概率论与数理统计第四章答案
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解：比赛场数X=2或3.用A表示A获胜，那么根据独立性，
P(X=2)=P(AAAcAc)= P(AA)+P(AcAc)= P(A)P(A)+P(Ac)P(Ac)=p2+(1-p)2,
P(X=3)= 1-P(X=2)=1- p2- (1-p)2
E[X]=2P(X=2)+3P(X=3)=2+2p(1-p).显然p=0.5, E[X]取得最大值2.5.
解：由得到
解得c=2.
解：
P(N1=1, N2=0)=P(次、次)=3/5*2/4=3/10;
P(N1=1, N2=1)= P(次、正、次)=3/5*2/4*2/3=1/5;
P(N1=1,N2=2)= P(次、正、正)=3/5*2/4*1/3=1/10;
P(N1=2.N2=0)=P(正、次、次)=2/5*3/4*2/3=1/5;
那么
根据切比雪夫不等式
从而n10.
根据独立性
当x<0,时FM为0; x>1时, FM为1。
求导得到密度函数
对其他x, fM=0.
验算：积分为1。
解：(a)
（b） 。
(c)因为
X与Y不独立。
验算：积分为1。
解：(I, R)的联合密度函数
W的分布函数
当z<=0, FW(z)=0;当z>=1, FW(z)=1。当0<z<1时，
求导得到
验算：积分为1。
证：
E[Xi]=0*P(Xi=0)+1*P(Xi=1)=p1,
E[Yj]=0*P(Yj=0)+1*P(Yj=1)=p2,
当i=j,
P(Xi=1,Yi=0)=p1,
P(Xi=0,Yi=1)=p2,
P(Xi=0,Yi=0)=p3=1-p1-p2,
P(Xi=1,Yi=1)=0.
这样பைடு நூலகம்
E(XiYi)=0
Cov(Xi,Yi)= - p1p2
当ij,根据独立性Cov(Xi,Yj)=0.那么,
证：
由于X1与X2分布相同，所以二者方差相等，所以上式为0.
解：矩母函数：
验证
解：根据切比雪夫不等式
解：设一个学生成绩X,根据马尔科夫不等式
根据切比雪夫不等式
设有n人参加考试，其中Xi为第i个学生的成绩，它们相互独立，均值75,方差25。那么总成绩（注意：并不是nX）为 ，平均成绩
解：
即
解：(题中z改为x.)
(a)
(b)利润
利润的期望
解：(a)
P(X1=0)=1/8+1/16=3/16,
P(X1=1)=1/16+1/16=2/16,
P(X1=2)=3/16+1/8=5/16,
P(X1=3)=1/8+1/4=6/16.
P(X2=1)=1/8+1/16+3/16+1/8=1/2,
P(X2=2)=1- P(X2=1)=1/2.
(b)
E[X1]=0×3/16+1×2/16+2×5/16+3×6/16=15/8
E[X2]=1×1/2+2×1/2=3/2
E[X12]=02×3/16+12×2/16+22×5/16+32×6/16=19/4
Var(X1)= E[X12]-( E[X1])2=79/64
根据数学期望的性质
E[X]=E[X1]+E[X2]+...+E[X10]=17/4.
(b)将白球按1～17编号，取10个球，令
那么P(Yi=1)=10/40=1/4.这样
E[Yi]= 1/4, i=1,2, ..., 17
根据数学期望的性质
E[X]=E[Y1]+E[Y2]+...+E[Y17]=17/4.
E[X22]=12×1/2+22×1/2=5/2
Var(X2)= E[X22]-( E[X2])2=1/4
E(X1X2)=0+0+1*1*1/16+1*2*1/16+2*1*3/16+2*2*1/8+3*1*1/8+3*2*1/4=47/16
Cov(X1,X2)= E(X1X2)- E[X1]E[X2]=1/8
第四章习题解答
解：P(X=1)=5*9!/10!=0.5;
P(X=2)=5*5*8!/10!= 0.2778;
P(X=3)=5*4*5*7!/10!= 0.1389;
P(X=4)=5*4*3*5*6!/10!= 0.0595;
P(X=5)=5*4*3*2*5/5!/10!= 0.0198;
P(X=6)=5!*5!/10!=0.004
解：
从而a=3/5, b=6/5.
解：(a)令Y=Xn,先求分布函数
FY(y)=P(Y<=y)=P(Xn<=y)
当y<=0, FY(y)=0.当y>=1, FY(y)=1.当0<y<1,
求导得到密度函数
求数学期望
(b)(本题改为利用命题4.5.1.)
解：(a)令
那么P(Xi=1)=17/40.这样
E[Xi]= 17/40, i=1,2, ..., 10
P(N1=2.N2=1)=P(正、次、正)=2/5*3/4*1/3=1/10;
P(N1=3.N2=0)= P(正、正)=2/5*1/4=1/10;
N1 N2
0
1
2
1
3/10
1/5
1/10
2
1/5
1/10
0
3
1/10
0
0
验算：总和为1.
解：(a)可以验证
(b)当0<x<1, 。否则fX为0。
(c)
解：
P(X=7)=P(X=8)=P(X=9)=P(X=10)=0.
验算：总和为1.
解：(a)
(b)=1-P(X<=1/2)=1-F(1/2)=1-1/4=0.75;
(c)=F(4)-F(2)=1-11/12=1/12;
(d)=F(3-)=11/12;
(e)=F(1)-F(1-)=2/3-1/2=1/6.
