离散系统最优控制

),kf
] {(x(k),u(k),k)
kk0
T(k1)[g(x(k),u(k),k)x(k1)]}
式中，Lagrange乘子向量设为(k＋1)，若设为(k)，
虽然也可以求解，但算式繁琐。
A
9
令Hamilton函数H为
H [ x ( k ) u ( k , )( k , 1 ) k ] ,( x ( k ) u ( k , ) k ) ,T ( k 1 ) g ( x ( k ) u ( k , ) k ) ,
由耦合方程 H 0 得 u(k)(k 1)0 u (k )
故
u(k)C
由状态方程 x(k 1 )x(k) u (k)x(k) 2 C得
x(1) x(0) 2C x(2) x(1) 2Cx(0) 22C x(3) x(2) 2Cx(0) 32C
……
x(k)x(0)k2C
A
14
将x(0)1,x(10)0代入 x(k)x(0)k2C中，得
两点边值问题为:
k1[ITfxT k ]1[k Txk],kf 0
xk1xk Tf(xk,uk,k),xk0 x0
（4-6）
A
18
当T很小，
[I T f T ]1 xk
二项式展开后，
得
k1
k
T[fuTk ]k
T[],
xk
kf
0
xk1xk Tf(xk,uk,k), xk0 x0
（4-7）
可见，式（4-5）和式（4-7）完全相同。换言之，当 采样周期很小时，用离散变分法求解的结果接近于用 连续变分法的求解的结果。
故最优控制为:
u(k) 1
10
最优轨线为
x(k) 1 k 10
C
1 10
2
4.3 连续变分法与离散变分法求解结果的对比
泛函求极值
minJ tf (x,u,t)dt
u
t0
s.t. x f (x,u,t),x(t0)x0
(1) 用连续变分法求解
令
HT(t)f(x,u,t)
A
15
由 H 0, 得
第四章 离散系统最优控制
4.1 离散变分法与Euler方程 4.2 离散系统最优控制 4.3 连续变分法与离散变分法求解结 果的对比 4.4 离散LQR问题
A
1
离散系统包括两种：（1） 全数字系统；（2）具有采样与
保持的数字系统。对于全数字系统，泛函求极值问题为：
kf 1
mu(ki)Jn[x(kf
此式相当于“分部积分”,代入得泛函极值存在的必要条件为:
kf
J
1{xT(k)(x(k),x(k1)k,)xT(k)(x(k1),x(k)k,1)}
kk0
x(k)
x(k)
xT(k)(x(k1x)(k,x()k)k,1)kk0f 0
A
7
应由下列两式分别为零，即
xT(k)(x(k)x,x((kk)1),k)(x(k1x)(,kx)(k),k1)0
由式（4-10），得 P ( k )x ( k ) Q ( k )x ( k ) Φ T ( k )P ( k 1 )x ( k 1 ) Q ( k )x ( k ) Φ T ( k )P ( k 1 )I [Γ ( k )R 1 ( k )Γ T ( k )P ( k 1 ) 1 Φ ]( k )x ( k )
(k) H
x(k)
（伴随方程或协态方程）
H 0 u (k )
（耦合方程）
（4-4）
x ( k 1 ) g ( x ( k )u ( k ,)k ) ,x ( k ,0 ) x 0 （状态方程）
A
12
例：
miJn19 u2(k)
u(k)
2k0
s.t. x(k1)x(k)u(k),x(0)1,x(1)00
J
kf
1
{xT
(k)
(x(k)
,x(k
1)
,k)
kk0
x(k)
xT (k 1) (x(k),x(k 1),k)}
x(k 1)
A
5
但
kf 1xT(k1)(x(k),x(k1),k)
kk0
x(k1)
kf
1
xT(k)(x(k1),x(k),k1)
xT(k)(x(k1),x(k),k1)
kk0
x(k)
k0
令x ( k ) x ( k ) x ( k ) ，式中，x(k) 为最优轨线，x(k) 为
x(k) 的一次变分，这是在离散时刻k时的一次变分。
A
4
事实上，连续系统中的变分概念，同样可以在各个离散时 刻上使用。同样可以得出泛函极值存在的必要条件是
