初中数学十字相乘法因式分解

初中数学十字相乘法因式分解

要点：

一、2()x p q x pq +++型的因式分解

特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到：

pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=

))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=

1的二次三项式分解因式。

二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式

大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。

反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。

【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。（1）232++x x （2）672+-x x 分析：（1）232++x x 的二次项的系数是1，常数项212⨯=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。

（2）672+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-⨯-=，一次项系数=-7)1(- )6(-+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2+=x ( ))(q x p +分解以上两式。

解：（1）因为212⨯=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x

（2）因为)6()1(6-⨯-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x

[例2] 把下列各式因式分解。

（1）22-+x x （2）1522--x x

分析：（1）-+x x 22的二次项系数是1，常数项2)1(2⨯-=-，一次项系数2)1(1+-=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。

（2）1522--x x 的二次项系数是1，常数项3)5(15⨯-=-，一次项系数)5(2-=- 3+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子。

以上两题可用))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++式子分解。

解：（1）因为2)1(2⨯-=-，并且2)1(1+-=，所以)1)(2(22-+=-+x x x x

（2）因为3)5(15⨯-=-，并且3)5(2+-=-，所以)3)(5(1522+-=--x x x x

注意：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。

（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。

[例3] 把下列各式因式分解。

（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+

解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x 1

2

31

--

7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯ （2）)53)(12(5762-+=--x x x x 5

3

12

-

713)5(2-=⨯+-⨯ （3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+ y

y 45

21

-

y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯

[例4] 将40)(3)(2----y x y x 分解因式。 分析：可将y x -看成是一个字母，即a y x =-，于是上式可化为4032--a a 二次项系数是1，常数5)8(40⨯-=-，一次项系数5)8(3+-=-，所以可用)(2q p x ++x ))((q x p x pq ++=+式子分解。

解：因为5)8(40⨯-=-，并且5)8(3+-=-，所以

40)(3)(2----y x y x )5)(8(]5)][(8)[(+---=+---=y x y x y x y x

[例5] 把222265x y x y x --分解因式。

分析：多项式各项有公因式2x ，第一步先提出各项公因式2x ，得到：

)65(65222222--=--y y x x y x y x ，经分析652--y y 它符合pq y q p y +++)(2型式子，于是可继续分解。第二步，按pq y q p y +++)(2型二次三项式分解，得到：

)1)(6()65(222+-=--y y x y y x

解：)1)(6()65(652222222+-=--=--y y x y y x x y x y x

[例6] 将xy y x 168155-分解因式。

解：xy y x 168155-)49)(49()1681(222244-+=-=y x y x xy y x xy

)23)(23)(49(22-++=xy xy y x xy

注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分解为止。