数字信号处理(第二章[1].离散时间信号和系统)
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第二章
离散时间信号和系 统分析基础回顾
学习要点
• 取样定理及避免模糊条件 • 离散时间信号的含义和表示（理解其 来龙去脉） • 线性时不变系统的频域描述和分析： 因果性、稳定性 • 系统的输入输出描述方法（时域） • 常见变换域分析工具间的区别和联系
2 / 30
Beijing Institute of Technology
4dB
2fs
fs fs/2 0
28 / 30
f
fs/2
fs
2fs
Beijing Institute of Technology
staircase reconstructor: 阶梯恢复
ˆ | X( j ) |
1/T
2π/T = Ωs
T
H(jΩ )
Ώ
Ώ
| X a ( j ) |
29 / 30
(a)
Out of band noise
Signal of interest Out of band noise
(b)
-B
0
B
f
-B
0
B f S /2
(c)
Passband frequency
Antialiasing filter
-B
0
B
f
19 / 30
Beijing Institute of Technology
3、单位取样序列的移位加权表示法
x(n) x(m)(n m) m
1, n m (n m) 0, n m
30 / 30
n
4、图示法
x(n)
Beijing Institute of Technology
二、序列的运算规则及符号表示
1、加、减 2、积 3、标乘 4、延时(移位) 5、翻转 6、尺度变换 7、分支运算
22 / 30
Ώ
Beijing Institute of Technology
五、取样内插公式
ˆ X a ( j) X( j)H( j) x a (t) x(t) h a (t)
取样内插公式的推导
考虑理想低通滤波器，其单位脉冲响应为：
H( j )
T
Ώs
s
1 T s jt jt h a (t) H( j)e d 2 s e d 2 sin s t / 2 sin t / T s t / 2 t / T
1 jm 2T t jt x a (t) e e dt m T
1 j( ms )t x a (t)e dt T m
1 X a j ms T m 1 2 Xa j m T m T
Beijing Institute of Technology
Sampling a Sine wave
1.2
1
0.8 0.6 0.4 0.2
__ s(t) = sin(2f t) 0
s(t) @ fS
f0 = 1 Hz, fS = 3 Hz
t
0
-0.2
-0.4
-0.6 -0.6 -0.8 -1 -1 -1.2 -1.2
理论上不存在取样模糊的最小频率成为奈奎 斯特取样率，即2h
21 / 30
Beijing Institute of Technology
四、信号的恢复（reconstruction）
ˆ | X( j ) |
1/T
2π/T = Ωs
Ώ
H( j ) 时域内插：interpolation T
Ώ
| X a ( j ) |
ˆ x (t)
T
t
ˆ x (t)
p(t)
ˆ x(t) xa (t)p(t)
4 / 30
t
Beijing Institute of Technology
实际取样-〉理想取样
p(t)
1/
5 / 30
Beijing Institute of Technology
理想取样 (取样脉宽无限小)
x a (t)
31 / 30
Beijing Institute of Technology
三、常见的典型序列
1、单位取样序列
1 n 0 (n) 0 n0
2、单位阶跃序列
t
ˆ x(t)
p (t)
T
t
ˆ x(t) xa (t)p (t)
t
6 / 30
Beijing Institute of Technology
采样失真图示
Is it the original continuous one?