P(X=2)=P(AAAcAc)= P(AA)+P(AcAc)= P(A)P(A)+P(Ac)P(Ac)=p2+(1-p)2,
P(X=3)= 1-P(X=2)=1- p2- (1-p)2
E[X]=2P(X=2)+3P(X=3)=2+2p(1-p).显然p=0.5, E[X]取得最大值2.5.
解：由得到
解得c=2.
解：
P(N1=1, N2=0)=P(次、次)=3/5*2/4=3/10;
P(N1=1, N2=1)= P(次、正、次)=3/5*2/4*2/3=1/5;
P(N1=1,N2=2)= P(次、正、正)=3/5*2/4*1/3=1/10;
P(N1=2.N2=0)=P(正、次、次)=2/5*3/4*2/3=1/5;
那么
根据切比雪夫不等式
从而n10.
根据独立性
当x<0,时FM为0; x>1时, FM为1。
求导得到密度函数
对其他x, fM=0.
验算：积分为1。
解：(a)
（b） 。
(c)因为
X与Y不独立。
验算：积分为1。
解：(I, R)的联合密度函数
W的分布函数
当z<=0, FW(z)=0;当z>=1, FW(z)=1。当0<z<1时，
求导得到
验算：积分为1。
证：
E[Xi]=0*P(Xi=0)+1*P(Xi=1)=p1,
E[Yj]=0*P(Yj=0)+1*P(Yj=1)=p2,
当i=j,
P(Xi=1,Yi=0)=p1,
P(Xi=0,Yi=1)=p2,
P(Xi=0,Yi=0)=p3=1-p1-p2,
P(Xi=1,Yi=1)=0.
这样பைடு நூலகம்
E(XiYi)=0
Cov(Xi,Yi)= - p1p2
当ij,根据独立性Cov(Xi,Yj)=0.那么,
证：
由于X1与X2分布相同，所以二者方差相等，所以上式为0.
解：矩母函数：
验证
解：根据切比雪夫不等式
解：设一个学生成绩X,根据马尔科夫不等式
根据切比雪夫不等式
设有n人参加考试，其中Xi为第i个学生的成绩，它们相互独立，均值75,方差25。那么总成绩（注意：并不是nX）为 ，平均成绩
解：
即
解：(题中z改为x.)
(a)
(b)利润
利润的期望
解：(a)
P(X1=0)=1/8+1/16=3/16,
P(X1=1)=1/16+1/16=2/16,
P(X1=2)=3/16+1/8=5/16,
P(X1=3)=1/8+1/4=6/16.
P(X2=1)=1/8+1/16+3/16+1/8=1/2,
P(X2=2)=1- P(X2=1)=1/2.
(b)
E[X1]=0×3/16+1×2/16+2×5/16+3×6/16=15/8
E[X2]=1×1/2+2×1/2=3/2
E[X12]=02×3/16+12×2/16+22×5/16+32×6/16=19/4
Var(X1)= E[X12]-( E[X1])2=79/64
根据数学期望的性质
E[X]=E[X1]+E[X2]+...+E[X10]=17/4.
(b)将白球按1～17编号，取10个球，令
那么P(Yi=1)=10/40=1/4.这样
E[Yi]= 1/4, i=1,2, ..., 17
根据数学期望的性质
E[X]=E[Y1]+E[Y2]+...+E[Y17]=17/4.
E[X22]=12×1/2+22×1/2=5/2
Var(X2)= E[X22]-( E[X2])2=1/4
E(X1X2)=0+0+1*1*1/16+1*2*1/16+2*1*3/16+2*2*1/8+3*1*1/8+3*2*1/4=47/16
Cov(X1,X2)= E(X1X2)- E[X1]E[X2]=1/8
第四章习题解答
解：P(X=1)=5*9!/10!=0.5;
P(X=2)=5*5*8!/10!= 0.2778;
P(X=3)=5*4*5*7!/10!= 0.1389;
P(X=4)=5*4*3*5*6!/10!= 0.0595;
P(X=5)=5*4*3*2*5/5!/10!= 0.0198;
P(X=6)=5!*5!/10!=0.004
解：
从而a=3/5, b=6/5.
解：(a)令Y=Xn,先求分布函数
FY(y)=P(Y<=y)=P(Xn<=y)
当y<=0, FY(y)=0.当y>=1, FY(y)=1.当0<y<1,
求导得到密度函数
求数学期望
(b)(本题改为利用命题4.5.1.)
解：(a)令
那么P(Xi=1)=17/40.这样
E[Xi]= 17/40, i=1,2, ..., 10
P(N1=2.N2=1)=P(正、次、正)=2/5*3/4*1/3=1/10;
P(N1=3.N2=0)= P(正、正)=2/5*1/4=1/10;
N1 N2
0
1
2
1
3/10
1/5
1/10
2
1/5
1/10
0
3
1/10
0
0
验算：总和为1.
解：(a)可以验证
(b)当0<x<1, 。否则fX为0。
(c)
解：
P(X=7)=P(X=8)=P(X=9)=P(X=10)=0.
验算：总和为1.
解：(a)
(b)=1-P(X<=1/2)=1-F(1/2)=1-1/4=0.75;
(c)=F(4)-F(2)=1-11/12=1/12;
(d)=F(3-)=11/12;
(e)=F(1)-F(1-)=2/3-1/2=1/6.