浅谈数学中的联想思维法

浅谈数学中的联想思维法

在初三中考中，压轴题是大部分学生感到困难的部分。如果要很好的完成中考压轴题，那么良好的思维习惯就是解题的重要保证了。良好的思维习惯不是生来就有的，它是在有意识的培养中形成，并在不断的实践中得到发展的。培养和发展学生学习数学的良好的思维习惯是每一位数学教师的追求和职责。数学学习过程是一个观察、实验、模拟、推断、计算、交流等活动的综合过程，学生构建起一个包括数学思想方法在内的完整的数学知识结构体系，这都有益于提高学生学习的主动性及分析问题和解决问题能力。从而漂亮的完成中考中的压轴题。

我们在解一个几何问题时，时常有这样的思维习惯，即这个问题与学过的那些知识有关，或与哪个熟悉的解过的题目类似。像形态的、知识方面的的等，我们就可以把记忆中储存的相关信息联系起来。在这个过程中我们就完成了一次联想。在解题过程中由于题型的多样化，联想的方法也不同。主要有接近联想、相似联想、对比联想，接下来本文就针对这三种联想

方法进行举例讲解。

一、接近联想

例：如图，正方形是以正方形各边中

点为顶点的正方形 ... ，正方形是以正方形

各边中点为顶点的正方形，阴影是分别连

接、、、围城的正方形。

求是的几分之几? 分析;这是一个需由特殊到一般作接近联想解决的问题。

为求，我们把它分离放大有图，阴影部分沿

向上折叠，得正方形。由于为

中点有，可得≌ 。从而

即是的。

此例中正方形分别因果相连，因而产生了因果关系的接近联想。从上例思维过程看到，接近联想具有连续发散性，常使联想到的内容一环接一环紧密连接，构成一长串思考着的形象链条，我们可以从中摘取其中的部分用于解题。在中考题中像填空12题有事就会出这样类型的题，我们可以先研究它较简单的前2到3步，把它作为规律用之解决后面的难题部分。二、相似联想

通常指在某一方面的性质上，或思维框架上、或形态上、或解题方法上的相似。在中考中，有些题型（如阅读理解等）往往就要利用到相似联想。24．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.

原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.

小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问

题得解.

小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30︒,∠ADB=∠BEC=60︒.

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；

（2）如图2，若∠ABC=30︒，∠ADB=∠BEC=60︒，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原问题中的

其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.

分析：这个中考题由上面的阅读材料可以初步的建立解题思路，然后按照其思路先研究特殊题图形如图（1）得到一个初步的方法，再用相似的方法把图（2）图（3）解决。第二、三问的题目与第一问比较有所变动，但主要的形态、解法等都与图（1）相似，所以遇到这类型的题就可以先研究材料，再研究特殊的，最后到一般。有的题则反之，由于篇幅有限就不一一举例说明了。

解: （1）DF=EF.

（2）猜想：DF= FE.

证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90︒.

∵ DA=DB, ∠ADB=60︒.

∴ AG=BG,△DBA是等边三角形.

∴ DB=BA.

∵ ∠ACB=90︒, ∠ABC=30︒,

∴ AC= AB=BG.

∴ △DBG≌△BAC.

∴ DG=BC.

∵ BE=EC, ∠BEC=60︒ ,

∴ △EBC是等边三角形.

∴ BC=BE,∠CBE=60︒.

∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90︒ .

∵ ∠DFG =∠EFB, ∠DGF=∠EBF,

∴ △DFG≌△EFB.

∴ DF= EF.

（3）猜想：DF= FE.

证法一：过点D作DH⊥AB于H, 连接HC, HE, HE 交CB于K, 则∠DHB=90︒.

∵ DA=DB,

∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.

∵ ∠ACB=90︒,

∴ HC=HB.

∵ EB=EC, HE=HE,

∴ △HBE≌△HCE.

∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH.

∴ HK⊥BC.

∴ ∠BKE=90︒.

∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC,

∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.

∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90︒，

∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90 .

∴ DB//HE, DH//BE.

∴ 四边形DHEB是平行四边形.

∴ DF=EF.

这个例题是运用的相似联想的典型的中考考题。从解法上都要用到旋转的作辅助线的方法；从思维上也比较相似，从动态上图（2）图（3）是由图（1）发展得到的。

利用相似联想打开解题局面的例子，在近几年的中考模拟中比比皆是。一种类型的题，北京中考模拟一个区出现，另一个区或几个区或形态相似，或整体结构相似，或条件相似，或解法相似，或结论相似也会相继出现，以至到后来的中考卷中出现。因此相似联想是破译中考题的有效思维方法，我们一定要重视。三、对比联想

指在思考某一问题时运用的列举反例、间接证法、两头凑法、以退为进法、有具体到抽象或由抽象到具体、正向不通则反向寻求等。构造一个命题的逆命题，逆向思维从而达到解决问题的目的。如在中考题中点的存在性问题等。

例24. （本小题7分）