一元二次不等式的解法复习(含详细知识点和例题答案)

①一元二次不等式的定义

象2

50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

②探究一元二次不等式2

50x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==

二次函数有两个零点：120,5x x ==

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集

画出二次函数2

5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2

50x x ->； 当0

50x x -<；

所以，不等式2

50x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

③探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：

220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或

一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2

>0与c bx ax ++2

<0的解集呢？ 组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

(1)抛物线=y c bx ax ++2

与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2

=0的根的情况

(2)抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，也就是a 的符号 总结讨论结果：

（l ）抛物线 =y c bx ax ++2

（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2

=0的判别式ac b 42

-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0

分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2

<0的解集

一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆，

0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b

x x 221-==

无实根

的解集)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R 的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21x x x

x <<

∅

∅

④解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2

>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况： ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨

⎧<<<><>.

002121x x x A x x x A ，则若；或，则若

ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩

⎪

⎨⎧=≤∈<≠>.

00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；

，则若φ

ⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨

⎧∈≤∈>.

00φx A R x A ，则若；，则若

③ 写出解集.

⑤求解不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x 2+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 或 或

-4

。

原不等式解集为{x|-4

x 2+3x-4<0 (x+)2< |x+|< -

原不等式解集为{x|-4

⑥含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2

x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122

>+++x a ax

分析：本题二次项系数含有参数，()04422

2

>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项

系数进行分类讨论。

解：∵()04422

2

>+=-+=∆a a a

解得方程 ()0122

=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a

a a x 24

222++--=

∴当0>a 时,解集为⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或

当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>

21|x x 当0

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22