[信号与系统作业解答]第二章
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rzi(t) 3rzi(t) 2rzi(t) 0 rzi(0 ) rzi(0 ) 2 rzi(0 ) rzi(0 ) 1
特征方程为 2 3 2 0 ，特征根为 1
1和 2
2。
所以rzi(t) C1e t C2e 2t, t 0
将 rzi(0 ) r (0 ) 2 和rzi(0 ) r(0 ) 1代入可求得
g(t) 1 e 12t cos 3 t 2
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
由于系统的冲激响应h(t) h(t) e 12t cos 3 t
2
d g(t) ，所以系统的冲激响应为 dt
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
3）系统的冲激响应满足方程
d dt
h(t)
2h(t)
(t) 3 (t)
电容两端电压不会发生跳变，vc(0 ) vc(0 ) 10V ，所以i(0 ) 0 ；
因此，电阻两端无电压，电感两端电压变成 10V，所以i (0 ) 10 。
（2）换路后系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) e (t) e(t) 20u(t)
t 0 时间内描述系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) 20 (t)
e(t) (1) 0 (2)
整理得：
2vo(t) 5vo(t) 5vo(t) 3vo(t) 2e (t)
2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的 0+状态条件，求系统的零输入响应。
1）
d2 dt 2
r(t)
2
d dt
r(t
)
2r(t)
0 ，给定r(0 )
1 ，r (0 )
2
2）
d2 dt 2
r(t)
2-6
d2 给定系统微分方程 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
始状态为以下情况： e(t) u(t) ，r(0 )
2r(t)
d dt
e(t)
3e(t) ，若激励信号和起
1 ， r (0 ) 2 。分别求系统的完全响应、
指出零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。
解答：
1. 求系统的零输入响应。由已知条件有：
用冲激函数匹配法求得rzs1(0 ) 1 ，代入上面的解得：A 0 所以rzs1(t) e tu(t) 因此，rzi(t) r1(t) rzs1(t) e tu(t) 2）因为rzs1(t) 即为系统的阶跃响应g(t) ，可知系统的冲激响应为 h(t) rzs1(t) (t) e tu(t) 当输入为e3(t) e tu(t)时， rzs3(t) h(t) * e3(t) e tu(t) te tu(t)
2）
d2 dt 2
r(t)
d r(t) r(t) dt
d e(t) e(t) dt
3）
d dt
r(t)
2r(t)
d2 dt 2
e(t
)
3e(t)
3e(t)
解答：
2）系统的阶跃响应 g(t ) 满足方程
d 2 g(t) d g(t) g(t) (t)
dt 2
dt
其解的形式为
u(t) „„（3）
g(t) e 12t A cos 3 t B sin 3 t
起始状态为h(0 ) 0
3 (t)„„（5）
其解为 h(t) Ae 2tu(t), t 0 „„（6）
用冲激函数匹配法求h(0 ) 。设
h (t) a (t) b (t) c (t) d u(t) h(t) a (t) b (t) c u(t)
代入原方程（5）得 a b c 1 从而h(0 ) 1 ，代入（6）式得A 1
量。（图略）
解答：
换路前，系统已进入稳态，因此 vo(0 ) E
换路后，由于电容两端电压不会发生突变，所以
vo(0 ) vo(0 ) E （1）根据电路形式，t 0 后的电路方程
C dvo(t) dt
vo(t) R
e(t) ，其中e(t)
Isu(t )
（2）求解系统的完全响应。
齐次解： voh (t )