n
7 / 30
This one may be obtained through low-pass filtering
n x a (g)(g nT)h a (t g)dg
n x a (nT)h a (t nT) x a (t)
其中
sin (t nT) T sinc (t nT) h a (t nT) T (t nT) T
p (t d FT[p)(t )]
2π/T
2 T
T
Ω t
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明 理想取样信号的频谱为：
ˆ j) x(t)e jt dt x (t)p (t)e jt dt X( ˆ a
Whittaker(s),Nyquist,Shannon,Kotel’nikov
若模拟信号的频谱带宽是有限的，则其时域 连续波形存在一定的冗余性，经过离散取样 后原有携带信息可实现无失真恢复，但是所 采用的取样频率必须大于原模拟信号频谱中 最高频率的两倍：fs ≥2fh 带通取样定理、多采样率问题
12 / 30
内插过程图示
reconstruction process
noncausal *
staircase reconstructor: 阶梯恢复
采样信号如何变成阶梯信号？
h(t)
T
causal
T
阶梯成形滤波的频率响应
ideal reconstructor
T
fT) | H(f ) T sin(fT e jfT |
-h
2π/T
h FT [pδ(t)]
1/T
2π/T = s 2π/T = s
Beijing Institute of Technology
几个实际问题：①
一、前置取样低通滤波器
H( j)
Xa(t)
ˆ x(t)
18 / 30
Beijing Institute of Technology
Anti-aliasing filter：noise reduction
采样失真实例一: strobe effect
电影或电视中快速行驶的汽车 其车轮为什么看起来往后转？
9 / 30
Beijing Institute of Technology
采样失真实例二
10 / 30
Beijing Institute of Technology
Aliasing examples
则根据卷积公式，滤波器的输出为：
ˆ y(t) x(g)h a (t g)dg
23 / 30
Beijing Institute of Technology
取样内插公式的推导
进一步得到：
y(t) n x a (g)(g nT) h a (t g)dg
2.1 引 言
数字信号是幅值经过量化的离散时 间信号，所以离散时间信号和系统 理论是数字信号处理的基础
3 / 30
Beijing Institute of Technology
2.2 连续时间信号的采样
一、信号的取样
x a (t) T ˆ x (t)
x a (t)
p(t)
t
x a (t)
脉冲调制
Original one
Reconstruction
11 / 30
Beijing Institute of Technology
二、抽样定理内容及证明
A signal s(t) with maximum frequency fMAX can be recovered if sampled at frequency fS>2fMAX.
Beijing Institute of Technology
内插函数及波形
h(t)
sin (t nT) / T (t nT) / T
nT
nT
noncausal
0
(n3)T
(n1)T nT
(n+1)T
(n+3)T
(n2)T
(n+2)T
25 / 30
Beijing Institute of Technology
Ώ
Beijing Institute of Technology
2.3一、序列的表示法 DTS的表示及运算规则
Baidu Nhomakorabea1、公式法 2、集合法
x(n) e0.05n cos(0.2n) | n : integer
Discrete Time Signal
x(n) {1,0.9323,0.8334,0.7104,...}
20 / 30
jm T
jm
2/T = s
Beijing Institute of Technology
三、折叠频率与奈奎斯特频率
一、折叠频率是相对于取样率而言的：
给定任意一个采样率s ，存在一个折叠频率， 其大小为0 = s/2
二、信号中最高频率h 为奈奎斯特频率
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明
也可利用卷积定理证明：
ˆ x (t) x a (t)p (t)
ˆ X( j) FT x a (t) FT p (t) / 2
| Xa(j) | 1
ˆ | X (j W | )
Beijing Institute of Technology
抽样定理图解
x(nT) x(t)
t
T1
T2
T3
m
X(f X(f ) m / T)
1/T3 1/T 1/T
2
1
13 / 30
f
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明
理想取样信号为：
ˆ x (t) x a (t)p (t) x a (t) (t nT)
__ s (t) = sin(8f t) 0 1 __ s (t) = sin(14f t) 0 2
s(t) @ fS represents exactly all sine-waves sk(t) defined by:
