函数项级数的一致收敛性及基本性质

有
rn ( x ) < ε，
根据定义， 根据定义， 所给级数在区间[ 0,+∞ ]上一致收敛于 s( x ) ≡ 0.
例3
研究例1中的级数 研究例 中的级数
x + ( x 2 x ) + ( x 3 x 2 ) + + ( x n x n 1 ) +
在区间( 内的一致收敛性. 在区间 0 , 1]内的一致收敛性 内的一致收敛性
上一致收敛. 所以级数∑ ∫x ui ( x )dx 在[ a, b ]上一致收敛 上一致收敛
x i =1
0
∞
在区间[ 定理3 定理3 如果级数 ∑ un ( x ) 在区间 [ a, b ] 上收敛
n =1
∞
于 和 s ( x ) ， 它 的 各 项 un ( x ) 都 具 有 连 续 导 数
n =1 ∞ ∞
上都连续, 在区间[ [ a, b ] 上都连续, 且 ∑ un ( x ) 在区间[ a, b ] 上一
n =1
上也连续. 致收敛于 s( x ) , 则 s( x ) 在[ a, b ] 上也连续.
证
上任意点． 设 x 0 , x 为[a, b]上任意点．由
s( x ) = sn ( x ) + rn ( x ), s( x 0 ) = sn ( x0 ) + rn ( x 0 )
0
0

x
x
x0
又由级数的一致收敛性,对任 给正数 ε 必 有
N = N (ε ) 使得当 n > N 时,对 [ a, b ]上的一切 x ,都 对 上的一切 都 ε 有 rn ( x ) < . ba
于是， 于是，当 n > N 时有
s ( x )dx ∫x s n ( x )dx ≤ ∫x rn ( x ) dx x 0 ε < ( x x0 ) ≤ ε . 根据极限定义， 根据极限定义，有
∴ s ( x ) s ( x 0 ) = sn ( x ) sn ( x 0 ) + rn ( x ) rn ( x 0 )
≤ sn ( x ) sn ( x0 ) + rn ( x ) + rn ( x0 )
∵
级数 ∑ un ( x ) 一致收敛于 s( x )，
n=1 ∞
(1)
对ε > 0 ，必自然数 N = N (ε ) ，使得当n > N 时 , 对[a, b]上的一切 x 都有
a n+1 + a n + 2 + + a n + p < . 2 由条件(1)， 由条件 ，对任何 x ∈ I ，都有
ε
un+1 ( x ) + un+ 2 ( x ) + + un+ p ( x )
≤ a n +1 + a n+ 2 + + a n + p < , 2
≤ un+1 ( x ) + un+ 2 ( x ) + + un+ p ( x ) ε
解 该级数在区间 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和 s( x ) ≡ 0 ， 内处处收敛于和 但并不一致收敛． 但并不一致收敛．
1 对于任意一个自然数 n , 取 x n = n ，于是 2
1 sn ( x n ) = x = , 2
n n
但 s ( x n ) = 0,
1 从而 rn ( xn ) = s( xn ) sn ( xn ) = . 2
1 多么大， 总存在 ∴只要取ε < ，不论 n 多么大，在(0,1)总存在 2 点 xn ， 使得 rn ( xn ) > ε ,
因此级数在( 内不一致连续． 因此级数在 0, 1 )内不一致连续． 内不一致连续
n 说明: 虽然函数序列 sn ( x ) = x 在( 0, 1 )内处处 内处处 说明:
同样有 rn ( x0 ) < . 3
rn ( x ) < 3 ε
ε
(2)
是有限项连续函数之和， ∵ s n ( x ) 是有限项连续函数之和，
故 s n ( x ) ( n > N )在点 x 0 连续， 在点 连续，
δ > 0当 x x0 < δ 时总有 sn ( x ) sn ( x0 ) <
∞ n =1
( n = 1,2,3 ) ;
收敛, 正项级数 ∑ a n 收敛,
∞
上一致收敛. 则函数项级数 ∑ un ( x ) 在区间 I 上一致收敛.
n =1
证 由条件 ，对任意给定的 ε > 0 ，根据柯西 由条件(2)，
审敛原理存在自然数 N ， 使得当 n > N 时 ， 对 于任意的自然数 p 都有
0, s( x ) = lim sn ( x ) = n→ ∞ 1,
和函数 s( x )在 x = 1 处间断 .
0 ≤ x < 1, x = 1.
结论 函数项级数的每一项在[a , b]上连续，并且 上连续，
上收敛， 级数在[a , b]上收敛 ， 其和函数不一定在[a , b] 上 收敛． 收敛 ．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分． 积分．
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数， 问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有
限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 导数及积分的和 ． 有这些性质呢？对于幂函数是这样的， 有这些性质呢 ？ 对于幂函数是这样的 ，那么对 于一般的函数项级数是否如此？ 于一般的函数项级数是否如此？
y = s( x ) + ε 与 y = s( x ) ε 之间 之间.
y
y = s( x ) + ε y = s( x ) y = sn ( x ) y = s( x ) ε
ε ε
o
I
x
例2 研究级数 1 1 1 1 1 + + + + + x + 1 x + 2 x + 1 x + n x + n 1 上的一致收敛性. 在区间[ 0,+∞ )上的一致收敛性 1 , 解 ∵ sn ( x ) = x+n 余项的绝对值
n =1
n
rn ( x ) = s( x ) sn ( x ) < ε
∞ n =1
成立， 成立， 则成函数项级数 ∑ un ( x ) 在区间 I 上一致 收敛于和 s( x ) ， 也称函数序列 sn ( x ) 在区间 I 上 一致收敛于 s( x ) ．
几何解释: 几何解释:
只要 n 充分大 ( n > N ),在区间 I 上所有曲 在区间 线 y = sn ( x ) 将位于曲线
(5)
注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导 注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.
sin x sin 2 2 x sin n 2 x 例如， 例如，级数 + + + + 2 2 2 1 2 n
上都是一致收敛的. 在任何区间[a , b]上都是一致收敛的
逐项求导后得级数
cos x + cos 2 x + + cos n x + ,
令 p → ∞ ,则由上式得 则由上式得
rn ( x ) ≤
ε
2
∞
<ε.