（1）试从物理概念判断i(0 ) ，i (0 )和i(0 )，i (0 )
（2）写出t 0 时间内描述系统的微分方程表示，求i(t) 的完全响应。（图略）
解答： （1）开关转换前的物理量： 电容相当于开路，电流为 0。电感相当于短路，电感两端电压为 0。
所以i(0 ) 0 ,i (0 ) 0
开关转换后的物理量：
从 0-到 0+状态发生变化。 解答：
（1）因为r (t) 2r(t) u(t)，方程右端不包含冲激函数及其各阶导数，r(t) 在t 0 处 连续，r(0 ) r(0 ) 1
（2）因为 r (t) 2r(t) 3 (t)，假设 r (t) a (t) b u(t)，则 r(t) a u(t) ， 代入方程，比较两端系数，可知a 3 。r(t) 在t 0 处跳变，r(0 ) r(0 ) 3 3
根据题意可知： rzs 2(t )
d dt
rzs1(t
)
，
rzi(t) rzs1(t) r1(t) 2e tu(t) rzi(t) rzs1(t) r2(t) (t)
两式相减得：
rzs1(t) rzs1(t) (t) 2e tu(t)„„（1） 解方程（1）：齐次解Aet ，特解e t ，所以
rzs1(t) Aet e t u(t) ，
【分析】完全响应=零输入响应+零状态响应，零输入响应只与系统状态有关，满足线性条件；
零状态响应只和输入信号有关，也满足线性条件。注意，本题输入分别为阶跃函数和冲激函
数，但没说明系统的状态，故响应的响应不是阶跃响应和冲激响应。
解：
1）假设系统的零状态响应为rzi(t)，当激励为e1(t) 时系统的零状态响应为rzs1(t) ，当激励 为e2(t) 时系统的零状态响应为rzs2(t) 。
第 2 章 连续时间系统的时域分析
2-1 列写电路中电压vo(t)的微分方程表示。
（a）（图略）
解答：符号说明i( 1)(t)
t
i(x )dx
2i1(t) i1(t) i1( 1)(t) i2(t) 2i2(t) i2( 1)(t) vo(t) 2i2(t) (3)
i2( 1)(t) i1( 1)(t)
t
vozi(t) Ce RC , t 0
将初始状态vo(0 ) E 代入可得：C E
t
所以：vozi(t) Ee RC , t 0
从而
t
零状态响应分量：vozs(t) RIs RIse RC , t 0
t
自由响应分量：(E RIs )e RC , t 0 强迫响应分量： RIs, t 0
2-8 所示电路，t 0 时，开关位于“1”且达到稳态，t 0 时刻，开关自“1”转至“2”。
[(t 1)u(t 1) u(t 1) 2u(t 1) u(t 1)]
[u(t) u(t 2) tu(t) u(t 2)]
[(t 1)u(t 1) u(t 2) 2u(t 1) u(t 2)]
[(t 1)u(t 1) 1 (t 1)2u(t 1)] 2
rzi(t) 4e t 3e 2t, t 0
2. 求系统的零状态响应。
由于e(t) 1, t 0 ，故设特解rp(t) C, t
0 ，将rp(t) 代入原微分方程得C
从而rp(t) 3 / 2 。
由第一步可知，齐次解rh(t) D1e t D2e 2t, t 0
因此零状态响应 rzs(t) D1e t D2e 2t 3 / 2, t 0
接下来用冲激函数匹配法确定rzs(0 ) 和rzs(0 ) 。在 0 到 0 时刻 系统方程为：rzs(t) 3rzs(t) 2rzs(t) (t) 3 u(t) „„（1） 方程右端包含 (t) ，所以设
3/2，
rzs(t) a (t) b u(t) rzs(t) a u(t) rzs连续
代入（1）式，平衡方程两边 (t) 的系数，可得a 1
因而rzs(0 ) rzs(0 ) 1 1, rzs(0 ) rzs(0 ) 0
将初始条件rzs(0 ) 1, rzs(0 ) 所以系统的零状态响应为 rzs(t)
0 代入得D1
2, D2
2e t 1 e 2t 3 , t
2
2
1/2 0
3. 根据前两步的求解可得，系统的全响应为
r(t) rzi(t) rzs(t)
所以全响应
r3(t) rzi(t) rzs3(t) (2 t)e tu(t)
