及其解
将位函数代入麦克斯韦方程，求得
2 骣 抖 A 汛 汛 A = mJ - me ç + ç 2 ç ç ¶t 桫
F÷ ÷ ÷ ¶t ÷
骣 ç¶ A ÷ ÷ 炎 ç + 炎 ?F ÷ ç ¶t ÷ 桫
-
r e
利用矢量微分恒等式
式中V ¢为电流J 的分布区域。
时变电磁场的位方程及其解
骣 骣 r - r ¢÷ r - r ¢÷ ç ç ÷ ÷ ç ¢ J r t , ÷ rç r¢ ,t ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ v ÷ v ç ç m 桫 1 桫 dv ¢ F(r , t ) = dv ¢ A (r , t ) = ò ò ¢ V ¢ 4p 4pe V r - r¢ r - r¢
式中第二项不符合实际物理意义，应该舍去。因此，位 于原点的时变点电荷产生的电标位为
1 骣 r÷ ç F(r , t ) = f1 çt - ÷ ÷ r ç 桫 v÷
F (r ) = r dv 4p er
已知位于原点的静止点电荷 q = r dv ，产生的电位为
可见函数 f1 为
骣 r鼢 1 骣 r f1 珑 t- 鼢 = r tdv 珑 鼢 珑 桫 v 鼢 4p e 桫 v
Et = 0
Dn = r s
ˆ? H n
Js
Bn = 0
时变电磁场的位方程及其解
根据麦克斯韦方程，简单媒质中：
2 E J 抖 汛 汛 E + me 2 = - m ¶t ¶t ¶ 2H 汛 汛 H + me = 汛 J 2 ¶t
由矢量微分恒等式
汛 汛 A = 蜒( ?A )
2
A
并利用 炎 B = 0 和 炎 D = r ，得