J 0
而且，泛函的一次变分也是取线性主部。
由 x ( k ) x ( k ) x ( k ) 以及 x ( k 1 ) x ( k 1 ) x ( k 1 )
由耦合方程
H 0 u (k )
得
R (k)u(k)T(k)(k1 )0
即
u (k) R 1(k)T(k)(k 1 )
A
21
由横截条件
(k
f
)
x(k f
)
得 (kf )Sx(kf )
类似于连续LQR问题，可得两点边值问题，
x(k1)(k)x(k)(k)R1(k)T(k)(k1) （4-9）
x(0)x0
k f 1
m u (k )J i[ n x (k f)k f,] k k 0 { H [x (k )u ( ,k )( ,k 1 )k ] , T (k 1 )x (k 1 )}
泛函极值存在的必要条件为 J 0
JxT(kf)[xx((kkff))k,f]k k fk 0 1{xT(k) xH (k)uT(k) uH (k)xT(k1)(k1)} xT(kf)[xx((kkff))k,f]k k fk 0 1{xT(k) xH (k)uT(k) uH (k)xT(k)(k) }xT(k)(k)k k0 f
x(k)
kkf ,kk0
A
8
4.2离散系统最优控制
泛函求极值
来自百度文库kf 1
m s.u t.(k)Jixn (k [x1()kfg )(k,xf(]k )u k, (kk0)(k,x)(kx,)(ku ,0()k )k x,0 )
(43)
化为无约束优化问题，
kf 1
miJn u(k)
[x(kf
k0,1,2,,kf 1, k f 固定
（4-8）
A
20
令Hamilton函数H为
H [x(k)u ,(k),(k 1 )k ,]1xT(k)Q (k)x(k)1u T(k)R (k)u (k)
2
2
T(k 1 )Φ [(k)x(k)Γ (k)u (k)]
由协态方程
(k) H
x(k)
得
(k) Q (k)x(k) T(k)(k 1 )
A
10
式中，
kf 1
kf
xT (k 1)(k 1) xT (m)(m)
kk0
mk01
kf
1
xT
(k)(k)
xT
(k)(k)
kf
kk0
k0
这相当于“分部积分”。从这里可看出(k 1)
x(k1) 相对应
所以，泛函极值存在的必要条件为
xT(kf) [[ xx (k (kff))k ,f](kf)]0
xT
(k)[ H x(k )
(k )]
0
uT (k) H 0
u(k )
A
（横截条件）
（Euler方程）
11
由于已知 xRn,uRm, 换言之，x和u 可以分别在实n维空间和 实m维空间中任取，即x和u是任意的，因此，可以取
x(k)0,u(k)0. 于是，泛函极值存在的必要条件可化为
xT(kf) [[ xx((kkff))k,f](kf)]0 （横截条件）
（4-12）称为矩阵Riccati差分方程,也可写为
P ( k ) Q ( k ) T ( k ) P 1 [ ( k 1 ) ( k ) R 1 ( k ) T ( k ) 1 ] ( k )
解：化为无约束优化问题，
m J i n 9[1 u 2 (k )(k 1 )x (k )u (k ) x (k 1 ))]
2 u (k )
k 0
令Hamilton函数H为
H 1u2(k)(k1 )x ((k)u(k))
2
由协态方程 (k) H 得 (k)(k1)
x(k)
A
13
故
(k)C
x(k0T)x0
A
16
即
k1
k
T xk
fT T
xk
k,kf
0
（4-5）
xk1 xk Tf(xk,uk,k),xk0 x0
(2)用离散变分法求解
首先将目标函数及系统方程离散化，得
kf1
mJi nT (x(k)Tu ,(k)Tk, )T
u(k)T
kk0
s.t. x[k(1)T]x(k)T T(fx(k)Tu ,(k)Tk, )Tx,(k0T)x0
由于已给定 x(0)x0, 在过渡过程中 x(k)0 故有
P ( k ) Q ( k ) Φ T ( k ) P ( k 1 )I [Γ ( k ) R 1 ( k )Γ T ( k ) P ( k 1 ) 1 Φ ]( k )