2-13 求下列函数 f1(t) 与 f2(t)的卷积 f1(t) f2(t) 。 （1） f1(t) u(t), f2(t) e atu(t) （2） f1(t) (t), f2(t) cos( t 45 ) （3） f1(t) (1 t)[u(t) u(t 1)], f2(t) [u(t 1) u(t 2)]
Ae
, 1
RC
t
t
0
特解：vop(t) RIs
t
完全响应为：vo(t) Ae RC RIs, t 0
代入初始条件vo(0 ) E 可得： A E RIs
t
所以系统的完全响应为：vo(t) (E RIs )e RC RIs, t 0
（3）求零输入响应分量。 由于零输入响应和系统方程的齐次解有相同的形式，所以设
该方程的解为
i(t) Ae( 1 j 3)t/2 Be( 1 j , 3)t/2 t 0
代入i(0 ) 0, i (0 ) 10 ，得 A
完全响应为
i(t) 20 3 e t/2 sin( 3 t)
3
2
10j , B 10j
3
3
2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应h(t) 和阶跃响应g(t) 。
考虑到a b 1 ，即h(t) 中有 (t) 和 (t) ，因而所求的冲激响应为
h(t) (t) (t) e 2tu(t)
阶跃响应
t
g(t) h( )d
(t) 3 1 e 2t u(t) 22
2-12 有一系统对激励为e1(t) u(t)时的完全响应为r1(t) 2e tu(t)，对激励为 e2(t) (t)时的完全响应为r2(t) (t) ； 1）求该系统的零输入响应 rzi (t ) ； 2）系统的起始状态保持不变，求其对于激励e3(t) e tu(t) 的完全响应。
rzi(t) e t(cost 3 sin t) t 0
2）系统的特征方程为 2 2 1 0 ，特征根为 1,2
1
因而零输入响应的形式
rzi(t) Ae t Bte t ) t 0 ，将r(0 ) 1 ，r (0 ) 2 代入得：
A 1, B 3 ，所以系统的零输入响应为：
rzi(t) e t(3t 1) t 0
2
2
C,t
0 „„（4）
求特解C ，对t 0 代入方程得：C 1 利用冲激函数匹配法求g(0 ), g (0 ) 。设
g (t) a (t) b u(t) g (t) a u(t)
代入原方程（3）可求得a 1 ，因而g (0 )
A 1, B
1
，因而系统的阶跃响应
3
1 ，g(0 )
0 。将初始条件代入（4），有
（3）方法一： f1(t) f2(t) (1 t)[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)] (1 t)u(t) u(t 1) (1 t)u(t 1) u(t 1)
(1 t)u(t) u(t 2) (1 t)u(t 1) u(t 2)
[u(t) u(t 1) tu(t) u(t 1)]
2
d dt
r(t
)
r(t)
0 ，给定r(0 )
1 ，r (0 )
2
解答：
1）系统的特征方程为 2 2 2 0 ，特征根为 1
因而零输入响应的形式
rzi(t) e t(A cost B sin t) t 0 ，将r(0 ) A 1, B 3 ，所以系统的零输入响应为：
1 j, 2 1 ，r (0 )
1j 2 代入得：
2e t
5 e 2t 2
3, t 2
0
其中自由响应分量为 2e t 5 e 2t ，强迫响应分量为 3 。
2
2
2-7 电路如图所示， t 0 以前开关位于“1”，已进入稳态，t 0 时刻，S1 与S2 同时自 “1”转至“2”，求输出电压 vo (t ) 的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各分
【分析】充分利用冲激函数的卷积性质，卷积的平移性质。
解答：
（1） f1(t) f2(t) u(t) e atu(t) ( 1)(t) e atu(t)
t e axu(x)dx
t
e
axdx
0
1 (1 e at ) a
（2） f1(t) f2(t) (t) cos( t 45 ) cos( t 45 )
2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号，判断在起始点是否发生跳变
1）
d dt
r(t
)
2r(t)
e(t)，r(0 )
1 ，e(t)
u(t) ，写出r(0 )值。
2）
d dt
