2021高三数学人教B版一轮学案：对数与对数函数 Word版含解析

第六节对数与对数函数

最新考纲考情分析

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换

底公式将一般对数转化成自然对数或常用

对数；了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握

对数函数图象通过的特殊点．

3．体会对数函数是一类重要的函数模型．

4．了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对

数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.

1.以选择、填空题的形式

直接考查对数的运算性

质．

2．考查以对数函数为载

体的复合函数的图象和

性质．

3．以比较大小或探求对

数函数值域的方式考查

对数函数的单调性.

知识点一对数与对数运算

1．对数的定义

如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算

(1)对数的性质(a>0且a≠1)：

①log a1＝0；②log a a＝1；＝N.

(2)对数的换底公式：

log a b＝(a，c均大于零且不等于1，b>0)．

(3)对数的运算法则：

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①log a(M·N)＝log a M＋log a N，

②log a＝log a M－log a N，

③log a M n＝n log a M(n∈R)．

知识点二对数函数的图象与性质

1．对数函数的图象与性质

2.反函数

指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.(×)

(2)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函

数．(×)

(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)

(4)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点

(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(√)

2．小题热身

(1)已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(B)

A．d＝ac B．a＝cd

C．c＝ad D．d＝a＋c

(2)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(D)

A．a>1，c>1

B．a>1,0

C．01

D．0

解析：由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0

(3)log29·log34·log45·log52＝2.

(4)函数y＝的定义域是.

解析：由，得0<2x－1≤1.

∴

∴函数y＝的定义域是.

(5)若log a<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．

解析：当0

当a>1时，log a1.

∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).

考点一对数的运算

【例1】(1)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为()

A．24B．16C．12D．8

(2)计算：log23·log38＋＝________.

(3)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.

【答案】(1)A(2)5(3)

方法技巧

(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数运算法则化简合并．

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．

(3)a b＝N⇔b＝log a N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．

1．计算：＋log2＝－2.

解析：原式＝|log25－2|＋log25－1＝log25－2－log25＝－2.

2．若正数a，b满足3＋log2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为72.

解析：根据题意设3＋log2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)＝k，

所以有a＝2k－3，b＝3k－2，a＋b＝6k，

＋＝＝＝72.

考点二对数函数的图象及应用

【例2】(1)函数y＝lg|x－1|的图象是()

(2)当0

A. B.

C．(1，) D．(，2)

【解析】(1)因为y＝lg|x－1|＝

当x＝1时，函数无意义，故排除B，D.

又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．

(2)解法1：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x，当a>1时不满足条件，当0