P ( k f) S
（4-12）
A
23
边界条件 P(kf )S
（因为 (k ) P (k )x (k ),(k f) S(k x f)故 P(kf )S)
),kf
] (x(k),u(k),k)
kk0
s.t. x(k1)g(x(k),u(k),k),x(k0)x0
(4-1a)
对于具有采样与保持的数字系统，将连续系统的泛函求极值
问题离散化后，可表达为：
kf 1
minJ u(kT)
[x(kfT),kf
T]
(x(k T),u(k T),k T)T
kk0
s.t.x[(k1)T]x(kT) f (x(kT),u(kT),kT), T
A
19
4.4 离散LQR问题
对于线性离散系统提出二次型目标函数，
minJ
u(k)
1 2
xT
(kf
)Sx(kf
)
1
k
f
1
[xT
(k)Q(k)x(k)
uT
(k)R(k)u(k)]
2 k0
s.t. x(k 1) Φ(k)x(k) Γ(k)u(k), x(0) x0
x(k)Rn, u(k)Rm，S 0, Q(k) 0, R(k) 0,
xT(k)(x(k1),x(k),k1)kf 0
x(k) k0
在过渡过程中若 xT (k ) 任意，得离散Euler方程
(x (k )x ,(k 1 )k ,) (x (k 1 )x ,(k )k , 1 ) 0 （4-2）
x (k )
x (k )
并得横截条件:
xT(k)(x(k1)x ,(k)k,1)0 当
(k)Q(k)x(k)ΦT(k)(k1),(kf)S(xkf) （4-10）
仿照连续LQR问题的做法，令 (k)P(k)x(k) 并将:
(k 1 ) P (k 1 )x (k 1 )代入式（4-9），得
A
22
x ( k 1 ) Φ ( k ) x ( k ) Γ ( k ) R 1 ( k ) Γ T ( k ) P ( k 1 ) x ( k 1 ) 即 x ( k 1 ) [ I Γ ( k ) R 1 ( k ) Γ T ( k ) P ( k 1 ) 1 Φ ] ( k ) x ( k )（4-11）
x(k) kf
xT(k)(x(k1),x(k),k1)
x(k) k0
A
6
kf
xT(k)(x(k1),x(k)k, 1)xT(k)(x(k1),x(k)k, 1)
kk0
x(k)
x(k)
k0
kkfk01xT(k)(x(k1x)(k,x)(k)k, 1)xT(k)(x(k1x)(k,x)(k)k, 1)kk0f
kf 1
即
minJ uk
T (xk,uk,k)
kk0
s.t. xk1 xk Tf(xk,uk,k),xk0 x0
A
17
令 H TT k 1 [x k T(x fk,u k,k)]
由
k
H xk
,
得
由 H 0, 得
uk
kT xk[IT fxT k]k1,kf 0
T uk
f T T[
uk
]k1
0
x(k0T) x0
A
2
可简化为：
kf 1
minJ uk
[xkf
,kf
T] (xk,uk,k
kk0
T)T
s.t.xk1 xk T
f (xk,uk,kT),xk0
x0
当采样周期T 取为一个单位，则得：
kf 1
minJ uk
[xkf
,kf
] (xk,uk,k)
kk0
s.t. xk1 g(xk,uk,k),xk0 x0
(4—1b)
式中， g (x k ,u k ,k ) x k f(x k ,u k ,k )
A
3
可见，这两种形式的离散系统、泛函求极值问题的提 法是相似的，在以下的讨论中不严加区分.
4.1 离散变分法与Euler方程
为了简单起见，先不考虑系统方程的约束。设泛函求极
值问题为:
kf 1
miJn(x(k),x(k1),k)
u
f T (t)0
u u
由 (t) H
x,
得
(t)fT (t),
x x
(t f ) 0
状态方程为 x f(x ,u ,t),x (t0 ) x 0
这个两点边值问题用数字计算机求解，则化为，
[k (1 )T](k)T fT(k)T, (kfT)0
T
x x
x[k(1)T]x(k)Tf(x,u,k)T, T