r(t)
2r(t)
3 d e(t)，r(0 ) dt
0 ， e(t)
u(t) ，写出r(0 )值。
【分析】用微分方程表示系统，如果方程右端的自由项包含冲激函数及其各阶导数，则系统
特征方程为 2 3 2 0 ，特征根为 1
1和 2
2。
所以rzi(t) C1e t C2e 2t, t 0
将 rzi(0 ) r (0 ) 2 和rzi(0 ) r(0 ) 1代入可求得
g(t) 1 e 12t cos 3 t 2
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
由于系统的冲激响应h(t) h(t) e 12t cos 3 t
2
d g(t) ，所以系统的冲激响应为 dt
1 e 12t sin 3 t u(t)
3
2
3）系统的冲激响应满足方程
d dt
h(t)
2h(t)
(t) 3 (t)
电容两端电压不会发生跳变，vc(0 ) vc(0 ) 10V ，所以i(0 ) 0 ；
因此，电阻两端无电压，电感两端电压变成 10V，所以i (0 ) 10 。
（2）换路后系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) e (t) e(t) 20u(t)
t 0 时间内描述系统的微分方程为
i (t) i (t) i(t) 20 (t)
e(t) (1) 0 (2)
整理得：
2vo(t) 5vo(t) 5vo(t) 3vo(t) 2e (t)
2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的 0+状态条件，求系统的零输入响应。
1）
d2 dt 2
r(t)
2
d dt
r(t
)
2r(t)
0 ，给定r(0 )
1 ，r (0 )
2
2）
d2 dt 2
r(t)
2-6
d2 给定系统微分方程 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
始状态为以下情况： e(t) u(t) ，r(0 )
2r(t)
d dt
e(t)
3e(t) ，若激励信号和起
1 ， r (0 ) 2 。分别求系统的完全响应、
指出零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。
解答：
1. 求系统的零输入响应。由已知条件有：
用冲激函数匹配法求得rzs1(0 ) 1 ，代入上面的解得：A 0 所以rzs1(t) e tu(t) 因此，rzi(t) r1(t) rzs1(t) e tu(t) 2）因为rzs1(t) 即为系统的阶跃响应g(t) ，可知系统的冲激响应为 h(t) rzs1(t) (t) e tu(t) 当输入为e3(t) e tu(t)时， rzs3(t) h(t) * e3(t) e tu(t) te tu(t)
2）
d2 dt 2
r(t)
d r(t) r(t) dt
d e(t) e(t) dt
3）
d dt
r(t)
2r(t)
d2 dt 2
e(t
)
3e(t)
3e(t)
解答：
2）系统的阶跃响应 g(t ) 满足方程
d 2 g(t) d g(t) g(t) (t)
dt 2
dt
其解的形式为
u(t) „„（3）
g(t) e 12t A cos 3 t B sin 3 t
起始状态为h(0 ) 0
3 (t)„„（5）
其解为 h(t) Ae 2tu(t), t 0 „„（6）
用冲激函数匹配法求h(0 ) 。设
h (t) a (t) b (t) c (t) d u(t) h(t) a (t) b (t) c u(t)
代入原方程（5）得 a b c 1 从而h(0 ) 1 ，代入（6）式得A 1
量。（图略）
解答：
换路前，系统已进入稳态，因此 vo(0 ) E
换路后，由于电容两端电压不会发生突变，所以
vo(0 ) vo(0 ) E （1）根据电路形式，t 0 后的电路方程
C dvo(t) dt
vo(t) R
e(t) ，其中e(t)
Isu(t )
（2）求解系统的完全响应。
齐次解： voh (t )
（1）试从物理概念判断i(0 ) ，i (0 )和i(0 )，i (0 )
（2）写出t 0 时间内描述系统的微分方程表示，求i(t) 的完全响应。（图略）
