立体几何之空间夹角

第26练“空间角”攻略

[题型分析·高考展望]空间角包括异面直线所成的角,线面角以及二面角,在高考中频繁出现,也就是高考立体几何题目中的难点所在.掌握好本节内容,首先要理解这些角的概念,其次要弄清这些角的范围,最后再求解这些角.在未来的高考中,空间角将就是高考考查的重点,借助向量求空间角,将就是解决这类题目的主要方法.

体验高考

1.(2015·浙江)如图,已知△ABC,D就是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′—CD—B的平面角为α,则()

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α

D.∠A′CB≥α

2.(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,则m,n所成角的正弦值为()

A、

3

2B、

2

2C、

3

3D、

1

3

3.(2016·课标全国丙)如图,四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,P A＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面P AB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

高考必会题型

题型一异面直线所成的角

例1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角.

变式训练1(2015·浙江)如图,三棱锥A—BCD中,AB＝AC＝BD＝CD＝3,AD＝BC＝2,点M,N 分别就是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值就是________.

题型二 直线与平面所成的角

例2 如图,已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形,AB ∥CD ,AC ⊥BD ,垂足为H ,PH 就是四棱锥的高,E 为AD 的中点. (1)证明:PE ⊥BC ;

(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°,求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值.

变式训练2 如图,平面ABDE ⊥平面ABC ,△ABC 就是等腰直角三角形,AB ＝BC ＝4,四边形

ABDE 就是直角梯形,BD ∥AE ,BD ⊥BA ,BD ＝12

AE ＝2,点O 、M 分别为CE 、AB 的中点. (1)求证:OD ∥平面ABC ; (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值;

(3)能否在EM 上找到一点N ,使得ON ⊥平面ABDE ？若能,请指出点N 的位置并加以证明;若不能,请说明理由.

题型三 二面角 例3 (2016·浙江) 如图,在三棱台ABC —DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB ＝90°,BE ＝EF ＝FC ＝1,BC ＝2,AC ＝3、 (1)求证:BF ⊥平面ACFD ;

(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值.

变式训练3 如图,长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AD ＝1,AB ＝2,点E 就是C 1D 1的中点.

(1)求证:DE ⊥平面BCE ;(2)求二面角A －EB －C 的大小

.

高考题型精练

1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,A 1B 与B 1C 所在直线所成角的大小就是( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小就是( )

A.90°

B.30°

C.45°

D.60°

3.如图所示,将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角,此时∠B ′AC ＝60°,那么这个二面角大小就是( )

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

4.已知正三棱锥S －ABC 中,E 就是侧棱SC 的中点,且SA ⊥BE ,则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为( )

A 、63

B 、33

C 、23

D 、36

5.如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

(5题) (6题)(8题)

6如图,△ABC 就是等腰直角三角形,AB ＝AC ,∠BCD ＝90°,且BC ＝3CD ＝3,将△ABC 沿BC 的边翻折,设点A 在平面BCD 上的射影为点M ,若点M 在△BCD 内部(含边界),则点M 的轨迹的最大长度等于______;在翻折过程中,当点M 位于线段BD 上时,直线AB 与CD 所成角的余弦值等于______.

7.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,若∠BAC ＝90°,2AB ＝2AC ＝AA 1,则异面直线BA 1与B 1C 所成角的余弦值等于________.

8、如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,已知P A ⊥底面ABCD ,P A ＝1,底面ABCD 就是正方形,PC

与底面ABCD 所成角的大小为π6

,则该四棱锥的体积就是________. 9.以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,使△AB ′D 与△ACD 折成互相垂直的两个平面,则∠B ′AC ＝________、

10.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝3,D、E分别就是AC1与BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.

(10题) (11题)

11.(2016·四川)如图,在四棱锥P ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝∠P AB＝90°,BC＝CD＝1

2AD、E为

棱AD的中点,异面直线P A与CD所成的角为90°、

(1)在平面P AB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;

(2)若二面角P—CD—A的大小为45°,求直线P A与平面PCE所成角的正弦值. 12．如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD＝60°,Q为AD的中点.

(1)若P A＝PD,求证:平面PQB⊥平面P AD;

(2)点M在线段PC上,PM＝1

3PC,若平面P AD⊥平面ABCD,且P A＝PD＝AD＝2,求平面MBQ

与平面CBQ夹角的大小.