sk(t) = sin[2(f0+kfS)t]
8 / 30
Beijing Institute of Technology
几个实际问题：②③
二、取样裕度 三、脉冲取样
1 1 jm 2T t 1 1 jm 2T t Cm e dt / 2 / 2 e dt T T T
/ 2 T/2 / 2
pδ(t)
1/
2/T
e T 1 jT jm 2T t FT δ(t)] e [p ˆ | X( j) | T 2m 2m / 2 1/T 1 sin(m / T) 1 sinc m / T T m / T T j e
jms t
m
C m e jm2 fst
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明 其中
1 T/2 jm 2T t Cm (t nT) e dt T / 2 T n 1 T/2 jm 2T t (t nT)e dt T T / 2 n 1 T/2 1 jm 2T t (t)e dt T T / 2 T
n
n
x
a
(nT)(t nT)
n
x
a
(nT)
冲激脉冲序列 p (t) 是以取样间隔 T 为周期的周期性函数， 可用傅氏级数展开：
p (t)
n
(t nT) C
m
m
e
jm 2T t
m
Cm e
离散时间信号和系 统分析基础回顾
学习要点
• 取样定理及避免模糊条件 • 离散时间信号的含义和表示（理解其 来龙去脉） • 线性时不变系统的频域描述和分析： 因果性、稳定性 • 系统的输入输出描述方法（时域） • 常见变换域分析工具间的区别和联系
2 / 30
Beijing Institute of Technology
4dB
2fs
fs fs/2 0
28 / 30
f
fs/2
fs
2fs
Beijing Institute of Technology
staircase reconstructor: 阶梯恢复
ˆ | X( j ) |
1/T
2π/T = Ωs
T
H(jΩ )
Ώ
Ώ
| X a ( j ) |
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(a)
Out of band noise
Signal of interest Out of band noise
(b)
-B
0
B
f
-B
0
B f S /2
(c)
Passband frequency
Antialiasing filter
-B
0
B
f
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3、单位取样序列的移位加权表示法
x(n) x(m)(n m) m
1, n m (n m) 0, n m
30 / 30
n
4、图示法
x(n)
Beijing Institute of Technology
二、序列的运算规则及符号表示
1、加、减 2、积 3、标乘 4、延时(移位) 5、翻转 6、尺度变换 7、分支运算
22 / 30
Ώ
Beijing Institute of Technology
五、取样内插公式
ˆ X a ( j) X( j)H( j) x a (t) x(t) h a (t)
取样内插公式的推导
考虑理想低通滤波器，其单位脉冲响应为：
H( j )
T
Ώs
s
1 T s jt jt h a (t) H( j)e d 2 s e d 2 sin s t / 2 sin t / T s t / 2 t / T
1 jm 2T t jt x a (t) e e dt m T
1 j( ms )t x a (t)e dt T m
1 X a j ms T m 1 2 Xa j m T m T
Beijing Institute of Technology
Sampling a Sine wave
1.2
1
0.8 0.6 0.4 0.2
__ s(t) = sin(2f t) 0
s(t) @ fS
f0 = 1 Hz, fS = 3 Hz
t
0
-0.2
-0.4
-0.6 -0.6 -0.8 -1 -1 -1.2 -1.2
理论上不存在取样模糊的最小频率成为奈奎 斯特取样率，即2h
21 / 30
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四、信号的恢复（reconstruction）
ˆ | X( j ) |
1/T
2π/T = Ωs
Ώ
H( j ) 时域内插：interpolation T
Ώ
| X a ( j ) |
ˆ x (t)
T
t
ˆ x (t)
p(t)
ˆ x(t) xa (t)p(t)
4 / 30
t
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实际取样-〉理想取样
p(t)
1/
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理想取样 (取样脉宽无限小)
x a (t)
31 / 30
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三、常见的典型序列
1、单位取样序列
1 n 0 (n) 0 n0
2、单位阶跃序列
t
ˆ x(t)
p (t)
T
t
ˆ x(t) xa (t)p (t)
t
6 / 30
Beijing Institute of Technology
采样失真图示
Is it the original continuous one?