上一致收敛. 因此函数项级数 ∑ un ( x ) 在区间 I 上一致收敛
n =1
例4
证明级数
sin x sin 2 2 x sin n 2 x + ++ + 2 2 2 1 2 n 在( ∞ ,+∞ ) 上一致收敛. 上一致收敛
证
∵ 在( ∞ ,+∞ ) 内
sin n x 1 ≤ 2 2 n n
1 ∵ 级数 ∑ 2 收敛， 收敛， n =1 n
∞
2
( n = 1,2,3,)
由魏尔斯特拉斯判别法， 由魏尔斯特拉斯判别法，
∴ 所给级数在( ∞ ,+∞ )内一致收敛． 内一致收敛．
三、一致收敛级数的基本性质
定理1 定理1
如果级数 ∑ un ( x ) 的各项 un ( x ) 在区间
一致收敛性简便的判别法： 一致收敛性简便的判别法： 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法） (Weierstrass)判别法 定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
上满足条件: 如果函数项级数 ∑ un ( x ) 在区间 I 上满足条件:
n =1 ∞
(1) (2)
un ( x ) ≤ a n
问题 对什么级数 ，能从每一项的连续性得出和 对什么级数，
函数的连续性， 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
二、函数项级数的一致收敛性 定义 设有函数项级数 ∑ u ( x ) ． 如果对于任意
∞
给定的正数 ε ， 都存在着一个只依赖于 ε 的自 然数 N ， 使得当 n > N 时 ， 对区间 I 上的一切 x ，都有不等式
都在[ 上连续， 由定理 1, s( x ) ， rn ( x ) 都在 a, b ]上连续 ， 上连续
n=1
∞
所以积分
∫
x
x0
s( x )dx ， ∫x rn ( x )dx 存在,从而有 存在 从而有
0
x
∫
x
x0
s( x )dx ∫ sn ( x )dx = ∫x rn ( x )dx ≤ ∫ rn ( x ) dx . x
∫
x
x
x
0
0
bq
∫
x
x0
s( x )dx = lim ∫x sn ( x )dx = lim ∑ ∫x un ( x )dx
x x n→ ∞
0
n
n→ ∞
即
∫
x
x0
s( x )dx = ∑ ∫x ui ( x )dx
x i =1
0
∞
i =1
0
无关， 由于 N 只依赖于 ε 而于 x 0 , x 无关，
例1 考察函数项级数 2 3 2 n n 1 x + ( x x) + ( x x ) + + ( x x ) + 和函数的连续性． 和函数的连续性． 解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的， 是连续的， 因为该级数每一项都在 是连续的 得和函数： 得和函数：
且 sn ( x ) = x n ,
′ u′ ( x )，并且级数 ∑ un ( x ) 在[ a, b ] 上一致收敛 ， 上一致收敛， n
n =1
∞
上也一致收敛， 则级数∑ un ( x ) 在[ a, b ] 上也一致收敛，且可逐
n =1
∞
项求导， 项求导，即
′ s′( x ) = u1 ( x ) + u′ ( x ) + + u′ ( x ) + 2 n
上连续． 的，因此 s( x ) 在 [ a, b ]上连续． 上连续
定理2 定理2
如果级数 ∑ un ( x ) 的各项 un ( x ) 在区间
n =1 ∞
∞
上都连续, 在区间[ [ a, b ] 上都连续 , 且 ∑ un ( x ) 在区间 [ a, b ] 上一
n =1
上可以逐项积分, 致收敛于 s( x ) , 则 s( x ) 在[ a, b ] 上可以逐项积分, 即
ε
3 由(1)、(2)、(3)可见 对任给ε > 0 ，必有δ > 0 ， 、 、 可见, 可见
当 x x0 < δ 时，有 s( x ) s( x0 ) < ε .
(3)
所以 s( x ) 在点 x0 处连续，而 x 0 在 [ a, b ]上是任意 处连续， 而 上是任意
收敛于 s( x ) ≡ 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收 内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的． 敛于零的“快慢”程度是不一致的． 从下图可以看出: 从下图可以看出
y
y = sn ( x ) = x n
n=1
(1,1)
n=2
n=4
o
n = 10 n = 30
1
x
注意： 注意：对于任意正数 r < 1，这级数在 [0, r ] 上 一致收敛． 一致收敛． 一致收敛性与所讨论的区间有关． 小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
1 s( x ) = lim sn ( x ) = lim = 0 (0 ≤ x < +∞ ) n→ ∞ n→ ∞ x+n
1 1 rn = s( x ) sn ( x ) = (0 ≤ x < +∞ ) ≤ x+n n
对于任给ε > 0 ，取自然数 N ≥ ，
1
ε
则当 n > N 时，对于区间[ 0,+∞ ]上的一切 x ，
∫
x
x0
s( x )dx
x x
= ∫ u1 ( x )dx + ∫ u2 ( x )dx + + ∫ un ( x )dx + (4) x x
0 0
x
x0
其 中 a ≤ x0 < x ≤ b , 并 且 上 式 右 端 的 级 数 在 上也一致收敛. [ a, b ] 上也一致收敛.
证
∵ 级数 ∑ un ( x ) 在[ a, b ]一致收敛于 s( x ) , 一致收敛于