解答： （1）开关转换前的物理量： 电容相当于开路，电流为 0。电感相当于短路，电感两端电压为 0。
所以i(0 ) 0 ,i (0 ) 0
开关转换后的物理量：
从 0-到 0+状态发生变化。 解答：
（1）因为r (t) 2r(t) u(t)，方程右端不包含冲激函数及其各阶导数，r(t) 在t 0 处 连续，r(0 ) r(0 ) 1
（2）因为 r (t) 2r(t) 3 (t)，假设 r (t) a (t) b u(t)，则 r(t) a u(t) ， 代入方程，比较两端系数，可知a 3 。r(t) 在t 0 处跳变，r(0 ) r(0 ) 3 3
根据题意可知： rzs 2(t )
d dt
rzs1(t
)
，
rzi(t) rzs1(t) r1(t) 2e tu(t) rzi(t) rzs1(t) r2(t) (t)
两式相减得：
rzs1(t) rzs1(t) (t) 2e tu(t)„„（1） 解方程（1）：齐次解Aet ，特解e t ，所以
rzs1(t) Aet e t u(t) ，
【分析】完全响应=零输入响应+零状态响应，零输入响应只与系统状态有关，满足线性条件；
零状态响应只和输入信号有关，也满足线性条件。注意，本题输入分别为阶跃函数和冲激函
数，但没说明系统的状态，故响应的响应不是阶跃响应和冲激响应。
解：
1）假设系统的零状态响应为rzi(t)，当激励为e1(t) 时系统的零状态响应为rzs1(t) ，当激励 为e2(t) 时系统的零状态响应为rzs2(t) 。
第 2 章 连续时间系统的时域分析
2-1 列写电路中电压vo(t)的微分方程表示。
（a）（图略）
解答：符号说明i( 1)(t)
t
i(x )dx
2i1(t) i1(t) i1( 1)(t) i2(t) 2i2(t) i2( 1)(t) vo(t) 2i2(t) (3)
i2( 1)(t) i1( 1)(t)
t
vozi(t) Ce RC , t 0
将初始状态vo(0 ) E 代入可得：C E
t
所以：vozi(t) Ee RC , t 0
从而
t
零状态响应分量：vozs(t) RIs RIse RC , t 0
t
自由响应分量：(E RIs )e RC , t 0 强迫响应分量： RIs, t 0
2-8 所示电路，t 0 时，开关位于“1”且达到稳态，t 0 时刻，开关自“1”转至“2”。
[(t 1)u(t 1) u(t 1) 2u(t 1) u(t 1)]
[u(t) u(t 2) tu(t) u(t 2)]
[(t 1)u(t 1) u(t 2) 2u(t 1) u(t 2)]
[(t 1)u(t 1) 1 (t 1)2u(t 1)] 2
rzi(t) 4e t 3e 2t, t 0
2. 求系统的零状态响应。
由于e(t) 1, t 0 ，故设特解rp(t) C, t
0 ，将rp(t) 代入原微分方程得C
从而rp(t) 3 / 2 。
由第一步可知，齐次解rh(t) D1e t D2e 2t, t 0
因此零状态响应 rzs(t) D1e t D2e 2t 3 / 2, t 0
接下来用冲激函数匹配法确定rzs(0 ) 和rzs(0 ) 。在 0 到 0 时刻 系统方程为：rzs(t) 3rzs(t) 2rzs(t) (t) 3 u(t) „„（1） 方程右端包含 (t) ，所以设
3/2，
rzs(t) a (t) b u(t) rzs(t) a u(t) rzs连续
代入（1）式，平衡方程两边 (t) 的系数，可得a 1
因而rzs(0 ) rzs(0 ) 1 1, rzs(0 ) rzs(0 ) 0
将初始条件rzs(0 ) 1, rzs(0 ) 所以系统的零状态响应为 rzs(t)
0 代入得D1
2, D2
2e t 1 e 2t 3 , t
2
2
1/2 0
3. 根据前两步的求解可得，系统的全响应为
r(t) rzi(t) rzs(t)
所以全响应
r3(t) rzi(t) rzs3(t) (2 t)e tu(t)
2-13 求下列函数 f1(t) 与 f2(t)的卷积 f1(t) f2(t) 。 （1） f1(t) u(t), f2(t) e atu(t) （2） f1(t) (t), f2(t) cos( t 45 ) （3） f1(t) (1 t)[u(t) u(t 1)], f2(t) [u(t 1) u(t 2)]
Ae
, 1
RC
