标准正态曲线下面积的求法

.标准正态曲线下面积的求法（查表资料1-3）

1．已知Z值求概率

⑴．求Ｚ＝0至某一Ｚ值之间的概率：直接查表

⑵．求两个Ｚ值之间的概率

♦两Ｚ值符号相同：PZ1－Z2＝PZ2－PZ1

♦

♦两Ｚ值符号相反：PZ1－Z2＝PZ2＋PZ1

♦

⑶．求某一Z值以上的概率

♦Z＞0时，PZ－∞＝0.5－PZ

♦

♦Z＜0时，PZ－∞＝0.5＋PZ

♦

⑷．求某一Z值以下的概率

♦Z＞0时，P－∞－Z＝0.5＋PZ

♦

♦Z＜0时，P－∞－Z＝0.5－PZ

♦

2．已知面积（概率）求Z值

⑴．求Z＝0以上或以下某一面积对应的Z值：直接查表

⑵．求与正态曲线上端或下端某一面积P相对应的Z值：先用0.5－PZ，再查表

⑶．求与正态曲线下中央部位某一面积相对应的Z值：先计算P／2，再查表

3．已知概率Ｐ或Z值，求概率密度Y

♦直接查正态分布表就能得到相应的概率密度Ｙ值。

♦

♦如果由概率Ｐ求Ｙ值，要注意区分已知概率是位于正态曲线的中间部分，还是两尾端部分，才能通过查表求得正确的概率密度。

（1）已知Z值求面积

如果是原始数据，要首先转化为标准分数，然后再由Z值查到面积，具体做法有以下三种：

第一种情况：求Z=0至某一Z值之间的面积。可以直接查表（附表1）；

如查Z=0到Z=0.50的面积。查得P=0.19146。

再如：求Z=0到Z=2之间的面积。可以直接查。查附表1。先找Z行，找到2这个值；再看P行，在2旁边的那个P值为0.47725。从而得到从Z=0到Z=2这个区域的面积为0.47725。

第二种情况：求两个Z值之间的面积；

首先要找出这两个值到Z=0的面积找出来，然后看它们的符号相同还是相反。如果相同，就用大的面积减去小的面积所得差即为所求；如果符号相反，就把两个面积加起来，所得和即为所求面积。

例如：要求Z=0.50到Z=2之间的面积。先查得Z=0到Z=0.50的面积，结果查得0.19146；在查得Z=0到Z=2之间的面积，结果查得0.47725。然后看两个Z值的符号是相同还是相同。结果发现相同。那么最终所求面积等于0.47725减去0.19146，结果得0.28579。即从Z=0.50累积到Z=2的概率为0.28579，或所求面积为0.28579。

又如：要求Z=-1.50到Z=1之间的面积。先查得Z=0到Z=-1.50的面积，结果查得0.43319；在查得Z=0到Z=1之间的面积，结果查得0.34134。然后看两个Z值的符号是相同还是相反。结果发现相同。

那么最终所求面积等于0.43319加上0.34134，结果得0.77633。即从Z=-1.50累积到Z=1的概率为

0.77633，或所求面积为0.77633。

第三种情况：求某一Z值以上或以下的面积。即左端或右端，上端或下端。

例如：求Z=2以上的面积。先查Z=0到Z=2的面积为多少，查附表1的0.47725，则Z=2以上的面积就等于半块面积减去0.47725。这时就用到标准正态曲线的对称性。即整个面积为1，则半个面积为

0.50。所以Z=2以上的面积为0.02275。同理根据对称性可以求得Z=2以下的面积，Z=-2以上或以下

的面积。

例如：某地区某年高考英语这一科的考生有46000人，经过计算平均分为56.03，标准差为19.06，假定这个分布是正态的，现在问成绩在90分以上的有多少人，60分到90分有多少人，60分以下的有多少人。

（2）已知面积求Z值

第一种情况：求Z=0以上或以下某一面积相对应的Z值；

求Z=0至某一Z值之间面积所对应的Z值。可以直接查表（附表1）。如已知Z=0往上的面积等于0.30，求所对应的Z值。先查P行，找到0.30。当然表中不一定有该数据，可以找最接近的数，其所对应的Z值就是我们所要求的。查得Z=0.84。所以从Z=0往上0.30的面积所对应的Z值为0.84。同理可得从Z=0往下的面积对应的Z值，不过要在所求得的Z值前加一个负号。

第二种情况：求与正态曲线上端或下端某一面积相对应的Z值；

首先要用一半的面积减去这个尾端面积，然后再查表。例如：已知一上尾端面积为0.10，求该面积所对应的Z值。分析：这时要用0.50减0.10，得0.40，然后查表，得Z=1.28。因为这是上半端中的面积，所以所对应Z值为正。若是下半端则需加上一负号。

第三种情况：求与正态曲线下中央部位某一面积相对应的Z值。

先把面积除以2，求得半块面积，然后查表得到一个Z值，另一个Z值则加一个负号。

3. 正态曲线的纵线

正态曲线的纵线高度Y是横轴上某一Z值的频率密度（即概率）。若已知Z值或面积都可通过查附表1寻得Y值。

（1）已知Z值求Y值可直接查表求得。

如Z=1.35，则查得Y等于0.16038。

如果Z=-1.35，我们可取其绝对值，因为根据正态曲线的对称性可知，Z的绝对值相同，对应的纵线高度也相同。

（2）已知P值求Y值分为三种情况：

第一种情况：可以直接查得；

例如：已知Z=0到Z的一定值的累积概率为0.30，求Y值。

这时就可以直接查。因为没有直接的0.30，找到最接近的0.2995。找到对应的

Y值为0.28034。

第二种情况：已知尾端面积，求纵线高度。这时要做适当的转换。

例如：尾端面积为0.30，求纵线高度。这时要用0.50减去0.30，这时把尾端面积转换成了

从Z=0到Z等于一定值的面积或累积频数。这时可以查P等于0.20所对应的Y值。查得

0.34849。

第三种情况：已知中央面积，求面积左右两端的纵线高度。

这时要中央面积除以2，得到半块面积后再查表。两侧的纵线高度一样，所以只需查得一个

即可。例如：中央面积为0.80，求两侧纵线高度。这时要用0.80除以2，得0.40，可以

查P等于0.40所对应的Y值。由于没有直接的0.40，可以找最接近的0.39973。查得Y值

即纵线高度为0.17585。所以两侧的纵线高度都为0.17585。