n
7 / 30
This one may be obtained through low-pass filtering
n x a (g)(g nT)h a (t g)dg
n x a (nT)h a (t nT) x a (t)
其中
sin (t nT) T sinc (t nT) h a (t nT) T (t nT) T
p (t d FT[p)(t )]
2π/T
2 T
T
Ω t
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明 理想取样信号的频谱为：
ˆ j) x(t)e jt dt x (t)p (t)e jt dt X( ˆ a
Whittaker(s),Nyquist,Shannon,Kotel’nikov
若模拟信号的频谱带宽是有限的，则其时域 连续波形存在一定的冗余性，经过离散取样 后原有携带信息可实现无失真恢复，但是所 采用的取样频率必须大于原模拟信号频谱中 最高频率的两倍：fs ≥2fh 带通取样定理、多采样率问题
12 / 30
内插过程图示
reconstruction process
noncausal *
staircase reconstructor: 阶梯恢复
采样信号如何变成阶梯信号？
h(t)
T
causal
T
阶梯成形滤波的频率响应
ideal reconstructor
T
fT) | H(f ) T sin(fT e jfT |
-h
2π/T
h FT [pδ(t)]
1/T
2π/T = s 2π/T = s
Beijing Institute of Technology
几个实际问题：①
一、前置取样低通滤波器
H( j)
Xa(t)
ˆ x(t)
18 / 30
Beijing Institute of Technology
Anti-aliasing filter：noise reduction
采样失真实例一: strobe effect
电影或电视中快速行驶的汽车 其车轮为什么看起来往后转？
9 / 30
Beijing Institute of Technology
采样失真实例二
10 / 30
Beijing Institute of Technology
Aliasing examples
则根据卷积公式，滤波器的输出为：
ˆ y(t) x(g)h a (t g)dg
23 / 30
Beijing Institute of Technology
取样内插公式的推导
进一步得到：
y(t) n x a (g)(g nT) h a (t g)dg
2.1 引 言
数字信号是幅值经过量化的离散时 间信号，所以离散时间信号和系统 理论是数字信号处理的基础
3 / 30
Beijing Institute of Technology
2.2 连续时间信号的采样
一、信号的取样
x a (t) T ˆ x (t)
x a (t)
p(t)
t
x a (t)
脉冲调制
Original one
Reconstruction
11 / 30
Beijing Institute of Technology
二、抽样定理内容及证明
A signal s(t) with maximum frequency fMAX can be recovered if sampled at frequency fS>2fMAX.
Beijing Institute of Technology
内插函数及波形
h(t)
sin (t nT) / T (t nT) / T
nT
nT
noncausal
0
(n3)T
(n1)T nT
(n+1)T
(n+3)T
(n2)T
(n+2)T
25 / 30
Beijing Institute of Technology
Ώ
Beijing Institute of Technology
2.3一、序列的表示法 DTS的表示及运算规则
Baidu Nhomakorabea1、公式法 2、集合法
x(n) e0.05n cos(0.2n) | n : integer
Discrete Time Signal
x(n) {1,0.9323,0.8334,0.7104,...}
20 / 30
jm T
jm
2/T = s
Beijing Institute of Technology
三、折叠频率与奈奎斯特频率
一、折叠频率是相对于取样率而言的：
给定任意一个采样率s ，存在一个折叠频率， 其大小为0 = s/2
二、信号中最高频率h 为奈奎斯特频率
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明
也可利用卷积定理证明：
ˆ x (t) x a (t)p (t)
ˆ X( j) FT x a (t) FT p (t) / 2
| Xa(j) | 1
ˆ | X (j W | )
Beijing Institute of Technology
抽样定理图解
x(nT) x(t)
t
T1
T2
T3
m
X(f X(f ) m / T)
1/T3 1/T 1/T
2
1
13 / 30
f
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明
理想取样信号为：
ˆ x (t) x a (t)p (t) x a (t) (t nT)
__ s (t) = sin(8f t) 0 1 __ s (t) = sin(14f t) 0 2
s(t) @ fS represents exactly all sine-waves sk(t) defined by:
sk(t) = sin[2(f0+kfS)t]
8 / 30
Beijing Institute of Technology
几个实际问题：②③
二、取样裕度 三、脉冲取样
1 1 jm 2T t 1 1 jm 2T t Cm e dt / 2 / 2 e dt T T T
/ 2 T/2 / 2
pδ(t)
1/
2/T
e T 1 jT jm 2T t FT δ(t)] e [p ˆ | X( j) | T 2m 2m / 2 1/T 1 sin(m / T) 1 sinc m / T T m / T T j e
jms t
m
C m e jm2 fst
Beijing Institute of Technology
取样定理的证明 其中
1 T/2 jm 2T t Cm (t nT) e dt T / 2 T n 1 T/2 jm 2T t (t nT)e dt T T / 2 n 1 T/2 1 jm 2T t (t)e dt T T / 2 T
n
n
x
a
(nT)(t nT)
n
x
a
(nT)
冲激脉冲序列 p (t) 是以取样间隔 T 为周期的周期性函数， 可用傅氏级数展开：
p (t)
n
(t nT) C
m
m
e
jm 2T t
m
Cm e