t
t
0
特解：vop(t) RIs
t
完全响应为：vo(t) Ae RC RIs, t 0
代入初始条件vo(0 ) E 可得： A E RIs
t
所以系统的完全响应为：vo(t) (E RIs )e RC RIs, t 0
（3）求零输入响应分量。 由于零输入响应和系统方程的齐次解有相同的形式，所以设
该方程的解为
i(t) Ae( 1 j 3)t/2 Be( 1 j , 3)t/2 t 0
代入i(0 ) 0, i (0 ) 10 ，得 A
完全响应为
i(t) 20 3 e t/2 sin( 3 t)
3
2
10j , B 10j
3
3
2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应h(t) 和阶跃响应g(t) 。
考虑到a b 1 ，即h(t) 中有 (t) 和 (t) ，因而所求的冲激响应为
h(t) (t) (t) e 2tu(t)
阶跃响应
t
g(t) h( )d
(t) 3 1 e 2t u(t) 22
2-12 有一系统对激励为e1(t) u(t)时的完全响应为r1(t) 2e tu(t)，对激励为 e2(t) (t)时的完全响应为r2(t) (t) ； 1）求该系统的零输入响应 rzi (t ) ； 2）系统的起始状态保持不变，求其对于激励e3(t) e tu(t) 的完全响应。
rzi(t) e t(cost 3 sin t) t 0
2）系统的特征方程为 2 2 1 0 ，特征根为 1,2
1
因而零输入响应的形式
rzi(t) Ae t Bte t ) t 0 ，将r(0 ) 1 ，r (0 ) 2 代入得：
A 1, B 3 ，所以系统的零输入响应为：
rzi(t) e t(3t 1) t 0
2
2
C,t
0 „„（4）
求特解C ，对t 0 代入方程得：C 1 利用冲激函数匹配法求g(0 ), g (0 ) 。设
g (t) a (t) b u(t) g (t) a u(t)
代入原方程（3）可求得a 1 ，因而g (0 )
A 1, B
1
，因而系统的阶跃响应
3
1 ，g(0 )
0 。将初始条件代入（4），有
（3）方法一： f1(t) f2(t) (1 t)[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)] (1 t)u(t) u(t 1) (1 t)u(t 1) u(t 1)
(1 t)u(t) u(t 2) (1 t)u(t 1) u(t 2)
[u(t) u(t 1) tu(t) u(t 1)]
2
d dt
r(t
)
r(t)
0 ，给定r(0 )
1 ，r (0 )
2
解答：
1）系统的特征方程为 2 2 2 0 ，特征根为 1
因而零输入响应的形式
rzi(t) e t(A cost B sin t) t 0 ，将r(0 ) A 1, B 3 ，所以系统的零输入响应为：
1 j, 2 1 ，r (0 )
1j 2 代入得：
2e t
5 e 2t 2
3, t 2
0
其中自由响应分量为 2e t 5 e 2t ，强迫响应分量为 3 。
2
2
2-7 电路如图所示， t 0 以前开关位于“1”，已进入稳态，t 0 时刻，S1 与S2 同时自 “1”转至“2”，求输出电压 vo (t ) 的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各分
【分析】充分利用冲激函数的卷积性质，卷积的平移性质。
解答：
（1） f1(t) f2(t) u(t) e atu(t) ( 1)(t) e atu(t)
t e axu(x)dx
t
e
axdx
0
1 (1 e at ) a
（2） f1(t) f2(t) (t) cos( t 45 ) cos( t 45 )
2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号，判断在起始点是否发生跳变
1）
d dt
r(t
)
2r(t)
e(t)，r(0 )
1 ，e(t)
u(t) ，写出r(0 )值。
2）
d dt
r(t)
2r(t)
3 d e(t)，r(0 ) dt
0 ， e(t)
u(t) ，写出r(0 )值。
【分析】用微分方程表示系统，如果方程右端的自由项包含冲激函数及其各阶导数，则系统